• 理科数学 2015年高三试卷
单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1.若集合A={x|y=2x},集合,则A∩B=(   )

A(0,+∞)

B(1,+∞)

C[0,+∞)

D(-∞,+∞)

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1

2.设a∈R,则“a=1”是“直线y=a2x+1与直线y=x-1平行”的(   )

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

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1

3.已知复数z满足(3-4i)z=25,则z=(   )

A-3-4i

B﹣3+4i

C3-4i

D3+4i

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1

4.下列命题正确的是(   )

A若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

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1

6.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是(    )

Ax-y-3=0

B2x+y-3=0

Cx+y-1=0

D2x-y-5=0

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1

7.如图,一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ(00<θ<900)的平面所截,截面是一个椭圆,当θ为30°时,这个椭圆的离心率为(    )

A

B

C

D

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1

8.有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个,每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中任取3个标号不同的球,这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为(    )

A80

B84

C96

D104

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1

9.函数:

①y=x•sinx;

②y=x•cosx;

③y=x•|cosx|;

④y=x•2x

的图象(部)如图所示,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是(    )

A④①②③

B①④③②

C①④②③

D③④②①

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1

10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=ex(x+1),给出下列命题:

①当x>0时,f(x)=ex(1-x);

②f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞);

③函数f(x)有2个零点;

④∀x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2;

其中正确命题的个数是(    )

A1

B2

C3

D4

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1

5.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是(   )

A

B

C

D

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填空题 本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
1

11.已知x,y满足,则z=2x+y的最大值为_____________。

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1

12.如果执行如图所示的程序图(判断条件k≤20?),那么输出的S=_____________。

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1

13.设(2x+1)5+(x﹣2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=_____________。

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1

14.若方程log3(a-3x)+x-2=0有实根,则实数a的取值范围是________。

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1

15.已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,Sn为其前n项和,且满足an2=S2n﹣1(n∈N+).若不等式对任意的n∈N+恒成立,则实数λ的最大值为_____________。

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简答题(综合题) 本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

16.△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2﹣a2+bc=0,

(1)求角A的大小;

(2)若,求△ABC面积S△ABC的最大值.

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1

17.数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn和1的等差中项,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=S3

(I )求数列{an}、{bn}的通项公式;

(II)设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,证明:Tn

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1

18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,AB⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,若AB=8,DC=2,AD=6,PA=4,∠PAD=45°,且

(1)求证:PO⊥平面ABCD;

(2)设平面PAD与平面PBC所成二面角的大小为θ(0°<θ≤90°),求cosθ的值.

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1

19.某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,如图所示茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):

(1)指出这组数据的众数和中位数;

(2)若幸福度不低于9.5分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极幸福”的概率;

(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记ξ表示抽到“极幸福”的人数,求ξ的分布列及数学期望。

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1

20.分别过椭圆E:=1(a>b>0)左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点,与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点,直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4,且满足k1+k2=k3+k4,已知当l1与x轴重合时,|AB|=2,|CD|=

(1)求椭圆E的方程;

(2)是否存在定点M,N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出M、N点坐标,若不存在,说明理由。

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1

21.已知函数φ(x)=lnx.

(1)若曲线在点处的切线与直线3x+y-1=0平行,求a的值;

(2)求证函数在(0,+∞)上为单调增函数;

(3)设m,n∈R+,且m≠n,求证:

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