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1. 已知集合,
,则
等于( )
正确答案
解析
,
∴=
故选B
考查方向
解题思路
先解一元二次不等式,分式不等式,化简集合A,B,求出
易错点
一元二次不等式,分式不等式的解法
2.已知复数(其中
为虚数单位),若
为纯虚数,则实数
等于( )
正确答案
解析
,若
为纯虚数,则a-1=0且a+1
0
∴a=1
故选C
考查方向
解题思路
先做复数除法运算,再根据纯虚数概念求值
易错点
复数除法运算,纯虚数概念
4. 若实数满足条件
,则
的最小值为( )
正确答案
解析
作出可行域,目标函数为可行域内的点到点(-1,0)连线的斜率,由数形结合,可得连
线过(1,1)时, 的最小值为
故选B
考查方向
解题思路
先做出可行域,再根据目标函数的几何意义转化为直线的斜率求最小值
易错点
数形结合思想
7.抛物线的焦点为
,点
,
为抛物线上一点,且
不在直线
上,则
周长的最小值为( )
正确答案
解析
过P作准线的垂线PQ,由抛物线定义, 周长=PF+PA+AF=PQ+PA+AF,由几何性质可知,PQ+PA的最小值为A到准线x=-1的距离,即为4, ∴
周长=PQ+PA+AF
4+AF=
故选C
考查方向
解题思路
由抛物线定义, 周长= PQ+PA+AF,由几何性质可知,PQ+PA的最小值为A到准线x=-1的距离,求出最小值
易错点
抛物线定义的应用
9.二分法是求方程近似解的一种方法,其原理是“一分为二,无限逼近”.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出
的值为( )
正确答案
解析
利用循环结构列举,
第一次: ,
,
则, ,
,
第二次: ,n=2,
,
则,
第三次: ,n=3,
,
则,
第四次,n=4,
,
则,
循环结束,输出n=4
故选C
考查方向
解题思路
利用循环结构列举,一一判断条件是否成立确定计算方式
易错点
由判断框内条件确定下一步的计算
3. 的内角
,
,
的对边分别为
,
,
,若
,则
等于( )
正确答案
解析
由正弦定理得:,
∴sinB=,
或
故选D
考查方向
解题思路
由正弦定理求sinB,再求角B
易错点
正弦定理
5.已知平面平面
,
,直线
,直线
,且
,有以下四个结论:
① 若,则
② 若
,则
③ 和
同时成立 ④
和
中至少有一个成立
其中正确的是( )
正确答案
解析
①:,
,∴
,平面
平面
,
,
∴ ,①正确
②: 若,直线
,∴
垂直平面
内的任意一条直线, ②错误
③:当n,n与l不垂直时,结论错误
④:当m与平面不垂直时,过m上任一点P作PQ
l,由平面
平面
,
可得
,
,则
,又
,∴
, ④正确
故选B
考查方向
解题思路
根据线面垂直,面面垂直的判定定理与性质定理一一判定
易错点
定理和应用
6.已知,点
为斜边
的中点,
,
,
,则
等于( )
正确答案
解析
以A为原点,AC,AB为x,y轴建立直角坐标系,则A(0,0),B(0,),C(6,0),D(3,
),E(1,
),
故选D
考查方向
解题思路
建立直角坐标系,用数量积的坐标公式计算
易错点
数量积的坐标公式
8.某校高三年级有男生220人,学籍编号1,2,…,220;女生380人,学籍编号221,222,…,600.为了解学生学习的心理状态,按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样,抽到的号码为10),然后再从这10位学生中随机抽取3人座谈,则3人中既有男生又有女生的概率是( )
正确答案
解析
由题意,抽到的10个号码为10,70,130,190,250,310,270,430,490,550,则男生4人,女生6人, 从这10位学生中随机抽取3人座谈,有种事件,10人中既有男生又有女生有
种,∴所求概率为
故选D
考查方向
解题思路
先系统抽样确定10人中4男6女,再求组合数公式计算种数求出概率
易错点
系统抽样确定男生,女生个数
10.已知定义在上连续可导的函数
满足
,且
,则( )
正确答案
解析
,则
,设
,由
得
∴
故选D
考查方向
解题思路
先构造函数,由条件求出
利用基本不等式求出最小值
易错点
构造原函数
11.已知双曲线,过
轴上点
的直线
与双曲线的右支交于
两点(
在第一象限),直线
交双曲线左支于点
(
为坐标原点),连接
.若
,
,则该双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
由题意,
,
解得,由双曲线的性质:
∴
故选A
考查方向
解题思路
求出,由夹角公式求出
,利用双曲线的性质得
易错点
双曲线的性质的运用
12.已知,
为动直线
与
和
在区间
上的左,右两个交点,
,
在
轴上的投影分别为
,
.当矩形
面积取得最大值时,点
的横坐标为
,则( )
正确答案
解析
由题意知,与
关于直线
对称,设
,则
,
,
,
,
,
,
在区间
上单调递减,且
,
,
在区间
存在唯一零点,即为
.
令得:
,即
.
由不等式得:
,解得:
,
故选A
考查方向
解题思路
设P,Q两点坐标,表示面积,用导数求最大值
易错点
解不等式不能解时,注意整体代换的处理
13.的展开式中,
的系数为___________
正确答案
40
解析
,令
∴的系数为
考查方向
解题思路
二项式展开式通项,令x的指数为,求出r,再代入求系数
易错点
二项式展开式通项公式
15.某三棱锥的三视图如图所示,则其外接球的表面积为______
正确答案
解析
由三视图可得三棱锥的直观图如图所示,取
的中点
,连接
,
设为
的外心,
为三棱锥的外接球的半径,则
在线段
上,
因为,即
,解得:
,
所以,
考查方向
解题思路
由三视图可得三棱锥的直观图,补形成长方体,求外接球的半径,可求表面积
易错点
三视图的识图
16.若实数a,b,c满足,则
的最小值是_________
正确答案
1
解析
由得:
在坐标系中考察函数与
的图象,
所以,的最小值等价于直线
与函数
,
交点横坐标之间距离的最小值.设直线
与
相切于点
,则
,解得:
,
所以,,故
.
考查方向
解题思路
由得:
.考察函数
与
的图象,利用几何意义平移直线后求解
易错点
数形结合思想将问题转化
14.化简:____________
正确答案
C
解析
考查方向
解题思路
通分后用二倍角的正弦及辅助角公式化简
易错点
辅助角公式
已知数列,满足
,
,
.
17.求证:数列为等差数列;
18.设,求
.
正确答案
详见解析
解析
由,得
3分
数列
是首项为
,公差为
的等差数列 5分
考查方向
解题思路
由,取倒数化简得
,证得结论成立
易错点
取倒数化简
正确答案
解析
解:设 7分
由(Ⅰ)得,数列为公差为
的等差数列
即·· 8分
,
且
是首项
,公差为
的等差数列· 10分
12分
考查方向
解题思路
先探寻{bn}通项公式,再用裂项法求和
易错点
首先探寻通项公式,通过分析通项公式的特征发现求和的方法
为了响应厦门市政府“低碳生活,绿色出行”的号召,思明区委文明办率先全市发起“少开一天车,呵护厦门蓝”绿色出行活动,“从今天开始,从我做起,力争每周至少一天不开车,上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车,鼓励拼车……”铿锵有力的话语,传递了低碳生活、绿色出行的理念。某机构随机调查了本市500名成年市民某月的骑车次数,统计如下:
联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段:44岁及以下为青年人,45岁至59岁为中年人,60岁及以上为老年人.记本市一个年满18岁的青年人月骑车的平均次数为.以样本估计总体.
19.估计的值;
20.在本市老年人或中年人中随机访问3位,其中月骑车次数超过的人数记为
,求
的分布列与数学期望.
正确答案
40
解析
由已知可得下表
本市一个青年人月骑车的平均次数:
.
考查方向
解题思路
列出频数分布表,根据数据求平均数
易错点
列出频数分布表
正确答案
详见解析
解析
本市老年人或中年人中月骑车时间超过40次的概率为. 7分
,
,故
. 9分
所以的分布列如下:
···································· 11分
. 12分
考查方向
解题思路
由题意列出的分布列,根据公式求期望
易错点
运算求解能力、数据处理能力
在如图所示的六面体中,面是边长为
的正方形,面
是直角梯形,
,
,
.
21.求证://平面
;
22.若二面角为
,求直线
和平面
所成角的正弦值.
正确答案
详见解析
解析
连接相交于点
,取
的中点为
,连接
.
是正方形,
是
的中点,
,
又因为,所以
且
,
所以四边形是平行四边形,················· 3分
,又因为
平面
,
平面
平面
5分
考查方向
解题思路
连接相交于点
,取
的中点为
,连接
,证明四边形
是平行四边形得
,从而得
//平面
易错点
线面平行的判定定理
正确答案
详见解析
解析
取的中点为
,
的中点为
,连接
.以
为坐标原点,
为
轴、
为
轴、
为
轴建立空间直角坐标系.
则 8分
以,
设平面的一个法向量为
,
则即
令
,则
,
所以···················· 11分
设直线和平面
所成角为
,则
考查方向
解题思路
取的中点为
,
的中点为
,连接
.以
为坐标原点,
为
轴、
为
轴、
为
轴建立空间直角坐标系,求出平面
的一个法向量,再求直线
和平面
所成角的正弦
易错点
空间向量求角的计算
已知函数.
23.讨论函数的零点个数;
24.当时,求证:
恒成立.
正确答案
详见解析
解析
由已知········· 1分
令,
2分
单调递增
,
单调递减
···················· 3分
综上:或
时,有1个零点
时,有2个零点
时,有0个零点 5分
考查方向
解题思路
分离参数k,构造函数,用导数讨论单调性
易错点
导数研究函数单调性
正确答案
详见解析
解析
要证
即证
令,
····· 7分
9分
单调递减·············· 11分
单调递增,
单调递减,
综上: 12分
考查方向
解题思路
用分析法构造出函数,用导数研究函数单调性,得到最值,证明不等式
易错点
构造函数用导数证明不等式
已知椭圆,动圆
:
(圆心
为椭圆
上异于左右顶点的任意一点),过原点
作两条射线与圆
相切,分别交椭圆于
,
两点,且切线长的最小值为
.
25.求椭圆的方程;
26.求证:的面积为定值.
正确答案
解析
解:如图1,因为,所以
,
由得:
故点在圆
外,
不妨设与圆
相切于T,则有:
切线长 ···· 1分
代入得
···· 3分
由已知得:,解得:
,
所以椭圆的方程为: 4分
考查方向
解题思路
先判断点在圆
外,表示出切线长,用二次函数求最值得到椭圆方程
易错点
切线长的表示
正确答案
详见解析
解析
解:1°当切线OM或ON斜率不存在即圆P与y轴相切时,易得,代入椭圆方程得:
,说明圆P同时也与x轴相切(图2),此时M、N分别为长、短轴一个端点,则
的面积为
.······························ 5分
2°当切线OM、ON斜率都存在时,设切线方程为:,
由得:
,
整理得:(*), 6分
由1°知:,即
,此时
,方程(*)必有两个非零根,
记为,则
分别对应直线
的斜率,
由韦达定理得:,将
代入得:
··············· 7分
解法一:(求交点坐标)
由上知:,
设点N位于第一、三象限,点M位于第二、四象限,
若点N位于第一象限,点M位于第二象限,
设OM:与椭圆方程
联立可得:
设ON:与椭圆方程
联立可得:
·············· 9分
···································· 10分
代入坐标有:
同理,当点M、N位于其它象限时,结论也成立
综上,的面积为定值
.················ 12分
考查方向
解题思路
当切线OM或ON斜率不存在即圆P与y轴相切时,求出,
,可计算出则
的面积为
;当切线OM、ON斜率都存在时, 设切线方程为:
代入椭圆方程求出M,N坐标,计算
的面积为定值
易错点
计算能力.化归思想
在直角坐标系中,曲线
:
(
为参数).以
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,直线
的极坐标方程为
.
27.求曲线的极坐标方程与直线
的直角坐标方程;
28.若直线与
,
在第一象限分别交于
,
两点,
为
上的动点,
求面积的最大值.
正确答案
详见解析
解析
解:依题意得,曲线的普通方程为
,
曲线的极坐标方程为
,····· 3分
直线的直角坐标方程为
. 5分
考查方向
解题思路
利用公式将参数方程,极坐标方程与普通方程转化
易错点
参数方程,极坐标方程与普通方程转化
正确答案
解析
曲线的直角坐标方程为
,由题意设
,
,
则,即
,得
或
(舍),
,则
,· 7分
到
的距离为
.
以为底边的
的高的最大值为
.
则的面积的最大值为
. 10分
考查方向
解题思路
设,
,求出
,
,得AB=1,
到
的距离为
,从而可求则
的面积的最大值
易错点
利用极坐标方程求解弦长问题
已知函数,若
的解集是
.
29.求的值;
30.若关于的不等式
有解,求实数
的取值范围.
正确答案
3
解析
······· 1分
作出函数的图象
……………………………………3分
由的解集为
及函数图象得
得
…………………………………………5分【分值】5
考查方向
解题思路
写出f(x)的分段函数,利用图像求出m的值
易错点
对绝对值不等式的理解与运用
正确答案
解析
由上题得
··············· 6分
有解
即
· 8分
·············· 9分
实数的取值范围
10分
考查方向
解题思路
求出f(x)的最小值,转化为解不等式,求出a的范围
易错点
绝对值函数化为分段函数以及不等式求解问题