2015年高考权威预测卷 理科数学 (江苏卷)
精品
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填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

5.设函数f(x)=cos(2x+φ),则“f(x)为奇函数”是“φ=”的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件.

正确答案

必要不充分

解析

略。

知识点

四种命题及真假判断
1
题型:填空题
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分值: 5分

8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为________.

正确答案

4

解析

设公差为d,则

又a4=a1+3d,由线性规划可知a1=1,d=1时,a4取最大值4.

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.已知函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的

取值集合为()

正确答案

解析

,其中kZ,则k=或k=或k=1.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
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分值: 5分

1.集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=________.

正确答案

(1,2]

解析

∵M=(1,+∞),N=[-2,2],∴M∩N=(1,2].

知识点

集合的含义
1
题型:填空题
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分值: 5分

2.已知复数(其中i是虚数单位),则复数z所对应的点位于复平面的第()象限.

正确答案

解析

,对应的点的坐标是,在第四象限。

知识点

虚数单位i及其性质
1
题型:填空题
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分值: 5分

3.如图是一个算法的流程图,若输入x的值为2,则输出y的值是________.

正确答案

解析

略。

知识点

流程图的概念
1
题型:填空题
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分值: 5分

7.与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体表面积之比为________.

正确答案

π:6

解析

正方体的棱长与球的直径相等.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
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分值: 5分

4.某班全体学生参加口语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是________.

正确答案

50

解析

由频率分布直方图,低于60分的频率为(0.01+0.005)×20=0.3.所以该班学生人数为=50.

知识点

流程图的概念
1
题型:填空题
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分值: 5分

10.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且的面积为,则的最小值为_________.

正确答案

4

解析

考查正(余)弦定理及三角形面积公式,基本不等式等知识。

知识点

任意角的概念
1
题型:填空题
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分值: 5分

6.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的5个小球,这些小球除标注数字外完全相同.现从中随机取2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是__________.

正确答案

解析

基本事件为(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5),其中和为3或6的有3个,因而有P=.

知识点

古典概型的概率
1
题型:填空题
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分值: 5分

11.在平面直角坐标系中,设直线与圆交于两点,为坐标原点,若圆上一点满足,则()

正确答案

2

解析

即:,整理化简得:,即过点的垂线交,又圆心到直线的距离为,所以,所以,.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
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分值: 5分

12.若关于x的方程=kx+1-2k(k为实数)有三个实数解,则这三个实数解的和为()

正确答案

6

解析

两个函数的图象均关于点(2,0)对称.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.若实数x,y满足,则x的取值范围是()

正确答案

{0}[4,20]

解析

,则a2+b2=x,已知条件即a2+b2-4a-2b=0(a≥0,b≥0)(a-2)2+(b-1)2=5(a≥0,b≥0)得以(2,1)为圆心,为半径,过原点的圆满足a≥0,b≥0的点.即图中及原点.x为相应点与原点距离的平方,x∈{0}∪[4,20].

知识点

不等式的性质
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.已知是定义在上的奇函数,且当时,,函数,且对,使得,则实数的取值范围是()

正确答案

解析

由已知得,,由条件知,解得,

知识点

集合的含义
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

16.如图,在三棱柱中,侧棱与底面垂直,,点分别为的中点.

(1)求证:平面平面

(2)求证:平面.

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:在中,

中,.

,即为等腰三角形.

又点的中点,.

四边形为正方形,的中点,

平面平面

平面

(2)证明:连接

由题意知,点分别为的中点,.

平面平面

平面.

知识点

直线与平面垂直的判定与性质
1
题型:简答题
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分值: 12分

15.在平面直角坐标系中,设角的始边与轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点,将射线按顺时针方向旋转后与单位圆交于点.记,其中角为锐角.

(1)求函数的值域;

(2)设的角所对的边分别为,若,且,求.

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意,得

所以=

因为,所以,故.

(2)因为,又,所以

中,由余弦定理得,即

解得.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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分值: 12分

17.一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD(如图所示,其中O为圆心,C、D在半圆上),设∠BOC=θ,木梁的体积为V(m3),表面积为S(m2).

(1)求V关于θ的函数表达式;

(2)求体积V的最大值;

(3)当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

(1)梯形ABCD的面积

SABCD·sinθ=sinθcosθ+sinθ,

体积V(θ)=10(sinθcosθ+sinθ),.

(2)V′(θ)=10(2cos2θ+cosθ-1)

=10(2cosθ-1)(cosθ+1).

令V′(θ)=0,得cosθ=,或cosθ=-1.

,∴cosθ=,∴θ=.

时,<cosθ<1,V′(θ)>0,V(θ)为增函数;

时,0<cosθ<,V′(θ)<0,V(θ)为减函数.

∴当θ=时,体积V最大,最大值为.

(3)木梁的侧面积

S=(AB+2BC+CD)·10=20.

S=2SABCD+S=2(sinθcosθ+sinθ)+20(cosθ+2sin+1),.

设g(θ)=cosθ+2sin+1,.

∵g(θ)=-2sin2+2sin+2,

∴当sin,即θ=时,g(θ)最大.

又由(2)知θ=时,sinθcosθ+sinθ取得最大值,

∴θ=时,木梁的表面积S最大.

综上,当木梁的体积V最大时,其表面积S也最大.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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分值: 14分

19.设函数

(1)当时,求函数的极值;

(2)当时,讨论函数的单调性.

(3)若对任意及任意,恒有成立,求实数的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

(1)函数的定义域为.当时,时,单调递减;当时,单调递增

,无极大值.

(2)

,即时,在定义域上是减函数;

,即时,令

,即时,令

综上,当时,上是减函数;当时,单调递减,在上单调递增;当时,单调递减,在上单调递增;

(3)由(Ⅱ)知,当时,上单减,是最大值,是最小值.,而经整理得,由,所以

知识点

集合的含义
1
题型:简答题
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分值: 14分

18.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆经过点,椭圆的离心率分别是椭圆的左、右焦点.

(1)求椭圆的方程;

(2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点.

①若直线过坐标原点,试求外接圆的方程;

②若的平分线与轴平行,试探究直线的斜率

是否为定值?若是,请给予证明;若不是,请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

(1)由,得,故椭圆方程为

又椭圆过点,则,解得,所以椭圆的方程为

(2)①记的外接圆的圆心为.因为,所以的中垂线方程为

又由,得的中点为,而

所以的中垂线方程为,由,得

所以圆T的半径为

的外接圆的方程为……

(说明:该圆的一般式方程为)

②设直线的斜率为,由题直线的斜率互为相反数,

直线的斜率为.联立直线与椭圆方程:,整理得,得

所以,整理得

=,所以为定值

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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分值: 16分

20.已知数列{}、{}满足:.

(1)求

(2)证明:是等差数列,并求数列的通项公式;

(3)设,求实数a为何值时恒成立.

正确答案

见解析。

解析

(1)

.

(2)∵.

∴数列{}是以-4为首项,-1为公差的等差数列.

.

(3).

.

由条件可知恒成立即可满足条件设

a=1时,恒成立,a>1时,由二次函数的性质知不可能成立.

a<l时,对称轴,f(n)在为单调递减函数.

,∴a<1时恒成立.

综上知:a≤1时,恒成立.

知识点

由数列的前几项求通项

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