理科数学 成都市2017年高三第二次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.已知是虚数单位,若复数满足,则(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解:由,得

即|z|=

故选C

考查方向

本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,及其几何意义

解题思路

把已知等式两边取模,化简整理得答案

易错点

等式两边取模

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.已知命题,命题,则下列命题中真命题是(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由指数函数的图象与性质可得:x∈(﹣∞,0),2x>3x恒成立,因此p是假命题.

∴¬p是真命题.

x时,sinxx恒成立,因此q是真命题.

是真命题.

故选A

考查方向

本题主要考查了简易逻辑命题的真假的判定、函数的图象与性质

解题思路

由指数函数的图象与性质可得:x∈(﹣∞,0),2x>3x恒成立,即可判断出真假.当x时,sinxx恒成立,即可判断出真假.再利用复合命题真假的判定方法即可得出

易错点

命题真假的判定

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.在区间内随机取两个数分别记为,则使得函数有零点的概率为(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

ab使得函数fx)=x2+2axb2+π有零点,

∴△≥0

a2+b2≥π

试验发生时包含的所有事件是Ω={(ab)|﹣π≤a≤π,﹣π≤b≤π}

∴S=(2π)2=4π2

而满足条件的事件是{(ab)|a2+b2≥π},

s=4π2﹣π2=3π2

由几何概型公式得到P=

故选B

考查方向

本题主要考查了几何概型的计算

解题思路

由题意知本题是一个几何概型,由ab使得函数fx)=x2+2axb2+π有零点,得到关于ab的关系式,写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件,做出对应的面积,求比值得到结果

易错点

几何概型

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.已知集合,则(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解:由题意知N={x|x>2},则∁RN={x|x≤2},

又集合M={x|0<x<3},

则M∩(∁RN)={x|0<x≤2}=(0,2],

故选A

考查方向

本题主要考查了交集的运算

解题思路

先求出CUN,由此利用交集定义能求出M∩(∁UN)

易错点

交集的定义

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.若向量满足条件共线,则的值为(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

=(﹣6,0)+(2,1)=(﹣4,1),

共线,

解得x=﹣4.

故选B

考查方向

本题主要考查了向量的坐标运算,向量共线的坐标公式

解题思路

先利用平面向量运算法则求出,再由向量共线的条件能求出x

易错点

向量共线的坐标公式

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm)可得该几何体的体积是(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由三视图可知,该几何体为底面是正方形,且边长为2cm,高为2cm的四棱锥,

如图,

故选A

考查方向

本题主要考查了空间几何体的三视图,三棱锥的体积公式

解题思路

由题目给出的几何体的三视图,还原得到原几何体,然后直接利用三棱锥的体积公式求解

易错点

三视图还原得到原几何体

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.设样本数据的平均值和方差分别为2和5,若为非零实数,),则的均值和方差分别为(   )

A2,5

B

C

D

正确答案

B

解析

根据题意,样本x1x2,…,x10数据的平均值和方差分别为2和5,

则有=x1+x2+…+x10)=2,

= [(x1﹣2)2+(x2﹣2)2+…+(x10﹣2)2]=5,

对于yi=xi+a

则有=x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10+10a)=2+a

= [(y1﹣2﹣a2+(y2﹣2﹣a2+…+(y10﹣2﹣a2]=5.

故选B

考查方向

本题主要考查了数据的平均数、方差的计算

解题思路

由样本x1x2,…,x10数据的平均值和方差分别为2和5,可得=x1+x2+…+x10)=2,= [(x1﹣2)2+(x2﹣2)2+…+(x10﹣2)2]=5,进而对于数据yi=xi+a,由平均数、方差的公式计算可得答案

易错点

方差的计算公式

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.如图,已知点为第一象限的角平分线,将沿逆时针旋转角到,若,则的值为(   )

A2

B3

C-2

D-3

正确答案

A

解析

,则又点P(﹣3,﹣1),则tan(θ+45°)=﹣3,

所以tanθ=tan(θ+45°﹣θ)=

故选A

考查方向

本题主要考查了平面向量垂直的性质、三角函数的坐标法定义以及两角和的正切公式

解题思路

由已知得,求出tan(θ+45°)=﹣3,利用角的等价变换45°=θ+45°﹣θ,求出tanθ

易错点

两角和的正切公式

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.对于数列,定义的“优值”.现已知某数列的“优值”,记数列的前项和为,则的最小值为(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意可知:

a1+2a2+…+2n﹣1an=n•2n+1

n≥2时,a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1=(n﹣1)•2n

两式相减得:2n﹣1an=n•2n+1﹣(n﹣1)•2n

an=2(n+1),

n=1时成立,

an﹣20=2n﹣18,当an﹣20≤0时,即n≤9时,

故当n=8或9时,{an﹣20}的前n项和为Sn取最小值,

最小值为S8=S9=-72

故选D

考查方向

本题主要考查了等差数列的通项公式,数列与函数单调性的应用

解题思路

由定义可知a1+2a2+…+2n﹣1an=n•2n+1,当n≥2时,a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1=(n﹣1)•2n,则求得an=2(n+1),则an﹣20=2n﹣18,由数列的单调性可知当n=8或9时,{an﹣20}的前n项和为Sn取最小值

易错点

计算能力

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.设函数满足,当时,则(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

fx﹣π)=fx)+sinx,当0≤x≤π,fx)=1时,

f(﹣﹣π)=f(﹣)+sin(﹣)=f(﹣﹣π)+sin(﹣

=f(﹣)+sin(﹣)+sin(﹣)=f﹣π)+sin(﹣)﹣sin

=f)+sin+sin(﹣)+sin=1++=

故选C

考查方向

本题主要考查了诱导公式的应用,三角函数求值

解题思路

利用条件以及诱导公式,求得要求式子的值

易错点

诱导公式的应用

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.如图,分别是函数的图象与两条直线的两个交点,记,则的图象大致是(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

如图所示,

作曲线y=fx)的对称轴x=x1x=x2,点M与点D关于直线x=x1对称,

点N与点C关于直线x=x2对称,

xM+xD=2x1xC+xN=2x2;   ∴xD=2x1xMxC=2x2xN

又点M与点C、点D与点N都关于点B对称,

xM+xC=2xBxD+xN=2xB,∴xM+2x2xN=2xB,  2x1xM+xN=2xB

xMxN=2(xBx2)=﹣,  ∴xNxM=2(xBx1)=

∴|xMxN|=,T为fx)的最小正周期;

S(m)的图象大致是常函数

故选C

考查方向

本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题

解题思路

由已知条件及所给函数的图象知,图象从M点到N点的变化正好是半个周期,

故|xMxN|=,S(m)的图象大致是常函数

易错点

转化思想与数形结合

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.已知函数在区间上任取三个实数,均存在以为边长的三角形,则实数的取值范围是(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

任取三个实数abc,均存在以fa),fb),fc)为边长的三角形,

等价于fa)+fb)>fc)恒成立,

∴2fxminfxmaxfxmax>0,

,解得x=1,

时,f′(x)<0,

当1<xe时,f′(x)>0,

∴当x=1时,fxmin=f(1)=1+h

fxmax=max{f),fe2)}=max{+1+h,e2﹣2+h},

从而得到

解得he2﹣4.

故选D

考查方向

本题主要考查了导数的求最值的应用

解题思路

任取三个实数abc,均存在以fa),fb),fc)为边长的三角形,等价于fa)+fb)>fc)恒成立,从而2fxminfxmaxfxmax>0,由此能求出实数h的取值范围

易错点

等价转化思想

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15. 双曲线C的左、右焦点分别为,且恰好为抛物线的焦点,设双曲线C与抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为            .

正确答案

解析

抛物线的焦点坐标(1,0),所以双曲线中c=1,

因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A(1,2),

若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形,

由抛物线的定义可知,抛物线的准线方程过双曲线的左焦点,所以=2c

c2=a2+b2=1,解得a=,双曲线的离心率e=

考查方向

本题主要考查了抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用

解题思路

求出抛物线的焦点坐标,即可得到双曲线C的值,利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形,结合双曲线abc关系求出a的值,然后求出离心率

易错点

计算能力

1
题型:填空题
|
分值: 5分

13. 若的二项展开式中含项的系数为36,则实数            .

正确答案

-4

解析

通项公式Tr+1==(﹣arx9﹣3r,令9﹣3r=6,解得r=1.

的二项展开式中含x6项的系数=﹣a×9=36,解得a=﹣4

考查方向

本题主要考查了二项式定理的应用

解题思路

通项公式Tr+1==(﹣arx9﹣3r,令9﹣3r=6,解得r,进而得出

易错点

二项式定理

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14. 某算法的程序框图如图所示,则改程序输出的结果为            .

正确答案

解析

模拟程序的运行,可得

i=1,S=0,满足条件i≤9,执行循环体i=2

i=2,满足条件i≤9,执行循环体,i=3

…依次类推

i=9,满足条件i≤9,执行循环体,i=10

不满足条件i≤9,退出循环,输出

考查方向

本题主要考查了循环结构的程序框图

解题思路

模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,i的值,当i=10时,不满足条件i≤9,退出循环,由裂项法即可计算可得输出S的值

易错点

退出循环的判断

1
题型:填空题
|
分值: 5分

16. 若函数满足,当时,,若在区间上,有两个零点,则实数的取值范围为            .

正确答案

解析

x∈(﹣1,0)时,fx)=x,∴当x∈(0,1]时,x﹣1∈(﹣1,0),,可得x﹣1=,所以fx)=,作出fx)在[﹣1,1)上的图象,因为gx)=fx)﹣mxm有两个零点,所以y=fx)的图象与直线y=mxm有两个交点,由图象可知m

考查方向

本题主要考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式

解题思路

x∈[﹣1,0]时,fx)=x,求出x∈(0,1)时,fx)的解析式,由在区间(﹣1,1]上,gx)=fx)﹣mx+m有两个零点,转化为两函数图象的交点,利用图象直接的结论

易错点

数形结合的思想

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

如图,是半圆的直径,是半圆上除外的一个动点,垂直于半圆所在的平面,

21.证明:平面平面

22.当三棱锥的体积最大时,求二面角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

证明:∵AB是直径,∴BC⊥AC…(1分),

∵CD⊥平面ABC,∴CD⊥BC…(2分),

∵CD∩AC=C,∴BC⊥平面ACD…(3分)

∵CD∥BE,CD=BE,∴BCDE是平行四边形,BC∥DE,

∴DE⊥平面ACD…(4分),

∵DE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD

考查方向

本题主要考查了平面与平面垂直的证明

解题思路

由已知条件推导出BC⊥平面ACD,BC∥DE,由此证明DE⊥平面ACD,从而得到平面ADE⊥平面ACD

易错点

面面垂直的判定定理

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

依题意,…(6分),

由(Ⅰ)知

==

当且仅当时等号成立                               …(8分)

如图所示,建立空间直角坐标系,

则D(0,0,1),

…(9分)

设面DAE的法向量为

,即,∴,…(10分)

设面ABE的法向量为

,即,∴

与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补,

∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为

考查方向

本题主要考查了空间向量法求二面角的余弦值

解题思路

依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值

易错点

计算能力

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知数列满足

17.求数列的通项公式;

18.设,数列的前项和为,求使的最小自然数

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

an=n2+2n

解析

则数列{是以2为首项,1为公差的等差数列,

=2+n﹣1=n+1,

an=n2+2n

数列{an}的通项公式an=n2+2n

考查方向

本题主要考查了等差数列的性质,等差数列通项公式

解题思路

由条件得数列{是以2为首项,1为公差的等差数列,可求得数列{an}的通项公式

易错点

数列{是以2为首项,1为公差的等差数列

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

31

解析

=log2n+1)﹣log2n+2),

数列{bn}的前n项和为Sn,Sn=b1+b2+…+bn=log22﹣log23+log23﹣log24+…+log2n+1)﹣log2n+2),=1﹣log2n+2),

由Sn<﹣4,1﹣log2n+2)<﹣4,

log2n+2)>5=log232,

n+2>32,解得:n>30,

满足Sn<﹣4的最小自然数n为31

考查方向

本题主要考查了对数的运算性质,裂项法求和

解题思路

=log2n+1)﹣log2n+2),求得Sn=b1+b2+…+bn=1﹣log2n+2),由Sn<﹣4,利用对数的运算性质,即可求得最小自然数n的值

易错点

计算能力

1
题型:简答题
|
分值: 12分

某加油站工作人员根据以往该加油站的销售情况,绘制了该加油站日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.

19.求未来3天内,连续2天日销售量不低于40吨,另一天的日销售量低于40吨的概率;

20.用表示未来3天日销售量不低于40吨的天数,求随机变量的数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

0.192

解析

由频率分布直方图知:

日销售量不低于40吨的频率为:10×(0.025+0.015)=0.4,

记未来3天内,第i天日销售量不低于40吨的事件为Aii=1,2,3),

则P(Ai)=0.4,

未来3天内,连续2天日销售量不低于40吨,另一天的日销售量低于40吨包含两个互斥事件:

∴未来3天内,连续2天日销售量不低于40吨,另一天的日销售量低于40吨的概率为:

P()=P()+P(

=0.4×0.4×(1﹣0.4)+(1﹣0.4)×0.4×0.4=0.192

考查方向

本题主要考查了频率分布直方图,概率的求法

解题思路

由频率分布直方图求出日销售量不低于40吨的频率为0.4,记未来3天内,第i天日销售量不低于40吨的事件为Aii=1,2,3),则P(Ai)=0.4,未来3天内,连续2天日销售量不低于40吨,另一天的日销售量低于40吨包含两个互斥事件:,由此能求出未来3天内,连续2天日销售量不低于40吨,另一天的日销售量低于40吨的概率

易错点

概率的求法

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

1.2

解析

ξ的可能取值为0,1,2,3,

P(ξ=0)=(1﹣0.4)2=0.216,

P(ξ=1)==0.432,

P(ξ=2)==0.288,

P(ξ=3)=0.43=0.064,

∴ξ的分布列为:

Eξ=0×0.216+1×0.432+2×0.228+3×0.064=1.2.

考查方向

本题主要考查了离散型随机变量的数学期望的求法

解题思路

ξ的可能取值为0,1,2,3,且ξ~B(3,0.4),由此能求出ξ的数学期望

易错点

计算能力

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知圆,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径相交于点.

23.求动点的轨迹方程;

24.若直线与(1)中的轨迹交于两点,问:是否在轴上存在一点,使得当变动时,总有?并说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

连结QF,根据题意,|QP|=|QF|,

则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|=2,

故动点Q的轨迹Γ是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆.

a=2,c=1,∴b=

所以点Q的轨迹Γ的方程为

考查方向

本题主要考查了椭圆的方程的求法,椭圆的定义

解题思路

连结QF,运用垂直平分线定理可得,|QP|=|QF|,可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|=2,由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程

易错点

垂直平分线的性质和椭圆的定义

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

假设存在T(t,0)满足∠OTS=∠OTR.

设R(x1y1),S(x2y2)联立

得(3+4k2x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,

由韦达定理有

其中△>0恒成立,

由∠OTS=∠OTR(显然TS,TR的斜率存在),

kTS+kTR=0即②,

由R,S两点在直线y=kx﹣1)上,

y1=kx1﹣1),y2=kx2﹣1)代入②得

即有2x1x2﹣(t+1)(x1+x2)+2t=0③,

将①代入③,即有:④,

要使得④与k的取值无关,当且仅当“t=4“时成立,

综上所述存在T(4,0),使得当k变化时,总有∠OTS=∠OTR.

考查方向

本题主要考查了存在性问题的解法,直线方程和椭圆方程的综合应用

解题思路

假设存在T(t,0)满足∠OTS=∠OTR.设R(x1y1),S(x2y2),联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于0,由直线的斜率之和为0,化简整理,即可得到存在T(4,0)

易错点

计算能力

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知函数,曲线处的切线方程为

25.求的值;

26.求函数上的最大值;

27.证明:当时,.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

a=1,b=e-2

解析

f′(x)=ex﹣2ax

f′(1)=e﹣2a=bf(1)=ea=b+1,

解得:a=1,b=e﹣2;

考查方向

本题主要考查了导数求切线方程

解题思路

求出fx)的导数,计算f′(1),f(1),可求出ab的值

易错点

导数求切线方程

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

e-1

解析

由(1)得:fx)=exx2

f′(x)=ex﹣2xf″(x)=ex﹣2,

f′(x)在(0,ln2)递减,在(ln2,+∞)递增,

f′(x)≥f′(ln2)=2﹣2ln2>0,

fx)在[0,1]递增,

fxmax=f(1)=e﹣1

考查方向

本题主要考查了用导数研究函数的单调性,最值

解题思路

求出fx)的导数,得到导函数的单调性,得到fx)在[0,1]递增,从而求出fx)的最大值

易错点

用导数研究函数的单调性

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

f(0)=1,由(2)得fx)过(1,e﹣1),

y=fx)在x=1处的切线方程是y=(e﹣2)x+1,

故可猜测x>0,x≠1时,fx)的图象恒在切线y=(e﹣2)x+1的上方,

下面证明x>0时,fx)≥(e﹣2)x+1,

gx)=fx)﹣(e﹣2)x﹣1,x>0,

g′(x)=ex﹣2x﹣(e﹣2),g″(x)=ex﹣2,

由(2)得:g′(x)在(0,ln2)递减,在(ln2,+∞)递增,

g′(0)=3﹣e>0,g′(1)=0,0<ln2<1,

g′(ln2)<0,

∴存在x0∈(0,1),使得g′(x)=0,

x∈(0,x0)∪(1,+∞)时,g′(x)>0,

x∈(x0,1)时,g′(x)<0,

gx)在(0,x0)递增,在(x0,1)递减,在(1,+∞)递增,

g(0)=g(1)=0,∴gx)≥0当且仅当x=1时取“=”,

x>0,

由(2)得:exx+1,故xlnx+1),

x﹣1≥lnx,当且仅当x=1时取“=”,

lnx+1,

lnx+1,

ex+(2﹣ex﹣1≥xlnx+x

ex+(1﹣exxlnx﹣1≥0成立,

当且仅当x=1时“=”成立.

考查方向

本题主要考查了导数的综合运用

解题思路

只需证明x>0时,fx)≥(e﹣2)x+1,设gx)=fx)﹣(e﹣2)x﹣1,x>0,根据函数的单调性得到ex+(2﹣ex﹣1≥xlnx+x,从而证出结论即可

易错点

计算能力

1
题型:简答题
|
分值: 10分

在平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数,),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,圆的圆心到直线的距离为

28.求的值;

29.已知,若直线与圆交于两点,求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由直线l的参数方程为t为参数,0≤θ<π),消去参数t,可得:xsinθ﹣ycosθ﹣sinθ=0.

圆C的极坐标方程为ρ=﹣4cosα,即ρ2=﹣4ρcosα.

可得圆C的普通坐标方程为:x2+y2+4x=0,

可知圆心为(﹣2,0),圆C的圆心到直线l的距离公式化简得3sinθ=

sinθ=

∵0≤θ<π,

∴θ为

考查方向

本题主要考查了参数方程、极坐标方程、普通方程的互化

解题思路

消去参数t,可得直线l的普通方程,根据ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2可得圆C的普通坐标方程,利用圆心到直线的距离可得θ的值

易错点

参数方程、极坐标方程、普通方程的互化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

已知P(1,0),在P在直线l上,直线l与圆C交于A,B两点,

带入圆C的普通坐标方程x2+y2+4x=0可得:

(1+tcosθ)2+(tsinθ)2+4(1+tcosθ)=0

t2+6tcosθ+5=0.

设A,B对于的参数为t1t2

t1+t2=﹣6cosθ,t1t2=5,

t1t2>0,t1t2是同号.

考查方向

本题主要考查了参数的几何意义

解题思路

利用直线的参数的几何意义,将直线带入圆中,利用韦达定理可得答案

易错点

参数的几何意义

1
题型:简答题
|
分值: 10分

已知定义在上的函数,若存在实数使得成立.

30.求实数的值;

31.若,求证:

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

1

解析

∵|xm|+|x|≥|xmx|=|m|,

∴要使|xm|+|x|<2有解,则|m|<2,解得﹣2<m<2.

m∈N(   ),∴m=1.

考查方向

本题主要考查了绝对值不等式的性质

解题思路

|xm|+|x|≥|xmx|=|m|,要使|xm|+|x|<2有解,则|m|<2,m∈N(   ),解得m

易错点

绝对值不等式的性质

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

证明:α,β>1,f(α)+f(β)=2α﹣1+2β﹣1=6,

∴α+β=4,

当且仅当即α=,β=时“=”成立,

考查方向

本题主要考查了基本不等式的性质

解题思路

由条件得α+β=4.再利用基本不等式证明

易错点

基本不等式的性质

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