理科数学 热门试卷

（Ⅰ）依题可知平面区域的整点为：共有13个，上述整点在平面区域的为：共有3个，

∴.

（Ⅱ）依题可得，平面区域的面积为，

平面区域与平面区域相交部分的面积为.

（设扇形区域中心角为，则得，也可用向量的夹角公式求）.

在区域任取1个点，则该点在区域的概率为，随机变量的可能取值为：.

，          ，

，   ，

∴的分布列为

∴的数学期望：

（或者：～，故）。

【法一】（Ⅰ）在线段上取中点，连结、.

则，且，∴是平行四边形

∴，又平面，平面，

∴平面

（Ⅱ）由，，得平面.

过点作于，连结.

则为二面角的平面角

在中，由，得

边上的高为，∴，又，

∴，∴

∴在棱上时，二面角总大于.

故棱上不存在使二面角的大小为的点

【法二】建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、.

∴、、、、、

、

（Ⅰ）∵且平面，

∴平面

（Ⅱ）取，则，.

∴，，即为面的一个法向量

同理，取，则，.

∴，，为平面的一个法向量

，∴二面角为.

又∵，∴二面角大于

∴在棱上时，二面角总大于.

故棱上不存在使二面角的大小为的点.

（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则

则故

所以，椭圆方程为．

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

由消去y得

（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，

则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，

且，．

故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．

因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，[]

所以=k2，

即+m2=0，又m≠0，

所以k2=，即k=．

由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得

0＜m2＜2且m2≠1．

设d为点O到直线l的距离，

则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，

所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．

所以≥，

当时，取得最大值，所以≥

（3）因为方程有唯一实数解，

因为，所以方程的解为，即，解得