理科数学 热门试卷

依题意：，即，

又0＜A+B＜π，∴，∴，

由三角形是锐角三角形可得，

即由正弦定理得

∴，

，，

=

==

=

==，

∵，∴，

∴，即.

因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．

因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

从而AC⊥平面BDE．

因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．

因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．

由AD=3，可知，．

则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），

所以，．

设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．

令，则=．

因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．

所以cos．

因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．

点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．

因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．

此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．

当n=1时，a1=S1=2，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，

知a1=2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an=2n．

∵（n≥1）①

∴②（4分）

②﹣①得：，

bn+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）

．

∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，

又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，

即，解得：a=﹣1或a=3，

当截距为零时，设y=kx，同理可得或，

则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．-- -------6分

∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．

∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．

∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．

而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，

∴由，可得故所求点P的坐标为．

当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，

所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；

，当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．

若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．

若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；

当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；

当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．

故[f（x）]min==．

若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），

故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．

综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；

当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；

当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．..；

不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．

∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，

因而（x∈[1，e]）

令（x∈[1，e]），又，

当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，

从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，

故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．