• 理科数学 南京市2013年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.设集合A={x|-<x<2},B={x|x2≤1},则A∪B=(    )

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2.复数i2(1-2i)的实部是(    )

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3.命题“x∈R,x2+ax+1<0” 的否定是(    )

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4.函数f(x)=的定义域是(    )

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5.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a1+ a2+ a3 =2, a3+ a4+ a5 =8,则a4+ a5+ a6 =(    )

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6.已知向量ab满足|a|=1,|b|=2,ab的夹角为60°,向量c=2ab。则向量c的模为(    )

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7.在平面直角坐标系xOy中,已知y=x是双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程,则此双曲线的离心率为(    )

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8.已知直线l⊥平面α,直线m平面β,则下列四个命题:

①若α∥β,则l⊥m;   

②若α⊥β,则l∥m;

③若l∥m,则α⊥β;   

④若l⊥m,则α∥β。

其中正确命题的序号是(    )

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9.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标,则点P在直线x+y = 5下方的概率为(    )

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10.已知f(x)=3sin(2x-),若存在α∈(0,π),使f(α+x)= f(α-x)对一切实数x恒成立,则α=(    )

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11.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是(    )

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12.已知函数f(x)= |lg(x-1)| 若a≠b,f(a)= f(b) ,则a+2b的取值范围是(    )

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13. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在[0,2013]上的零点个数是(      )

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14.已知函数f(x)=,若对任意的实数x1,x2,x3,不等式f(x1)+ f(x2) >f(x3)恒成立,则实数k的取值范围是(    )

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.已知向量a=(2cosx , 2sinx) ,b=(cosx , cosx),设函数f(x)=ab-, 求:

(1) f(x)的最小正周期和单调递增区间;

(2)若, 且α∈(,π)。求α。

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16.如图,四边形ABCD为平行四边形,四边形ADEF是正方形,且BD⊥平面CDE,H是BE的中点,G是AE,DF的交点。

(1)求证:GH//平面CDE;

(2)求证:面ADEF⊥面ABCD。

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17.已知等差数列{an}中,首项a1=1,公差d为整数,且满足a1+3<a3, a2+5> a4,数列{bn}满足bn =,其前n项和为S

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若S2为S1,Sm (m∈N)的等比中项,求正整数m的值。

(3)对任意正整数k,将等差数列{an}中落入区间(2k,22k)内项的个数记为ck,求数列{cn}的前n项和Tn

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18.如图,某自来水公司要在公路两侧铺设水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线铺设线路l1,在路南侧沿直线铺设线路l2,现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通。已知AB = 60m,BC = 80m,公路两侧铺设水管的费用为每米1万元,穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元,设∠EFB=-α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W。

(1)求W关于α的函数关系式;

(2)求W的最小值及相应的角α。

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19.已知椭圆C:(a>b>0)的离心率e=,椭圆C的上、下顶点分别为A1,A2,左、右顶点分别为B1,B2,左、右焦点分别为F1,F2.原点到直线A2B2的距离为

(1)求椭圆C的方程;

(2)过原点且斜率为的直线l,与椭圆交于E,F点,试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角,并写出理由;

(3)P是椭圆上异于A1,A2的任一点,直线PA1,PA2,分别交轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值,并求出该定值。

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20.已知函数f(x)=a|x|+(a>0,a≠1)

(1)若a>1,且关于x的方程f(x)=m有两个不同的正数解,求实数m的取值范围;

(2)设函数g(x)= f(-x),x∈[-2,+∞),满足如下性质:若存在最大(小)值,则最大(小)值与a无关。试求a的取值范围。

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21.【选做题】在下面A,B,C,D四个小题中只能选做两题。

 A.选修4-1:几何证明选讲

     如图,设AB为的任一条不与直线l垂直的直径,P是与l的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为C,D,且PC=PD。

求证:

(1)l是的切线;

(2)PB平分

B.选修4-2:矩阵与变

       已知矩阵

(1)求矩阵MN;

(2)若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0,1),求点P的坐标。

C.选修4-4:坐标系与参数方程

      在直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为为参数),若以直角坐标系xoy的原点为极点,ox为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,求与直线l垂直且与曲线C相切的直线m的极坐标方程。

D.选修4-5:不等式选讲

       设,实数a满足,求证:

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22.口袋中有n(n∈N)个白球,3个红球.依次从口袋中任取一球,如果取到红球,那么继续取球,且取出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.记取球的次数为X, 若P(X=2)= 。

求:

(1)n的值;

(2)X的概率分布与数学期望。

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23.设P1,P2,…,Pj为集合P={1,2,…,i}的子集,其中i,j为正整数.记aij为满足P1∩P2∩…∩Pj的有序子集组(P1,P2,…,Pj)的个数。

(1)求a22的值;

(2)求aij的表达式。

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