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理科数学 芜湖市2017年高三阶段性测试
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、填空题
13
14
15
16
3、简答题
17
18
19
20
21
22
23
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1．已知复数为虚数单位，则复数的共轭复数为(        )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

，选.

考查方向

本题主要考查了复数的模，共轭复数

解题思路

先整理,再求其模长，根据处理，最后即可得到其共轭复数.

易错点

求复数的模及共轭复数

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A12

B18

C24

D30

正确答案

C

解析

由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图

三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，故几何体的体积为：，选.

考查方向

本题主要考查了三视图问题，三棱锥和三棱柱体积公式.

解题思路

判断几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图中数据求出底面直角三角形的边长以及三棱柱和三棱锥的高，根据三棱锥和三棱柱的体积公式求解.

易错点

三视图的识别，三棱锥和三棱柱体积公式

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7．在边长为的正中，是边的两个三等分点（靠近于点），则等于

A1/6

B2/9

C13/18

D1/3

正确答案

C

解析

如图，

，，，是边的两个三等分点

，选.

考查方向

本题主要考查了向量的运算.

解题思路

用表示，运算即可.

易错点

用表示.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10．函数为自然对数的底数的图象可能是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设，定义域为，关于原点对称，

，则函数为偶函数，图象关于轴对称，排除，

又，排除，故选.

考查方向

本题主要考查了函数奇偶性、排除法.

解题思路

判断函数为偶函数，得出函数图象关于轴对称，排除，将代入判断函数值的正负，排除，由此可以选出正确答案为.

易错点

对函数奇偶性的判断，排除法的应用.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2．“”是“直线与互相平行”的(       )

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

当时，与互相平行；

若与互相平行，则,解得或，故“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，选.

考查方向

本题主要考查了直线平行的充要条件，充分条件、必要条件的判断

解题思路

先将代入到两直线方程判断两直线是否平行，再由两直线平行，列出关系式，求出的值，最后可判断出“”是两直线平行的充分不必要条件.

易错点

直线平行的充要条件的应用，充分条件、必要条件的判断

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．如右程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为，则输出的

A0

B5

C45

D90

正确答案

C

解析

由题意知，，，，，，，，，，输出，故选C．

考查方向

本题主要考查了程序框图

解题思路

将初始数据代入，依照循环进行计算，直至循环结束

易错点

赋值语句的运算，取余的计算，循环结束的判断

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4．将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数都不同”，“至少出现一个６点”，则条件概率，分别是

A，

B，

C，

D，

正确答案

A

解析

根据条件概率的含义，的含义为在发生的情况下，发生的概率，即在“至少出现一个点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，由“至少出现一个点”的情况数目为：，由，“三个点数都不相同”知只有一个点，共有种，故，的含义是在发生的情况下，发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个点”的概率，故，故选．

考查方向

本题主要考查了条件概率

解题思路

根据条件概率的含义，结合题干计算即可.

易错点

对条件概率的理解

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6．已知点在双曲线上，直线过坐标原点，且直线、的斜率之积为，则双曲线的离心率为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

根据双曲线的对称性可知，关于原点对称，设，则，，得：整理得：，，选.

考查方向

本题主要考查了双曲线的性质.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

解题思路

根据双曲线性质判断出关于原点对称，设，代入到双曲线方程中，作差整理，再由及斜率公式得到关系式，再结合求出.

易错点

双曲线性质运用

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8．已知函数的部分图象如图所示，若将图像上的所有点向右平移个单位得到函数的图像，则函数的单调递增区间为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

根据图象可知，，，则解得，则，则，则，则

，

，令解得

，故增区间为，选.

考查方向

本题考查了三角函数的性质，图形变换

解题思路

根据函数图象求出解析式，进而求得解析式，根据正弦函数性质求得其增区间.

易错点

根据图象求出解析式，根据平移求得解析式，求单调区间.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9．已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列满足．若对任意的, 都有成立, 则实数的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

依题，，则，则对任意的都成立，即对任意的都成立，故，选.

考查方向

本题主要考查了等差数列的性质及不等式恒成立问题

解题思路

根据已知条件求出的通项公式，代入到中，利用列出关系式即可求解.

易错点

根据已知条件求等差数列通项公式，通过不等式恒成立判断的范围.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11．当，满足不等式组时，恒成立，则实数的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

D

解析

作出表示的可行域，如图

：，设，则，

由解得，即，由解得，即，由解得即，欲使恒成立，则，解得，选.

考查方向

本题主要考查线性规划中恒成立问题，考查数形结合的思想，在近几年的各省高考试题中出现的频率非常高，常在线性约束条件，可行域，目标函数出命题.

解题思路

作出可行域，求出交点坐标，由恒成立得到不等式组.

易错点

本题易在平移直线过程中出错.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12．已知底面为边长为的正方形，侧棱长为的直四棱柱中，是面上的动点．给出以下四个结论中，则正确的个数是

与点距离为的点形成一条曲线，且该曲线的长度是；

若平面，则与平面所成角的正切值取值范围是；

若，则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为．

A0

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

如图，，正确，与点距离为的点行成以点为圆心，为半径的圆弧，长度为；错误，因为面面，所以点必须在面对角线上运动，当在或上时，与面所成角或的正切值为，最小，当在时，与面所成角的正切值为，最大，故正切值取值范围；正确，设，则，即，

在前后、左右、上下面上的正投影长分别为，故六个面上的正投影长度之和为：，当且仅当在时取等号，选.

考查方向

本题主要考查了长方体的性质

解题思路

根据题意画出图形，根据条件分析列式判断正误.

易错点

根据题意画出图形

填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

14．若，，则．________

正确答案

解析

考查方向

本题考查了同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，二倍角公式

解题思路

利用两角差的余弦公式及二倍角公式展开，整理变形得到，平方整理，利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式即可求解.

易错点

两角差的余弦公式及二倍角公式的应用

1
题型：填空题
|
分值: 5分

15．在数列及中，，，，．设，则数列的前项和为．

正确答案

解析

，，是以为首项，为公比的等比数列，

是以为首项，为公比的等比数列，

，故数列的前项和为.

考查方向

本题主要考查了等比数列的性质，构造新数列

解题思路

根据已知条件构造新数列，，并判断出其为等比数列，求出其通项公式，代入到中，由此即可求得的前项和.

易错点

根据已知条件构造新数列，利用等比数列的性质求通项

1
题型：填空题
|
分值: 5分

13．已知是定义在上的奇函数，且当时，则

正确答案

解析

依题，是定义在上的奇函数，且当时，则.

考查方向

本题主要考查函数奇偶性

解题思路

判断的正负，利用函数奇偶性将的值化为小于的值代入到对应范围解析式中.

易错点

函数奇偶性的应用

1
题型：填空题
|
分值: 5分

16．已知点在椭圆上，点满足，且，则线段在轴上的投影长度的最大值为.________

正确答案

解析

三点共线

设与轴夹角为，设，为点在轴上的投影，则在轴上的投影长度为：

，当且仅当

时取等号.

考查方向

本题主要考查了椭圆的性质，均值不等式.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

解题思路

根据已知条件判断出三点共线，设出，结合找到关系式，结合椭圆方程以及均值不等式求出最值.

易错点

椭圆性质以及均值不等式的运用

简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知四棱锥中，底面是梯形，，且，顶点在平面内的射影在上，．

21.求证：平面平面；

22.若直线与所成角为，求二面角的余弦值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

平面平面

解析

证明：平面平面，

，，平面平面，

又平面，平面平面分

考查方向

本题主要考查线面垂直判定定理，面面垂直的判定定理

解题思路

根据题意，结合图形，证明平面，进而证明平面平面.

易错点

线面垂直判定定理，面面垂直的判定定理的应用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

以为原点，如图建立空间直角坐标系，

平面

轴

则，设，

，

，

与所成角为，

，

设平面的法向量为，由，得面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

由，得面的一个法向量为

二面角的平面角为钝角二面角的余弦值为.

分

考查方向

本题主要考查二面角的求法

解题思路

根据题意，建立适当的空间坐标系，利用空间向量求二面角

易错点

利用空间向量求二面角

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知焦点为的抛物线：，圆：，直线与抛物线相切于点，与圆相切于点．

23.当直线的方程为时，求抛物线C1的方程；

24.记分别为的面积，求的最小值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设点，由得，，求导,

因为直线的斜率为，所以且，解得，

所以抛物线的方程为．分

考查方向

本题考查了直线斜率公式，抛物线的性质

解题思路

根据直线斜率公式以及抛物线方程求出即可.

易错点

根据直线方程求直线斜率，根据点坐标求直线斜率，抛物线性质的应用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

点处的切线方程为：，即，

的方程为

根据切线与圆切，得，即，化简得，

由方程组解得，

故，

点到切线的距离，

故，

，

而由知，，得，

故

当且仅当时取“=”号，即，此时,

分

考查方向

本题考查了抛物线的性质，均值不等式

解题思路

根据题意，联立切线与抛物线方程，建立关系式，利用均值不等式求解.

易错点

抛物线的性质及均值不等式的应用

1
题型：简答题
|
分值: 12分

如图，在中，，，点在线段上．

17.若，求的长；

18.若，的面积为，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

在三角形中，，

在中，由正弦定理得，

又，，．分

考查方向

本题主要考查正弦定理，同角三角函数的性质

解题思路

根据，求出，利用正弦定理求.

易错点

正弦定理的应用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，，，

又，

,

，

在中，由余弦定理得．

，分

考查方向

本题主要考查三角形面积公式，余弦定理，正弦定理

解题思路

根据边的关系得到面积的关系，通过面积公式以及余弦定理找出关系式求解.

易错点

三角形面积公式的应用，余弦定理的应用

1
题型：简答题
|
分值: 12分

近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．年“”期间，某购物平台的销售业绩高达亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为次．

19.请完成关于商品和服务评价的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

20.若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量：

求对商品和服务全为好评的次数的分布列；

②求的数学期望和方差．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

能

解析

由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：

，故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关 分

考查方向

本题考查了独立性检验

解题思路

根据题意补充列联表，计算，查表判断是否相关

易错点

根据题意补充列联表，计算，判断相关性.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析;

解析

(1)每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且取值可以是，其中

，，，

，

的分布列为：

分

(2) 附临界值表：

的观测值：其中

由于，则.

分

考查方向

本题主要考查分布列的求法; 本题主要考查期望和方差的求法

解题思路

根据题目中数据求对应次数概率，列出分布列; 根据题目中数据列式求期望和方差.

易错点

分布列的求法;求解期望和方差

1
题型：简答题
|
分值: 10分

已知函数.

29.解不等式：；

30.若，求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题意，得，

因此只须解不等式，

当时，原不等式等价于，即；

当时，原不等式等价于，即；

当时，原不等式等价于，即.

综上，原不等式的解集为分

考查方向

本题考查了绝对值不等式的解法

解题思路

分三类讨论两个绝对值的符号，解三个不等式。

易错点

绝对值不等式的解法

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

证明：由题意得

.

所以成立.   分

考查方向

本题考查了绝对值的性质，含绝对值的不等式

解题思路

根据题意代数，利用函数绝对值不等式的性质整理式子即可.

易错点

绝对值性质的应用

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数在为自然对数的底时取得极值,且有两个零点记为．

25.求实数的值，以及实数的取值范围；

26.证明：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，

由，且当时，，当时，，

所以在时取得极值，所以，

所以，函数在上递增，在上递减，，

时，时，有两个零点，

故． 分

考查方向

本题考查了利用导数研究函数的单调性及极值

解题思路

对函数数，判断函数单调性及极值，得到关系式求解.

易错点

对函数求导

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

证明：不妨设，由题意知，

则，

欲证，只需证明，只需证明：，

只需证明：，即证：，

即证，设，则只需证明：，

也就是证明：，

记，，

在单调递增，

，所以原不等式成立，故，则得证

分

考查方向

本题考查了利用导数研究函数的单调性

解题思路

求导数，判断函数单调性，进而得到结论.

易错点

函数的导数

1
题型：简答题
|
分值: 10分

在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数，在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

27.求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；

28.设直线与轴，轴分别交于两点，点是圆上任一点，求两点的极坐标和面积的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

,

解析

由消去参数，得，

所以圆的普通方程为.

由，得，

所以直线的直角坐标方程为.分

考查方向

本题考查了方程转化

解题思路

将参数方程、极坐标方程转化为一般方程

易错点

将参数方程、极坐标方程转化为一般方程

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

直线与轴，轴的交点为，化为极坐标为，

设点的坐标为，则点到直线的距离为

，

，又，

所以面积的最小值是分

考查方向

本题考查了极坐标运算，三角函数最值问题

解题思路

将直角坐标转化为极坐标，利用距离公式找出关系式，求三角函数最值.

易错点

极坐标运算，三角函数最值的讨论

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