• 理科数学 2015年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1. 已知集合,则(    )

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2. 复数为虚数单位),则复数的模为(    )

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3.  则“ ”是“直线与直线垂直”的(    )条件。(在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)

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4. 执行如图所示的算法流程图,则最后输出的等于(     )

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5. 已知正四棱锥的底面边长是,侧棱长为,则该正四棱锥的表面积是(    )

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6. 从集合中任取个不同的数,这个数的和为的倍数概率为(    )

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7. 中,点是线段的中点,若,则的最小值是(    )

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8.  ,则的值为(    )

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9. 在平面直角坐标系中,设点为圆上的任意一点,动点,则线段长度的最小值为(    )

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10. 已知数列满足, ,则的值为(     )

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11. 已知函数,若函数有且只有一个零点,则实数的取值范围是(    )

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12. ,且,则的最小值为(    )

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13. 设函数在区间上有定义,若对其中任意恒有,则称上的“凹函数”。若上为“凹函数”,则的取值范围是(    )

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14. 已知椭圆,点为其长轴等分点,分别过这五点作斜率为的一组平行线,交椭圆,则10条直线的斜率乘积为(    )

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15. 中,角所对的边分别为,已知

(1)当,且的面积为时,求的值;

(2)当时,求的值。

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16. 如图,在四棱锥中,⊥平面,四边形是平行四边形,且分别是的中点。

(1)求证:平面

(2)若,垂足为,求证:平面

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17. 已知曲线,曲线。曲线的左顶点恰为曲线的左焦点。

(1) 求的值;

(2) 若曲线上一点的坐标为,过点作直线交曲线两点。直线交曲线两点。若中点,

① 求直线的方程;

② 求四边形的面积。

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18. 一条宽为的两平行河岸有村庄和供电站,村庄的直线距离都是与河岸垂直,垂足为现要修建电缆,从供电站向村庄供电。修建地下电缆、水下电缆的费用分别是万元万元.

(1) 如图①,已知村庄原来铺设有电缆,现先从处修建最短水下电缆到达对岸后,再修建地下电缆接入原电缆供电,试求该方案总施工费用的最小值;

(2) 如图②,点在线段上,且铺设电缆的线路为。若,试用表示出总施工费用(万元)的解析式,并求的最小值。

    

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19. 已知无穷数列中,是首项为,公差为的等差数列;是首项为,公比为的等比数列(其中),并对任意的,均有成立。

(1)当时,求

(2)若,试求的值;

(3)判断是否存在),使得成立?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由。

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20. 已知函数

(1)若的单调区间;

(2)求证:当时,

(3)若对任意的都成立(其中是自然对数的底),求常数的最小值。

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21.已知直线的参数方程为参数),圆的极坐标方程:

(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)求圆上一点到直线的最短距离。

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22. 如图,正方形和正方形的边长分别为,原点的中点,抛物线经过两点,求的值。

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23. 如图,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,的中点,在线段上。

(1)若平面,求

(2)设,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。

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24. 已知常数,函数

(1)讨论在区间上的单调性;

(2)若存在两个极值点,求的取值范围。

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