理科数学 热门试卷

在中，，因为，所以，即

，又，∴.

由上题知，从而.

因此，.所以

，

所以的面积为.

证明：（1）连接，在正方形中，，

平面，因为平面，所以.

（2）平面，理由如下：

取的中点，连接、，因为是的中点，所以，且，因为是

的中点，所以.

在正方形中，，所以，且.

∴四边形为平行四边形，所以.

因为，，

所以.

（3）在平面内过点作，

由（1）可知：，以点为坐标原点，分别以、所在的直线为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.

在菱形中，，所以，.

设平面的一个法向量为.

因为即，

所以即，

由（1）可知：是平面的一个法向量.

所以，

所以二面角的余弦值为.

（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即  ①

又点在椭圆上，所以  ②

联立①②，解得，所以，所求圆的方程为．

因为直线和都与圆相切，所以，

，化简得，因为点在椭圆上，所以，即

，所以．

当直线、不落在坐标轴上时，设，，

由（2）知，所以，故，因为，，在椭圆上，所以，，

即，，所以，

整理得，所以，

所以.

方法（二）（1）当直线，不落在坐标轴上时，设，，

联立，解得，所以.

同理，得，由（2），得.

所以

.

（2）当直线、落在坐标轴上时，显然有.

综上：.

由题，为的中点.设，则，

，，由题，即，

∴即，∴.

由题外接圆圆心为斜边的中点，半径，

∵由题外接圆与直线相切，∴，即，即，

∴，，，故所求的椭圆的方程为.

设，，由题异号，

设的内切圆的半径为，则的周长为，

，

因此要使内切圆的面积最大，只需最大，此时也最大，

，

由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，

由韦达定理得，，（）

，

令，则，，

当时，有最大值3，此时，，，

故的内切圆的面积的最大值为，此时直线的方程为.

，

作函数的图象，它与直线交点的横坐标为和，由图象知不等式的

解集为.

函数的图象是过点的直线，

当且仅当函数与直线有公共点时，存在题设的.

由图象知，的取值范围为.

，

①当时，在上单调递增，在单调递减，在单调递增，

∴，由，得在时无解，

②当时，不合题意；

③当时，在单调递增，在递减，在单调递增，

∴即，∴，

④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件，

综上所述：时，存在，使得是在上的最大值.

对任意恒成立，

即对任意恒成立，令

，，根据题意，可以知道的最大值为1，则

恒成立，

由于，则，

当时，，则，若，则在上递减，在上递增，则，∴在上是递增的函数.

∴，满足条件，∴的取值范围是.