理科数学 厦门市2017年高三第二次质量检测
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1. 已知集合,则等于(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

,

=

故选B

考查方向

本题主要考查了一元二次不等式,分式不等式的解法,交集的运算

解题思路

先解一元二次不等式,分式不等式,化简集合A,B,求出

易错点

一元二次不等式,分式不等式的解法

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.已知复数(其中为虚数单位),若为纯虚数,则实数等于(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

,若为纯虚数,则a-1=0且a+10

∴a=1

故选C

考查方向

本题主要考查了复数除法运算,纯虚数概念

解题思路

先做复数除法运算,再根据纯虚数概念求值

易错点

复数除法运算,纯虚数概念

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4. 若实数满足条件,则的最小值为(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

作出可行域,目标函数为可行域内的点到点(-1,0)连线的斜率,由数形结合,可得连

线过(1,1)时, 的最小值为

故选B

考查方向

本题主要考查了线性规划求最值及数形结合思想

解题思路

先做出可行域,再根据目标函数的几何意义转化为直线的斜率求最小值

易错点

数形结合思想

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.抛物线的焦点为,点为抛物线上一点,且不在直线上,则周长的最小值为(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

过P作准线的垂线PQ,由抛物线定义, 周长=PF+PA+AF=PQ+PA+AF,由几何性质可知,PQ+PA的最小值为A到准线x=-1的距离,即为4, ∴周长=PQ+PA+AF4+AF=

故选C

考查方向

本题主要考查了抛物线定义, 几何性质求最小值

解题思路

由抛物线定义, 周长= PQ+PA+AF,由几何性质可知,PQ+PA的最小值为A到准线x=-1的距离,求出最小值

易错点

抛物线定义的应用

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.二分法是求方程近似解的一种方法,其原理是“一分为二,无限逼近”.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的值为(    )

A2

B3

C4

D5

正确答案

C

解析

利用循环结构列举,

第一次: ,,

则, ,,

第二次: ,n=2, ,

,

第三次: ,n=3,,

,

第四次,n=4,,

,循环结束,输出n=4

故选C

考查方向

本题主要考查了程序框图中的循环结构

解题思路

利用循环结构列举,一一判断条件是否成立确定计算方式

易错点

由判断框内条件确定下一步的计算

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3. 的内角的对边分别为,若,则等于(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由正弦定理得:,

∴sinB=,

故选D

考查方向

本题主要考查了正弦定理的应用

解题思路

由正弦定理求sinB,再求角B

易错点

正弦定理

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.已知平面平面,直线,直线,且,有以下四个结论:

① 若,则                ② 若,则

同时成立          ④ 中至少有一个成立

其中正确的是(    )

A①③

B①④

C. ②③

D②④

正确答案

B

解析

①:,∴,平面平面

 ,①正确

②: 若,直线,∴垂直平面内的任意一条直线, ②错误

③:当n,n与l不垂直时,结论错误

④:当m与平面不垂直时,过m上任一点P作PQl,由平面平面可得,,则,又,∴,  ④正确

故选B

考查方向

本题主要考查了线面垂直,面面垂直的判定定理与性质定理

解题思路

根据线面垂直,面面垂直的判定定理与性质定理一一判定

易错点

定理和应用

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.已知,点为斜边的中点,,则等于(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

以A为原点,AC,AB为x,y轴建立直角坐标系,则A(0,0),B(0,),C(6,0),D(3, ),E(1,),

故选D

考查方向

本题主要考查了数量积的坐标公式

解题思路

建立直角坐标系,用数量积的坐标公式计算

易错点

数量积的坐标公式

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.某校高三年级有男生220人,学籍编号1,2,…,220;女生380人,学籍编号221,222,…,600.为了解学生学习的心理状态,按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样,抽到的号码为10),然后再从这10位学生中随机抽取3人座谈,则3人中既有男生又有女生的概率是(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意,抽到的10个号码为10,70,130,190,250,310,270,430,490,550,则男生4人,女生6人, 从这10位学生中随机抽取3人座谈,有种事件,10人中既有男生又有女生有种,∴所求概率为

故选D

考查方向

本题主要考查了系统抽样, 组合数公式,概率公式

解题思路

先系统抽样确定10人中4男6女,再求组合数公式计算种数求出概率

易错点

系统抽样确定男生,女生个数

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.已知定义在上连续可导的函数满足,且,则(    )

A是增函数

B是减函数

C有最大值1

D有最小值1

正确答案

D

解析

,则,设,由

故选D

考查方向

本题主要考查了导函数,基本不等式

解题思路

先构造函数,由条件求出利用基本不等式求出最小值

易错点

构造原函数

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.已知双曲线,过轴上点的直线与双曲线的右支交于两点(在第一象限),直线交双曲线左支于点为坐标原点),连接.若,则该双曲线的离心率为(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题意,,

解得,由双曲线的性质:

故选A

考查方向

本题主要考查了夹角公式及双曲线的性质

解题思路

求出,由夹角公式求出,利用双曲线的性质得

易错点

双曲线的性质的运用

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.已知为动直线在区间上的左,右两个交点,轴上的投影分别为.当矩形面积取得最大值时,点的横坐标为,则(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题意知,关于直线对称,设,则

在区间上单调递减,且

在区间存在唯一零点,即为.

得:,即.

由不等式得:,解得:

故选A

考查方向

本题主要考查了三角函数的图象与性质、导数、零点、不等式

解题思路

设P,Q两点坐标,表示面积,用导数求最大值

易错点

解不等式不能解时,注意整体代换的处理

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.的展开式中,的系数为___________

正确答案

40

解析

,令

的系数为

考查方向

本题主要考查了二项式展开式通项

解题思路

二项式展开式通项,令x的指数为,求出r,再代入求系数

易错点

二项式展开式通项公式

1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.某三棱锥的三视图如图所示,则其外接球的表面积为______

正确答案

解析

由三视图可得三棱锥的直观图如图所示,取的中点,连接

的外心,为三棱锥的外接球的半径,则在线段上,

因为,即,解得:

所以,

考查方向

本题主要考查了三视图,球的表面积

解题思路

由三视图可得三棱锥的直观图,补形成长方体,求外接球的半径,可求表面积

易错点

三视图的识图

1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.若实数abc满足,则的最小值是_________

正确答案

1

解析

得:

在坐标系中考察函数的图象,

所以,的最小值等价于直线与函数交点横坐标之间距离的最小值.设直线相切于点,则,解得:

所以,,故.

考查方向

本题主要考查了数形结合思想,导数在切线中的运用

解题思路

得:.考察函数的图象,利用几何意义平移直线后求解

易错点

数形结合思想将问题转化

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.化简:____________

正确答案

C

解析

考查方向

本题主要考查了二倍角的正弦及辅助角公式,同角三角式

解题思路

通分后用二倍角的正弦及辅助角公式化简

易错点

辅助角公式

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知数列,满足.

17.求证:数列为等差数列;

18.设,求.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

,得 3分

数列是首项为,公差为的等差数列    5分

考查方向

本题主要考查了等差数列的证明

解题思路

,取倒数化简得,证得结论成立

易错点

取倒数化简

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解:设    7分

由(Ⅰ)得,数列为公差为的等差数列

·· 8分

是首项,公差为的等差数列· 10分

      12分

考查方向

本题主要考查了等差数列通项公式求解, 裂项法求和

解题思路

先探寻{bn}通项公式,再用裂项法求和

易错点

首先探寻通项公式,通过分析通项公式的特征发现求和的方法

1
题型:简答题
|
分值: 12分

为了响应厦门市政府“低碳生活,绿色出行”的号召,思明区委文明办率先全市发起“少开一天车,呵护厦门蓝”绿色出行活动,“从今天开始,从我做起,力争每周至少一天不开车,上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车,鼓励拼车……”铿锵有力的话语,传递了低碳生活、绿色出行的理念。某机构随机调查了本市500名成年市民某月的骑车次数,统计如下:

联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段:44岁及以下为青年人,45岁至59岁为中年人,60岁及以上为老年人.记本市一个年满18岁的青年人月骑车的平均次数为.以样本估计总体.

19.估计的值;

20.在本市老年人或中年人中随机访问3位,其中月骑车次数超过的人数记为,求的分布列与数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

40

解析

由已知可得下表

本市一个青年人月骑车的平均次数:

.

考查方向

本题主要考查了频数分布表,平均数

解题思路

列出频数分布表,根据数据求平均数

易错点

列出频数分布表

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

本市老年人或中年人中月骑车时间超过40次的概率为.    7分

,故. 9分

所以的分布列如下:

···································· 11分

. 12分

考查方向

本题主要考查了古典概型、随机变量的分布列,数学期望

解题思路

由题意列出的分布列,根据公式求期望

易错点

运算求解能力、数据处理能力

1
题型:简答题
|
分值: 12分

在如图所示的六面体中,面是边长为的正方形,面是直角梯形,.

21.求证://平面

22.若二面角,求直线和平面所成角的正弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

连接相交于点,取的中点为,连接.

是正方形,的中点,,

又因为,所以

所以四边形是平行四边形,················· 3分

,又因为平面,平面

平面  5分

考查方向

本题主要考查了线面平行的证明

解题思路

连接相交于点,取的中点为,连接,证明四边形是平行四边形得,从而得//平面

易错点

线面平行的判定定理

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

的中点为,的中点为,连接.以为坐标原点,轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

   8分

,

设平面的一个法向量为

,则

所以···················· 11分

设直线和平面所成角为,则

考查方向

本题主要考查了线面角,空间向量在立体几何中的应用

解题思路

的中点为,的中点为,连接.以为坐标原点,轴、轴、轴建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量,再求直线和平面所成角的正弦

易错点

空间向量求角的计算

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知函数.

23.讨论函数的零点个数;

24.当时,求证:恒成立.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

由已知········· 1分

    2分

单调递增

单调递减

···················· 3分

综上:时,有1个零点

时,有2个零点

时,有0个零点    5分

考查方向

本题主要考查了用导数研究函数单调性

解题思路

分离参数k,构造函数,用导数讨论单调性

易错点

导数研究函数单调性

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

要证

即证

····· 7分

9分

单调递减·············· 11分

单调递增,

单调递减,

综上: 12分

考查方向

本题主要考查了用导数证明不等式

解题思路

用分析法构造出函数,用导数研究函数单调性,得到最值,证明不等式

易错点

构造函数用导数证明不等式

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知椭圆,动圆(圆心为椭圆上异于左右顶点的任意一点),过原点作两条射线与圆相切,分别交椭圆于两点,且切线长的最小值为.

25.求椭圆的方程;

26.求证:的面积为定值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解:如图1,因为,所以

得:

故点在圆外,

不妨设与圆相切于T,则有:

切线长 ···· 1分

代入得

···· 3分

由已知得:,解得:

所以椭圆的方程为:      4分

考查方向

本题主要考查了椭圆的标准方程的求法

解题思路

先判断点在圆外,表示出切线长,用二次函数求最值得到椭圆方程

易错点

切线长的表示

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解:1°当切线OM或ON斜率不存在即圆P与y轴相切时,易得,代入椭圆方程得:,说明圆P同时也与x轴相切(图2),此时M、N分别为长、短轴一个端点,则的面积为.······························ 5分

2°当切线OM、ON斜率都存在时,设切线方程为:

得:

整理得:(*),   6分

由1°知:,即,此时,方程(*)必有两个非零根,

记为,则分别对应直线的斜率,

由韦达定理得:,将代入得:  ··············· 7分

解法一:(求交点坐标)

由上知:

设点N位于第一、三象限,点M位于第二、四象限,

若点N位于第一象限,点M位于第二象限,

设OM:与椭圆方程联立可得:

设ON:与椭圆方程联立可得:

·············· 9分

···································· 10分

代入坐标有:

同理,当点M、N位于其它象限时,结论也成立

综上,的面积为定值.················ 12分

考查方向

本题主要考查了圆锥曲线中的有关定值问题,直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系,考查推理运算和方程求解能力.运用化归转化手段

解题思路

当切线OM或ON斜率不存在即圆P与y轴相切时,求出,,可计算出则的面积为;当切线OM、ON斜率都存在时, 设切线方程为:代入椭圆方程求出M,N坐标,计算的面积为定值

易错点

计算能力.化归思想

1
题型:简答题
|
分值: 10分

在直角坐标系中,曲线为参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为

27.求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程;

28.若直线在第一象限分别交于两点,上的动点,

面积的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解:依题意得,曲线的普通方程为

曲线的极坐标方程为,····· 3分

直线的直角坐标方程为.  5分

考查方向

本题主要考查了参数方程,极坐标方程与普通方程转化

解题思路

利用公式将参数方程,极坐标方程与普通方程转化

易错点

参数方程,极坐标方程与普通方程转化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

曲线的直角坐标方程为,由题意设

,即,得(舍),

,则,· 7分

的距离为

为底边的的高的最大值为

的面积的最大值为.    10分

考查方向

本题主要考查了利用极坐标方程求解弦长问题,三角形最值问题

解题思路

,求出,,得AB=1, 的距离为,从而可求则的面积的最大值

易错点

利用极坐标方程求解弦长问题

1
题型:简答题
|
分值: 10分

已知函数,若的解集是.

29.求的值;

30.若关于的不等式有解,求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

3

解析

······· 1分

作出函数的图象

……………………………………3分

的解集为 及函数图象得

 得     …………………………………………5分【分值】5

考查方向

本题主要考查了对绝对值不等式的理解与运用

解题思路

写出f(x)的分段函数,利用图像求出m的值

易错点

对绝对值不等式的理解与运用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由上题得

 ··············· 6分

有解

· 8分

·············· 9分

实数的取值范围   10分

考查方向

本题主要考查了对绝对值函数的运算求解能力

解题思路

求出f(x)的最小值,转化为解不等式,求出a的范围

易错点

绝对值函数化为分段函数以及不等式求解问题

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