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2015年高考真题 理科数学 (四川卷)
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2、简答题
11
12
13
14
15
16
3、填空题
17
18
19
20
21
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单选题 本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（     ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

对于选项A，因为，且图象关于原点对称故选 A选项.

考查方向

本题主要考察三角函数的性质等知识，意在考察考生的基础知识。

解题思路

先将选项化简后利用三角函数的周期和奇偶性判断即可。

易错点

利用诱导公式化简时没有注意奇偶导致出错；不会利用辅助角公式化简C,D选项。

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（        ）

A

B

C6

D

正确答案

D

解析

双曲线的右焦点为，过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为，将x=2代入得，所以，故选D选项。

考查方向

本题主要考察圆锥曲线的性质等知识，意在考察考生对于基础知识的掌握程度。

解题思路

先根据双曲线方程求出基本量后，将带人渐近线方程，得，后得 即可得到答案。

易错点

将双曲线中的基本量与椭圆中的混淆导致出错；将带人渐近线方程，求值出错；

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（    ）A.144个

A144个

B120个

C96个

D72个

正确答案

B

解析

据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.选B.故选B 选项.

考查方向

本题主要考察排列组合的有关知识，意在考察考生的分类讨论的能力和分析问题解决问题的能力.

解题思路

先根据题意，确定分类的标准，按照万位上的数字分类，然后求出每类的结果后相加即可。

易错点

不确定如何分类导致结果出错；

知识点

排列、组合及简单计数问题
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的 （    ）

A充要条件

B充分不必要条件

C必要不充分条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

若，则，从而有，故为充分条件，若不一定有，比如，，从而不成立，故选B 选项.

考查方向

本题主要考察充要条件和指数、对数的运算等知识，意在考察考生的逻辑推理能力和运算求解能力。

解题思路

直接根据充要条件的判断方法判断即可。

易错点

对于的求解出错，不注意对数的适用范围。

知识点

充要条件的判定不等式的性质
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9.如果函数在区间单调递减，则mn的最大值为（      ）

A16

B18

C25

D

正确答案

B

解析

时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18故选B 选项.

考查方向

本题主要考察函数与不等式的综合应用，意在考察考生的分类讨论思想和综合解决问题的能力.

解题思路

先根据是否是二次函数分类，然后时又分为和时，两类分别讨论后得到,最后消元后利用基本不等式求出最值。

易错点

1.不能将题中给出的函数正确分类；

分类后想不到利用基本不等式导致没有思路。

知识点

二次函数在闭区间上的最值
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10.设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（     ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

不妨设直线，带人抛物线方程有：，则，又中点，则，即

代入，  可得 即，又由圆心到直线的距离等于半径，

可得，由  可得  故选D选项。

考查方向

本题主要考察直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识，意在考察考生的树形结合能力和运算推理能力。

解题思路

先设直线方程后代人消元得到判别式和中点，然后根据得到代人得到，最后利用圆和直线相切得到后即可得到答案。

易错点

1.不会转化题中给出的条件这样的直线l恰有4条；

找不到r和t之间的关系导致没有思路。

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.设集合，集合，则（      ）

A{x|-1

B{x|-1

C{x|1

D{x|2

正确答案

A

解析

，故选 A选项.

考查方向

本题主要考察集合间的基本运算，意在考察考生的树形结合能力。

解题思路

先解出集合A，后直接在数轴上求解既可。

易错点

不注意数轴导致端点出错或集合A解错。

知识点

并集及其运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2.设i是虚数单位，则复数(       )

A-i

B-3i

Ci.

D3i

正确答案

C

解析

故选C选项.

考查方向

本题主要考察复数的四则运算，意在考察考生的运算求解能力。

解题思路

直接根据复数的运算法则求解既可。

易错点

对于题中的负号处理可能会出错。

知识点

复数的基本概念复数代数形式的混合运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3.执行如图所示的程序框图，输出S的值是(       )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

这是一个循环结构，每次循环的结果依次为：，大于4，所以输出的故选D 选项.

考查方向

本题主要考察程序框图和三角函数求值等知识，意在考察考生对于程序框图的理解。

解题思路

根据程序框图顺序执行即可得到答案。

易错点

不清楚循环结束的条件导致出错。

知识点

程序框图
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（       ）

A20

B15

C9

D6

正确答案

C

解析

，所以

故选C 选项.

考查方向

本题主要考察平面向量的有关知识，意在考察考生的树形结合能力和运算推理能力。.

解题思路

先将所求向量用题中给出的向量表示出来后代人要求的式子化简即可。

易错点

1.不知道如何将题中要求的向量用已知向量表示；

利用向量的法则表示向量时出错。

知识点

向量加减混合运算及其几何意义
简答题（综合题） 本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为

20.请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）

21.证明：直线平面

22.求二面角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

点F、G、H的位置如图所示.

解析

点F、G、H的位置如图所示.

考查方向

本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.

解题思路

注意ABCD是底面，将平面展开图还原可得点F、G、H的位置.

易错点

1.将展开图还原出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

连结BD，设O为BD的中点.

因为M、N分别是BC、GH的中点，

所以，且，

，且，

所以，且，

所以是平行四边形，

从而，

又平面，平面，

所以平面.

考查方向

本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.

解题思路

根据直线与平面平行的判定定理，应考虑证明MN平行于平面BDH内的一条直线.连结O、M，易得是平行四边形，从而，进而证得平面.

易错点

找不到与MN平行的直线导致无法证明；

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

连结AC，过M作于P.

在正方形中，，

所以.

过P作于K，连结KM，

所以平面，

从而.

所以是二面角的平面角.

设，则，

在中，.

在中，.

所以.

即二面角的余弦值为.

考查方向

本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.

解题思路

要作出二面角的平面角，首先要过M作平面AEGC的垂线，然后再过垂足作棱EG的垂线，再将垂足与点M连结，即可得二面角的平面角.

易错点

利用向量法求解运算出错或找不到是二面角的平面角导致没有思路。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

如图，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.

23.证明：

24.若求

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析；

解析

.

考查方向

本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.

解题思路

首先切化弦得，为了将半角变为单角，可在分子分母同时乘以，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可.

易错点

不会转化角之间的关系导致没有思路。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

由，得.

由（1），有

连结BD，

在中，有，

在中，有，[来源:学科网ZXXK]

所以 ，

则，

于是.

连结AC，同理可得

，

于是.

所以

.

考查方向

本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.

解题思路

由题设知，该四边形的两对角互补.再结合（1）的结果，有，所以只需求出即可.由于已知四边，且，，故考虑用余弦定理列方程组求，从而求出.

易错点

1.第（2）问想不到利用第（1）问的结论；

化简得到有一定的难度。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队

18.求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.

19.某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

A中学至少1名学生入选的概率为.

解析

由题意，参加集训的男女生各有6名.

参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为.

因此，A中学至少1名学生入选的概率为.

考查方向

本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.

解题思路

.弄清题意后直接利用古典概率的概率公式先求对立事件的概率后即可得到答案；

易错点

对于题意理解有困难，不知道说的是什么导致没有思路。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

X的分布列为：

X的期望为.

解析

根据题意，X的可能取值为1，2，3.

，

，

，

所以X的分布列为：

因此，X的期望为.

考查方向

本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.

解题思路

直接根据超几何分布求解即可。

易错点

题中的概率错误的理解为是二项分布出错。

1
题型：简答题
|
分值: 13分

如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.

25.求椭圆E的方程；

26.在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

由已知，点在椭圆E上.

因此，

解得.

所以椭圆的方程为.

考查方向

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

解题思路

根据椭圆的对称性，当直线与轴平行时，，将这个点的坐标代入椭圆的方程，得.再根据离心率得，又，三者联立，解方程组即可得，进而得椭圆的方程为.

易错点

不会转化题中给出的条件；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

存在，Q点的坐标为.

解析

当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.

如果存在定点Q满足条件，则，即.[来源:Z。xx。k.Com]

所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.

当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.

则，

由，有，解得或.

所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.

下面证明：对任意的直线，均有.

当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.

联立得.

其判别式，

所以，.

因此.

易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.

又，

所以，即三点共线.

所以.

故存在与P不同的定点，使得恒成立.

考查方向

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

解题思路

先利用与轴平行和垂直这两种特殊情况找出点Q的坐标为.接下来联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系证明：对任意的直线，均有.设，由图可看出，为了证明，只需证明，为此作点B关于y轴对称的点，这样将问题转化为证三点共线.

易错点

想不到先解决特色情况再证明一般情况。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

设数列的前项和，且成等差数列.

16.求数列的通项公式；

17.记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由已知，有，

即.

从而.

又因为成等差数列，即.

所以，解得.

所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.

故.

考查方向

本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力.

解题思路

利用及题设可得与的关系为，所以这是一个公比为2的等比数列.再利用成等差数列，可求得，从而得通项公式.

易错点

不会根据Sn＝2an－a3求出an＝2an－1(n≥2)；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

10.

解析

由(1)得，

所以，

由，得，即

因为

所以，

于是，使成立的n的最小值为10.

考查方向

本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力.

解题思路

由（1）得，这仍然是一个等比数列，利用等比数列的前n项和公式，可求得，代入，即可得使成立的n的最小值.

易错点

求前n项和时对于项数出错。

1
题型：简答题
|
分值: 14分

已知函数

27.设

28.证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.【考查方向】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.

解析

由已知，函数的定义域为，

，

所以.

当时，在区间上单调递增，

在区间上单调递减；

当时，在区间上单调递增.

解题思路

首先对函数求导，得，然后再求导得.利用导数的符号即得其单调性.此题分和两种情况讨论.

易错点

不会确定分类的标准导致出错或不分类；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

由，解得.

令.

则，.

故存在，使得.

令，.

由知，函数在区间上单调递增.

所以.

即.

当时，有，.

由（1）知，函数在区间上单调递增.

故当时，有，从而；

当时，有，从而；

所以，当时，.

综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.

考查方向

本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.

解题思路

要使得在区间内恒成立，且在内有唯一解，则这个解应为极小值点，且极小值为0.所以我们应考虑求的极小值.由，解得，代入得.是否存在令使得呢？为此，令.

因为，故存在，使得.接下来的问题是，此时的是否满足呢？令.由知，函数在区间上单调递增.所以.即.

当时，有.由（1）知，函数在区间上单调递增.

故当时，有，从而；当时，有，从而；所以，当时，.

易错点

找不到解决问题的思路导致无法入手。

填空题 本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

11.在的展开式中，含的项的系数是       （用数字作答）.

正确答案

-40

解析

，所以的系数为.

考查方向

本题主要考察二项式定理，意在考察考生的运算求解能力。

解题思路

直接利用二项式的通项公式即可得到答案。

易错点

不注意要求的是系数还是二项式系数导致出错。

知识点

求二项展开式的指定项或指定项的系数
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是       小时.

正确答案

24

考查方向

本题主要考察求函数解析式和整体带换的思想，意在考察考生的运算能力。

易错点

1.没有发现192与48之间的关系导致不会解方程组；

知识点

指数函数的实际应用根据实际问题选择函数类型
1
题型：填空题
|
分值: 5分

14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为    .

正确答案

解析

建立坐标系如图所示.设，则.设，则，由于异面直线所成角的范围为，所以，令，则，当t=1时取等号，，所以，当y=0时取得最大值。

考查方向

本题主要考察空间两直线所成的角和不等式等知识，意在考察考生的空间想象能力和运算求解能力.

解题思路

建立坐标系后直接根据坐标求解即可；

易错点

1.点或向量的坐标写错；

不会利用基本不等式求最值。

知识点

异面直线及其所成的角
1
题型：填空题
|
分值: 5分

15.已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，.

现有如下命题：

（1）对于任意不相等的实数，都有；

（2）对于任意的a及任意不相等的实数，都有；

（3）对于任意的a，存在不相等的实数，使得；

（4）对于任意的a，存在不相等的实数，使得.

其中的真命题有             （写出所有真命题的序号）.

正确答案

①④

解析

对于①，因为f '(x)＝2xln2＞0恒成立，故①正确；

对于②，取a＝－8，即g'(x)＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误；

对于③，令f '(x)＝g'(x)，即2xln2＝2x＋a，记h(x)＝2xln2－2x，则h'(x)＝2x(ln2)2－2，存在，使得 ，可知函数先减后增，有最小值，因此，对于任意的a,m=n不一定成立，③错误；对于④，由，即，令，则恒成立，即是单调递增函数，当，时，当，时，因此对于任意的a，存在y=a与函数有交点，④正确。

考查方向

本题主要考察函数的性质、导数的应用等知识，意在考察考生的综合解决问题的能力。

解题思路

逐个判断各个选项的正误即可。

易错点

1.不明白题中给出的条件是什么；

对于③④，不知道该如何判断正误。

知识点

函数性质的综合应用
1
题型：填空题
|
分值: 5分

12.        .

正确答案

解析

.

考查方向

本题主要考生三角函数的化简与求值，意在考察考生的运算求解能力.

解题思路

先利用诱导公式将化简为，后利用辅助角公式即可。

易错点

意识不到15度和75度之间的关系出错或不会利用辅助角公式出错。

知识点

三角函数的化简求值

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