理科数学 2013年高三试卷

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填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分。把答案填写在题中横线上。

1.若复数，，其中i是虚数单位，则复数的模是（）

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3.下列各组向量中：

①e1＝（－1,2），e2＝（5,7）；

②e1＝（3,5），e2＝（6,10）；

③e1＝（2，－3），e2＝。

有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，这一组是（）（填序号）。

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5.已知函数的图象如图所示，则=（）

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6.已知，则的最大值为（）

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8.已知命题：在上有意义，命题：函数的定义域为．如果和有且仅有一个正确，则的取值范围（）

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10.设满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为（）

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2.若角与角终边相同，则在内终边与角终边相同的角是（）

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4.已知函数若，则实数=（）

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7.设，若，且是递增数列，则实数的取值范围是（）

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9.已知数列是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，则（）

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11.如图，已知C为边AB上一点，且,则=（）

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12.已知函数的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x1, y1），N（x2, y2），就恒有的定值为y0，则y0的值为（）

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13.已知数列满足：a1=m（m为正整数），，若，则m所有可能的取值为_______

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14.设，若函数存在整数零点，则的取值集合为（）

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简答题（综合题）本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.已知，，。

（1）若，记，求的值；

（2）若，，且∥，求证：。

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16.已知二次函数且关于的方程在上有两个不相等的实数根。

（1）求的解析式；

（2）若总有成立，求的最大值。

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17.如图，单位圆（半径为的圆）的圆心为坐标原点，单位圆与轴的正半轴交于点，与

钝角的终边交于点，设。

（1）用表示；

（2）如果，求点的坐标；

（3）求的最小值。

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18. 如图，在半径为、圆心角为的扇形金属材料中剪出一个长方形，并且与的平分线平行，设。

（1）试写出用表示长方形的面积的函数；

（2）在余下的边角料中在剪出两个圆（如图所示），试问当矩形的面积最大时，能否由这个矩形和两个圆组成一个有上下底面的圆柱？如果可能，求出此时圆柱的体积。

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19.设函数

（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；

（2）设为偶数，，，求的最小值和最大值；

（3）设，若对任意，有，求的取值范围。

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20.已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}，a1=b1=1,a3=b3=2。

（1）求an，bn；

（2）设,求数列{cn}的前n项和Sn；

（3）设的前项和为Tn，是否存在常数、，使恒成立？若存在，求.的值；若不存在，说明理由。

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