• 理科数学 常州市2013年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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2. 已知x是实数,是纯虚数,则x的值是(        )

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3. 已知函数处的导数为,则实数的值是(     )

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1. 已知数集中有3个元素,则实数不能取的值构成的集合为(    )

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5. 若不等式对于一切正数恒成立,则实数的最小值为(      )

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6.在平面直角坐标系xOy中,“直线与曲线相切”的充要条件是(    )

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8. 在△ABC中,若,则(    )

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9.已知△ABC中,AB边上的高与AB边的长相等,则  的最大值为(    )

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10.设正四棱锥的侧棱长为1,则其体积的最大值为(    )

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4. 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量:“饮酒驾车非醉酒驾车”的临界值为20mg/100ml;“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml。某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据:

根据此数据,可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于(        )        

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11.已知平面向量满足的夹角等于,且,则的取值范围是(       )

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12.在平面直角坐标系xOy中,过点分别作x轴的垂线与抛物线分别交于点,直线与 x轴交于点,这样就称确定了 。同样,可由确定,…,若,则(     )

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13.定义:{x,y}为实数x,y中较小的数.已知,其中a,b 均为正实数,则h的最大值是(     )

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14.在平面直角坐标系xOy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,其中为直角顶点。若该三角形的面积的最大值为,则实数的值为(    )

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7. 如图,表示第i个学生的学号,表示第i个学生的成绩,已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337,则打印出的第5组数据是(    )

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.已知△ABC内接于单位圆(半径为1个单位长度的圆),且

(1)求角的大小; 

(2)求△ABC面积的最大值。

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16.如图,在四面体ABCD中,,点E是BC的中点,点F在线段AC上,且

(1)若EF∥平面ABD,求实数的值;

(2)求证:平面BCD⊥平面AED。

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17.如图甲,一个正方体魔方由27个单位(长度为1个单位长度)小立方体组成,把魔方中间的一层转动,如图乙,设的对边长为

(1)试用表示

(2)求魔方增加的表面积的最大值。

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18.如图,在平面直角坐标系中.椭圆的右焦点为,右准线为

(1)过点作直线交椭圆于点,又直线于点,若,求线段的长;

(2)已知点的坐标为,直线交直线于点,且和椭圆的一个交点为点,是否存在实数,使得,若存在,求出实数;若不存在,请说明理由。

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19.已知函数,,其中为常数,且函数的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行。

(1)求此平行线间的距离;

(2)若存在使不等式成立,求实数的取值范围;

(3)对于函数公共定义域中的任意实数,我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:函数在其公共定义域内的所有偏差都大于2。

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21.【选做题】

本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答。若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.几何证明选讲

如图,已知AP切圆O于点P,AC交圆O于B、C两点,点M是BC的中点。

             

     求证:

B.矩阵与变换

将曲线绕坐标原点逆时针旋转后,得到的曲线,求曲线的方程。

C.极坐标与参数方程

在平面直角坐标系xoy中,求直线(t为参数),被圆为参数)截得的弦长。

D.不等式选讲

已知x,y,z均为正数。求证:

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20.已知数列满足

(1)求数列的通项公式

(2)若对每一个正整数,若将按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为

①求的值及对应的数列

②记为数列的前项和,问是否存在,使得对任意正整数恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,请说明理由。

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22.考察二数,满足不等式.于是

一个自然的推广引导我们去猜想下面的命题:

试用数学归纳法证明上述命题。

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23.某养鸡场流行一种传染病,鸡的感染率为10%.现对50只鸡进行抽血化验,以期查出所有病鸡。设计了如下方案:按n(且n是50的约数)只鸡一组平均分组,并把同组的n只鸡抽到的血混合在一起化验,若发现有问题,即对该组的n只鸡逐只化验。记为某一组中病鸡的只数。

(1)若n,求随机变量的概率分布和数学期望;

(2)为了减少化验次数的期望值,试确定n的大小。

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