理科数学闵行区2013年高三试卷

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试卷目录

1、填空题

2、单选题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

1．已知函数的反函数为，则____．

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 4分

4．已知，则____．

正确答案

解析

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知识点

任意角的概念

题型：填空题

分值: 4分

5．双曲线上任意一点到两条渐近线的距离的乘积为____．

正确答案

解析

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知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

分值: 4分

7．某圆锥母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则其体积是____．

正确答案

解析

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知识点

空间几何体的结构特征

题型：填空题

分值: 4分

8．已知函数，其中．若的值域是，则实数的取值范围是______．

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 4分

10．已知首项为正数的等差数列中，．则当取最大值时，数列的公差____．

正确答案

-3

解析

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

分值: 4分

2．为实数，方程的一个虚根的模是，则＝____．

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 4分

3．已知的二项展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则 ____．

正确答案

解析

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

分值: 4分

9．若对任意实数，都有，则实数的取值范围是____

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 4分

11．已知点，若直线为参数）与椭圆相交于两点，则的最大值是____．

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 4分

13．已知向量序列：满足如下条件：，且．则中第_____项最小．

正确答案

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

分值: 4分

14．若正整数，则称为的一个“分解积”．如：，所以的分解积可以是、等，则的分解积的最大值是____．

正确答案

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

分值: 4分

6．已知“存在，使得不等式成立”是一个假命题，则实数的取值范围是____．

正确答案

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知识点

充要条件的判定

题型：填空题

分值: 4分

12．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是____．

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

15．某单位150名员工中，有岁以上的有20个，岁之间的有50个，岁以下的80个，从中抽取30个样本进行某项调查．抽样方法可以是：

①随机抽样；

②系统抽样；

③分层抽样．

则下列说法中正确的是（）

A方法①②③都使这150个员工中每一个被抽到的概率都相等

B仅方法①②能使这150个员工中每一个被抽到的概率都相等

C仅方法①③能使这150个员工中每一个被抽到的概率都相等

D三种方法使这150个员工中每一个被抽到的概率各不相同

正确答案

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知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

分值: 5分

16．已知向量都是非零向量，则“”是“”成立的（）

A充分非必要条件

B必要非充分条件

C充要条件

D既非充分又非必要条件

正确答案

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四种命题及真假判断

题型：单选题

分值: 5分

17．在中，若、为锐角，且，则对的形状描述最准确的是（）

A直角三角形

B等腰三角形

C等腰直角三角形

D以上均不对

正确答案

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知识点

任意角的概念

题型：单选题

分值: 5分

18．已知是以为周期的周期函数，当时，，其中．若方程恰有5个不同的实数解，则的取值范围是（）

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

19．已知三棱锥中，平面，点分别是棱的中点．

（1）若，利用向量求的值；

（2）若，，，是球的大圆直径，点在球面上，求球的体积．

正确答案

（1）∵点分别是棱的中点，

∴

即四边形为平行四边形，

则

∴

（2）若，，，

是球的大圆直径，点在球面上，

则，

又平面，，

∴平面，

∴，

于是，，

∴球的体积

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知识点

空间几何体的结构特征

题型：简答题

分值: 14分

20．如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于两点，．

（1）如果点的横坐标为，求的值；

（2）已知，求函数的值域．

正确答案

（1）依题意，，，，

∴

（2），设，

则，

∴

于是

其中，

∴．

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函数的概念及其构成要素

题型：简答题

分值: 14分

21．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得不低于10万元，且不高于1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的．

（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数模型的基本要求，并分析函数是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；

（2）若该公司采用模型函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数的值．

正确答案

（1）设奖励函数模型为，按公司对函数模型的基本要求，函数满足：

当时，

①是在定义域上是增函数；

②恒成立；

③恒成立．

对于函数模型：

当时，是增函数，

所以恒成立．

但时，，

即不恒成立，

故该函数模型不符合公司要求．

（2）对于函数模型

即，

当，即时递增；

为要对恒成立

即，，

为要对恒成立

即，恒成立

所以

综上所述，，所以满足条件的最小的正整数的值为．

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

分值: 18分

23．对于给定的，若点在函数的图像上，则称数列为函数的生成数列．

（1）若是函数的生成数列，且，求的一个可能的解析式；

（2）若是函数的生成数列，且，判断的单调性，并证明；

（3）若是函数（为常数）的生成数列，，，且存在，求的前项和的极限．

正确答案

（1）由得，

∴

（2）数列是单调递增数列．证明如下：

①当时，，结论成立

②假设结论成立，即，

由已知，∴

从而

综上所述，对于任意正整数，，

即数列是单调递增数列．

（3）依题意，

考察

若，则；

若，

由

注意到，，

易证

∴，

即

于是

∴

∵存在，

不妨设，

由题设

，

即，解得

，或，

而，

与对任意恒成立矛盾

∴，

∴

解析

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函数的概念及其构成要素

题型：简答题

分值: 16分

22．设，为坐标平面上的点．直线与抛物线交于点（异于点）．

（1）对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上?并求出该圆的方程；

（2）若点在椭圆上运动，试问能否保持在一双曲线上?若能，求出该双曲线的方程．若不能，说明理由；

（3）对（1）中点所在的圆，设为圆上两点，且满足，试寻找一个定圆，使得恒与圆相切．

正确答案

（1）直线，与抛物线联立得，依题意，

，当时，在圆上；

（2）若点在椭圆上运动，则，

（方法1）两边同除以得，，

∴点在双曲线上；

（方法2）设，则代入上式，

得，

即，∴点在双曲线上；

（3）（方法1）设，则，

由得

① 当直线的斜率为零时，

设的方程为，于是（舍负）

②当直线的斜率不为零时，

设的方程为，代入圆的方程得

，于是，

即原点到直线的距离，与无关，

∴直线总与圆相切．

（方法2）设，原点到直线的距离为

则，

即

注意到圆是的外接圆，

∴，∴

即原点到直线的距离为定值，

∴直线总与圆相切．

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知识点

圆的标准方程双曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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正确答案

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