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理科数学 哈尔滨市2016年高三第一次联合考试
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、简答题
1
2
3
4
5
6
7
2、单选题
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
3、填空题
20
21
22
23
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简答题（综合题） 本大题共82分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知数列满足，且，。

17.求证：数列是等比数列；

18.若不等式对恒成立，求实数m的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）∵,，又，所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列；

解析

证明：∵,，又，

所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列；

考查方向

本题考查了利用定义证明数列是等比数列的问题以及不等式恒成立的问题，证明是等比数列是一类常见的问题，可以采用“构造法”即可解决；不等式恒成立问题可以转化为求的最大值问题，可以结合函数的单调性来解决。

解题思路

通过“构造法”来证明是等比数列；

易错点

通过“构造法”来证明是等比数列；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

．

解析

解：由（1）知，，由得，即，          设，所以数列为减数列，，       .

考查方向

本题考查了利用定义证明数列是等比数列的问题以及不等式恒成立的问题，证明是等比数列是一类常见的问题，可以采用“构造法”即可解决；不等式恒成立问题可以转化为求的最大值问题，可以结合函数的单调性来解决。

解题思路

涉及恒成立问题，转化成求函数的最值.

易错点

转化成求函数的最值.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

如图，菱形ABCD中，∠ABC = 60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB = AE = 2。

21.求证：BD⊥平面ACFE；

22．当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略;

解析

证明：四边形是菱形，               

   .                    

平面,平面       

.               

,                

平面

考查方向

本题考查了空间点、线、面的位置关系，同时考查了空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

根据线面垂直的判定定理，在平面ACFE中寻找两条与BD垂直的直线；

易错点

本题容易因对频率分布直方图的认识不到位而导致计算出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

a=3；

解析

解：如图以为原点，为轴正向，轴过且平行于，建立空间直角坐标系.则              

   ，

设平面的法向量为，                                     

则有，

即令，                     

 由题意解得或.                                                                                                 

  由，得

考查方向

本题考查了空间点、线、面的位置关系，同时考查了空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

可以通过建立空间直角坐标系，用向量的方法来解决；

易错点

本题容易因对频率分布直方图的认识不到位而导致计算出错；

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知椭圆C：的离心率为，且点在C上。

23.求椭圆C的方程；

24.直线l经过点，且与椭圆C有两个交点A、B，是否存在直线l0：x = x0（其中x0 > 2），使得A、B到l0的距离dA、dB满足恒成立？若存在，求x0的值；若不存在，请说明理由。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

 ；

解析

由题意得

解得

所以的方程为.

考查方向

本题考查了椭圆的标准方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

解题思路

根据椭圆的标准方程以及几何性质，建立方程组，通过待定系数的方法即可求解；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

存在.当时符合题意。

解析

存在.当时符合题意.

当直线斜率不存在时，可以为任意值.                                               

 设直线的方程为,点,满足：                                          

  所以,满足,即.                                                  

   所以         

不妨设，                                                                              

因为                                                                                                                                                                       

 从而.整理得，即.                                                                                 

 综上，时符合题意.

考查方向

本题考查了椭圆的标准方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

解题思路

可以通过直线与椭圆的位置关系建立方程组，利用韦达定理、解方程求解；

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数，曲线在x = 1处的切线方程为。

25.求a，b的值；

26.求函数在上的最大值；

27.证明：当x > 0时，

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

，

由题设得，，，                                                       解

得，．

考查方向

本题考查了导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力。

解题思路

根据导数的几何意义，建立方程组，通过“待定系数法”即可求解；

易错点

通过“待定系数法”求解

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

由（Ⅰ）知，

，

故在上单调递增，所以，．

考查方向

本题考查了导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力。

解题思路

可以通过函数的单调性与导数的关系，利用导数判断函数的单调性，再结合函数的单调性确定函数的最大值；

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

略。

解析

因为，又由（Ⅱ）知，

过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当时，的图象恒在切线的上方．              

 下证：当时，．                                         

 设，则，                  

  由（Ⅱ）知，在上单调递减，在上单调递增，                  

又，              

  所以，存在，使得，                                   

所以，当时，；当，，                                                                                   

故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．                                                                      

又，当且仅当时取等号．                                                                                

 故．                                        

 由（Ⅱ）知，，故，当且仅当时取等号．                   

所以，．                               

即．所以，，                                                                                   

即成立，当时等号成立．

考查方向

本题考查了导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力。

解题思路

可以通过转化化归的方法，将问题转化为函数的最大、最小值问题进行求解。

1
题型：简答题
|
分值: 10分

在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是（φ为参数）。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

30.求直线l和圆C的极坐标方程；

31.射线OM：θ = α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线的极坐标方程分别是；圆的极坐标方程分别是；

解析

直线的极坐标方程分别是.                  

圆的普通方程分别是，                    

 所以圆的极坐标方程分别是.

考查方向

本题考查了坐标系与参数方程的专题知识，考查了直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的相互转化以及在极坐标下直线与圆的位置关系问题。

解题思路

根据三种方程之间的相互关系进行转化。

易错点

根据三种方程之间的相互关系进行转化。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

．

解析

依题意得，点的极坐标分别为和                 

 所以，，               

从而.     同理，.                 

所以，                  

故当时，的值最大，该最大值是.

考查方向

本题考查了坐标系与参数方程的专题知识，考查了直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的相互转化以及在极坐标下直线与圆的位置关系问题。

解题思路

根据相关知识求出|OP|、|OQ|、|OM|、|ON|的值，然后利用三角函数的知识求最值。

易错点

利用三角函数的知识求最值。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

在某批次的某种日光灯管中，随机地抽取500个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下。根据寿命将灯管分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯管是优等品，寿命小于300天的灯管是次品，其余的灯管是正品。

19.根据这500个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命；

20.某人从这个批次的灯管中随机地购买了4个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯管中优等品的个数，求X的分布列和数学期望。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

370;

解析

平均数为                       

考查方向

本题考查了依据频率分布直方图求平均数、离散型随机变量的分布列、二项分布以及数学期望的基础知识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力，考查运算求解能力和应用意识。

解题思路

根据频率分布直方图的相关知识求出平均值；解：平均数为

易错点

本题容易因对频率分布直方图的认识不到位而导致计算出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

随机变量的分布列为：

数学期望．

解析

的所有取值为．由题意，购买一个灯管，且这个灯管是优等品的概率为，且，，         

所以，        ，                  ，       ，                  ．                                           

所以随机变量的分布列为：

所以的数学期望.

考查方向

本题考查了依据频率分布直方图求平均数、离散型随机变量的分布列、二项分布以及数学期望的基础知识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力，考查运算求解能力和应用意识。

解题思路

求出随机变量X取不同值时的概率，列出随机变量的分布列；根据数学期望的计算公式求出相应的数学期望.

易错点

本题容易因对频率分布直方图的认识不到位而导致计算出错；

1
题型：简答题
|
分值: 12分

如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D。设⊙O的半径是r，OM = m。

28.证明：；

29.若r = 3m，求的值。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略；

解析

作交于点，作交于点.                    

因为，，                   

所以.                    

 从而.                     

故

考查方向

本题考查了几何证明选讲的专题知识，考查了相交弦定理。

解题思路

本题考查几何证明选讲的相关知识，解题步骤如下：根据图形做辅助线，利用线段之间的关系进行转化。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为，，                  

所以.                     

因为              

 所以.                   

又因为，所以．

考查方向

本题考查了几何证明选讲的专题知识，考查了相交弦定理。

解题思路

利用相交弦定理解决长度的问题。

易错点

利用相交弦定理解决长度的问题。

单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．若m = 6，n = 4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是

A

B100

C10

D1

正确答案

D

解析

将m = 6，n = 4，代入流程图中，由于6>4,因此走左边的一支，此时，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了程序框图以及对数的运算。算法初步是新课改增加的知识点，在近几年的各省高考题中几乎每年都会考到，以选择结构和循环结构的考查为主，常常和函数、数列等知识交汇命题。

解题思路

根据流程顺序，将m,n的值代入验证即可。

易错点

本题会由于没有记清楚的含义而出错。

知识点

程序框图
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1．若集合，，则

A

B

C2

D

正确答案

A

解析

,.所以选择A选项.

考查方向

本题主要考查了集合的运算、一元二次方程的解法以及区间的认识,集合的基本运算在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与一元二次不等的解法交汇命题。

解题思路

先求出集合B，然后根据交集的定义求出相应的结果。

易错点

集合的运算、一元二次方程的解法

知识点

交集及其运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2．若复数z满足zi = 1 + i，则z的共轭复数是

A-1 - i

B1 + i

C-1 + i

D1 – i

正确答案

B

解析

在zi = 1 + i两边同时乘以i，得到 -z=i-1,从而z=1-i，于是.所以选择B选项.

考查方向

本题主要考查了复数的运算、共轭复数的概念,复数的运算在近几年各省的高考题中几乎每年都会出现，需要高度重视。

解题思路

先求出复数z，然后根据共轭复数的概念写出。

易错点

复数的运算题目一般比较容易，往往会在计算时因失误而失分。

知识点

复数的基本概念复数代数形式的乘除运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4．已知向量a，b满足，，

A-12

B-20

C12

D20

正确答案

A

解析

由于，，两式相加得到a=（2,2），两式相减得到b=（-1，-5），

，所以选A选项。

考查方向

本题主要考查了向量的坐标运算。

解题思路

1、根据向量的加、减运算计算出向量a，b的坐标；

2、由向量数量积的坐标运算公式即可得到结果。

易错点

1、本题往往会因为没有记清楚向量数量积的坐标运算公式而出错；

2、本题会在计算时出现失误而导致计算出错。

知识点

平面向量数量积的运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5．若函数，则的值为

A-10

B10

C-2

D2

正确答案

C

解析

因为1>0,所以=-2,此时由于=-2<0,因此，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查了对分段函数的理解以及对复合函数的认识、分段函数在近几年的各省高考题出现的频率较高。

解题思路

根据复合函数的运算规则，从内层函数出发，逐层往外计算，因此先算，然后再算.

易错点

本题易在不理解的含义而导致错误。

知识点

函数的值
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6．设，若，，则p是q的

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

因为，不妨取a=-1,b=1,则，得不到，于是p是q 成立的不充分条件；反过来，由于，因此a、b均小于0，在两端同时乘以ab，即可得到，从而p是q 成立的必要条件，因此选择B选项。

考查方向

本题主要考查了充分条件与必要条件以及不等式的基本性质,充分条件与必要条件在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与不等式交汇命题。

解题思路

1、充分条件的判断可以通过取特殊值进行验证；

2、必要条件的判断可以通过不等式的基本性质进行判断。

易错点

1、本题易在不理解充分条件与必要条件的含义而导致错误。

2、本题在应用不等式的性质时会因为疏忽符号而出现错误。

知识点

充要条件的判定
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表                                                                               根据上表可得回归直线方程为，则

A-96.8

B96.8

C-104.4

D104.4

正确答案

A

解析

，，所以选择A选项。

考查方向

本题主要考查了考生对回归直线方程的认识,回归直线在新课改中的地位有所提高，在近几年的各省高考题中失常出现，常与概率、统计等相关知识融合出题。

解题思路

根据公式可以知道，只需要算出，代入公式即可；

易错点

1、本题易在计算时出现失误而导致错误。2、本题不容易理解线性回归直线方程的含义而导致无法做答。

知识点

线性回归方程
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A

B

C13

D

正确答案

A

解析

该三视图所对应得空间几何体如图所示：根据台体的体积计算公式，所以选A选项。

考查方向

本题主要考查了三视图以及空间几何体的体积计算公式，三视图是新课改中新增的知识，在近几年的各省高考题中几乎每年都会出现，常与空间几何体的表面积和体积交汇命题。

解题思路

1、首先根据三视图还原出原来的几何体；

2、根据空间几何体的体积计算公式选择合适的公式计算。

易错点

不能根据三视图准确地还原出原来的空间几何体而导致本题不会做。

知识点

组合几何体的面积、体积问题简单空间图形的三视图
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11．双曲线C：的左、右焦点分别为，，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，，线段F1N交双曲线C于点Q，且，则双曲线C的离心率为（  ）

A

B2

C

D

正确答案

D

解析

由于MN∥F1F2，，所以，又因为，所以Ｑ是的中点，所以，Ｎ，Ｑ代入双曲线的标准方程中，可以求得，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义、方程以及几何性质等知识点，同时考查了综合法、转化法等思想方法以及学生的计算能力。

解题思路

确定N、Q的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的离心率。

易错点

本题容易因为对双曲线的性质记忆不清楚而导致题目无法进行。

知识点

双曲线的几何性质
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12．已知定义在R上的奇函数的图象为一条连续不断的曲线，，，且当0 < x < 1时，的导函数满足：，则在上的最大值为（  ）

Aa

B0

C-a

D2016

正确答案

C

解析

由可知函数的对称轴为x = 1，由是定义在R上的奇函数可知的图像过原点，令，则，因此是减函数，在（0，1）上为减函数，据此可以画出的草图（如图）,易知是周期为4的周期函数，于是，在上单调递减，其最大值为，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查了函数的单调性、周期性、奇偶性等性质，同时考察了数形结合思想，该类综合性在近几年各省的高考试题中频繁出现，需要引起重视。

解题思路

根据题目中的信息画出符合条件的函数的草图，结合草图利用函数的周期性予以解决。

易错点

本题容易因为不理解这一条件所反映的信息而无法做答。

知识点

函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义导数的运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7．若点在直线上，则的值等于

A

B

C

D[

正确答案

B

解析

因为点在直线上，所以，从而，，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，诱导公式以及三角恒等变换问题，考查了转化化归思想方法。

解题思路

首先由点P在直线上，可以求得，再利用诱导公式以及三角恒等变换可以求得最终结果。

易错点

1、本题易在使用诱导公式时判断错误符号而导致出错。

2、本题容易因为公式记忆不清楚而出现错误。

知识点

任意角的三角函数的定义同角三角函数间的基本关系诱导公式的作用二倍角的余弦
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8．数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

第一步，先给每个课题选研究成员，共有种选法（见表）；第二步，给每个课题组选组长，有种方法，因此不同的分配方式有种，所以选择Ｂ选项。

考查方向

本题主要考查了排列与组合的相关知识，主要考查学生分析问题以及运用所学知识解决实际问题的能力。

解题思路

确定解决问题的步骤，根据步骤逐步完成任务即可。

易错点

本题易在左右平移时发生错误，易忽视x的系数2 。

知识点

排列、组合及简单计数问题
填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13．若实数x，y满足，则的最大值是__________。

正确答案

2

解析

可行域如图所示，易知当直线平移至经过A（0,1）点时目标函数取得最大值，最大值为。

考查方向

本题主要考查了线性规划的相关知识。

解题思路

1、根据线性约束条件画出可行域。

2、画出直线，通过平移确定最大值的位置．

易错点

本题往往会因为不能准确地画出可行域而导致错误。

知识点

其它不等式的解法
1
题型：填空题
|
分值: 5分

15．已知圆与抛物线的准线交于A、B两点，且，则m的值为__________。

正确答案

8

解析

在平面直角坐标系中画出圆如图所示，据图可以知道CD=，因此抛物线的开口是向右的，其准线为．由AE=，OA＝２，得OE=1，因此准线，解得m=8。

考查方向

本题主要考查了抛物线的性质以及直线与圆的位置关系问题，同时考查了学生的数形结合以及分类讨论思想。

解题思路

根据题意画出合适的图形，然后结合图形进行分析和计算．

易错点

本题必须要对抛物线的标准方程和几何性质有深刻的认识，否则容易因为误认为准线为而出错。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型：填空题
|
分值: 5分

14．已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2，PB = PC = 1，则三棱锥P-ABC的内切球半径为__________。

正确答案

解析

如图设Ｏ为内切球的球心，其半径为ｒ，则由，代入数据即可求得r=。

考查方向

本题主要考查了空间几何体的结构的相关知识以及“等体积法”的应用，主要考查学生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

以内切球的球心为顶点，把三棱锥转化成4个小三棱锥，然后体积加一起就是大三棱锥的体积。（本题也可以）

易错点

本题往往会因为不能准确地想象题目中所要求的空间几何体而无法求解。

知识点

与球体有关的内切、外接问题
1
题型：填空题
|
分值: 5分

16．已知ΔABC满足，，点M在ΔABC外，且MB = 2MC = 2，则MA的取值范围是__________。

正确答案

[1,3]

解析

由可以得知三角形ABC为正三角形，根据题意画出如图所示的图形，在三角形BCM中，由正弦定理得：

整理得：

由

得

将(1)代入(2)得到

三角形BCM中余弦定理可得

(3)、(4)联立整理得

三角形ACM中余弦定理可得

将(1)、(3)、(5)代入(6)得

因此

考查方向

本题主要考查了向量的基本运算、正余弦定理，同时考查了学生的数形结合思想以及转化化归思想，难度较大。

解题思路

1、根据判断出三角形ABC的形状，并画出符合题意的草图。

2、结合图形利用正余弦定理分析求解

易错点

结合图形利用正余弦定理分析求解

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

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