理科数学 热门试卷

证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…（1分），

∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），

∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…（3分）

∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，

∴DE⊥平面ACD…（4分），

∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD

依题意，…（6分），

由（Ⅰ）知

==

，

当且仅当时等号成立                               …（8分）

如图所示，建立空间直角坐标系，

则D（0，0，1），，，

∴，，

，…（9分）

设面DAE的法向量为，

，即，∴，…（10分）

设面ABE的法向量为，

，即，∴，

∴

∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，

∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．

由

则数列{是以2为首项，1为公差的等差数列，

∴=2+n﹣1=n+1，

∴an=n2+2n，

数列{an}的通项公式an=n2+2n

=log2（n+1）﹣log2（n+2），

数列{bn}的前n项和为Sn，Sn=b1+b2+…+bn=log22﹣log23+log23﹣log24+…+log2（n+1）﹣log2（n+2），=1﹣log2（n+2），

由Sn＜﹣4，1﹣log2（n+2）＜﹣4，

log2（n+2）＞5=log232，

∴n+2＞32，解得：n＞30，

满足Sn＜﹣4的最小自然数n为31

由频率分布直方图知：

日销售量不低于40吨的频率为：10×（0.025+0.015）=0.4，

记未来3天内，第i天日销售量不低于40吨的事件为Ai（i=1，2，3），

则P（Ai）=0.4，

未来3天内，连续2天日销售量不低于40吨，另一天的日销售量低于40吨包含两个互斥事件：

和，

∴未来3天内，连续2天日销售量不低于40吨，另一天的日销售量低于40吨的概率为：

P（∪）=P（）+P（）

=0.4×0.4×（1﹣0.4）+（1﹣0.4）×0.4×0.4=0.192

ξ的可能取值为0，1，2，3，

P（ξ=0）=（1﹣0.4）2=0.216，

P（ξ=1）==0.432，

P（ξ=2）==0.288，

P（ξ=3）=0.43=0.064，

∴ξ的分布列为：

Eξ=0×0.216+1×0.432+2×0.228+3×0.064=1.2．

连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，

则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，

故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．

则a=2，c=1，∴b=，

所以点Q的轨迹Γ的方程为；

假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．

设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，

得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

由韦达定理有，

其中△＞0恒成立，

由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），

故kTS+kTR=0即②，

由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，

故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得

，

即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，

将①代入③，即有：④，

要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，

综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．

f′（x）=ex﹣2ax，

∴f′（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，

解得：a=1，b=e﹣2；

由（1）得：f（x）=ex﹣x2，

f′（x）=ex﹣2x，f″（x）=ex﹣2，

∴f′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，

∴f′（x）≥f′（ln2）=2﹣2ln2＞0，

∴f（x）在[0，1]递增，

∴f（x）max=f（1）=e﹣1

∵f（0）=1，由（2）得f（x）过（1，e﹣1），

且y=f（x）在x=1处的切线方程是y=（e﹣2）x+1，

故可猜测x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方，

下面证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，

设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，

g′（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），g″（x）=ex﹣2，

由（2）得：g′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，

∵g′（0）=3﹣e＞0，g′（1）=0，0＜ln2＜1，

∴g′（ln2）＜0，

∴存在x0∈（0，1），使得g′（x）=0，

∴x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g′（x）＞0，

x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，

故g（x）在（0，x0）递增，在（x0，1）递减，在（1，+∞）递增，

又g（0）=g（1）=0，∴g（x）≥0当且仅当x=1时取“=”，

故，x＞0，

由（2）得：ex≥x+1，故x≥ln（x+1），

∴x﹣1≥lnx，当且仅当x=1时取“=”，

∴≥lnx+1，

即≥lnx+1，

∴ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，

即ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0成立，

当且仅当x=1时“=”成立．

由直线l的参数方程为（t为参数，0≤θ＜π），消去参数t，可得：xsinθ﹣ycosθ﹣sinθ=0．

圆C的极坐标方程为ρ=﹣4cosα，即ρ2=﹣4ρcosα．

可得圆C的普通坐标方程为：x2+y2+4x=0，

可知圆心为（﹣2，0），圆C的圆心到直线l的距离公式化简得3sinθ＝

∴sinθ=．

∵0≤θ＜π，

∴θ为

已知P（1，0），在P在直线l上，直线l与圆C交于A，B两点，

将带入圆C的普通坐标方程x2+y2+4x=0可得：

（1+tcosθ）2+（tsinθ）2+4（1+tcosθ）=0

∴t2+6tcosθ+5=0．

设A，B对于的参数为t1．t2，

则t1+t2=﹣6cosθ，t1•t2=5，

∵t1•t2＞0，t1，t2是同号．

∴＝