理科数学 热门试卷

（1）证明：在中，

在中，.

，即为等腰三角形.

又点为的中点，.

又四边形为正方形，为的中点，

，平面，平面

平面

（2）证明：连接

由题意知，点分别为和的中点，.

又平面，平面，

平面.

（1）由题意，得，

所以=，

因为，所以，故.

（2）因为，又，所以，

在中，由余弦定理得，即，

解得或.

（1）梯形ABCD的面积

SABCD＝·sinθ＝sinθcosθ＋sinθ，

体积V(θ)＝10(sinθcosθ＋sinθ)，.

（2）V′(θ)＝10(2cos2θ＋cosθ－1)

＝10(2cosθ－1)(cosθ＋1).

令V′(θ)＝0，得cosθ＝，或cosθ＝－1.

∵，∴cosθ＝，∴θ＝.

当时，＜cosθ＜1，V′(θ)＞0，V(θ)为增函数；

当时，0＜cosθ＜，V′(θ)＜0，V(θ)为减函数.

∴当θ＝时，体积V最大，最大值为.

（3）木梁的侧面积

S侧＝(AB＋2BC＋CD)·10＝20，.

S＝2SABCD＋S侧＝2(sinθcosθ＋sinθ)＋20(cosθ＋2sin＋1)，.

设g(θ)＝cosθ＋2sin＋1，.

∵g(θ)＝－2sin2＋2sin＋2，

∴当sin＝，即θ＝时，g(θ)最大.

又由（2）知θ＝时，sinθcosθ＋sinθ取得最大值，

∴θ＝时，木梁的表面积S最大.

综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大.

（1）函数的定义域为.当时，当时，单调递减；当时，单调递增

，无极大值.

（2）

当，即时，在定义域上是减函数；

当，即时，令得或令得

当，即时，令得或令得

综上，当时，在上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递增；

（3）由（Ⅱ）知，当时，在上单减，是最大值，是最小值.，而经整理得，由得，所以

（1）由，，得，故椭圆方程为

又椭圆过点，则，解得，所以椭圆的方程为

（2）①记的外接圆的圆心为.因为，所以的中垂线方程为，

又由，，得的中点为，而，

所以的中垂线方程为，由，得

所以圆T的半径为，

故的外接圆的方程为……

(说明:该圆的一般式方程为)

②设直线的斜率为，，，由题直线与的斜率互为相反数，

直线的斜率为.联立直线与椭圆方程：，整理得，得，

所以，整理得，

又

=，所以为定值