理科数学 合肥市2017年高三第一次质量检测
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.设集合,则(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由A中不等式解得:,即;由B中,得到,则,因此A不正确,B不正确,D不正确,所以选C选项.

考查方向

此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

解题思路

求出A中不等式的解集确定出A,求出B中y的范围确定出B,找出A与B的交集即可.

易错点

本题的易错点是集合的化简以及集合的交集运算.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,长轴长等于圆的半径,则椭圆的方程为(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

椭圆C:的一个焦点与抛物线的焦点重合,可得,长轴长等于圆的半径,,则,所求椭圆方程为:.因此A不正确,B不正确,D不正确,所以应选C.

考查方向

本题考查椭圆的简单性质,椭圆方程的求法,抛物线的简单性质的应用,考查计算能力.

解题思路

求出抛物线的焦点坐标,圆的半径,然后求解椭圆的a,b,即可得到椭圆方程.

易错点

本题的易错点是椭圆和抛物线的简单几何性质以及圆的一般方程的应用.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.下列命题中真命题是(   )

A

B 表示不同的直线,表示平面,若,则

C利用计算机产生0和l之间的均匀随机数 ,则事件“”发生的概率为

D”是“”的充分不必要条件

正确答案

D

解析

对于A,根据正切函数的图象及周期性可判定,故A不正确;

对于B,,可得,故B不正确;

对于C,因为上产生随机数a所对应图形的长度为1,及事件“”对应的图形的长度为,因此概率为,故C不正确;

对于D,“”时“”成立,同时“”时“”也成立,故D正确;

综上可得,A不正确,B不正确;C不正确,所以应选D.

考查方向

本题考查了命题真假的判定,主要用到了正切函数的图象和性质线面垂直的判定,几何概型的概率求解以及基本不等式的应用,属于基础题.

解题思路

解本题可对所给的四个选项意义进行分析,进而得出结论..

易错点

本题的易错点是命题真假的判定.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥外接球的表面积是(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由已知可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其外接球相当于一个长,宽,高分别为的长方体的外接球,故,故该三棱锥外接球的表面积,因此A不正确,C不正确;D不正确,所以应选B.

考查方向

本题考查的知识点是球的体积和表面积,球的内接多面体,简单几何体的三视图,难度中档.

解题思路

由已知可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其外接球相当于一个长,宽,高分别为1,1,2的长方体的外接球,进而得到答案.

易错点

本题的易错点根据几何体的三视图还原直观图以及球的表面积公式.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.复数为虚数单位)的虚部为(   )

A

B2

C

D-1

正确答案

B

解析

因为,所以复数为虚数单位)的虚部为2. 因此A不正确,C不正确,D不正确,所以选B选项.

考查方向

本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

解题思路

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

易错点

本题的易错点是复数的乘除运算以及复数的概念.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.等比数列中为方程的两根,则(   )

A4

B5

C

D

正确答案

A

解析

因为为方程的两根,所以,所以为正数,在等比数列中中,,则,因为为正数,所以,因此B不正确,C不正确,D不正确,所以应选A选项.

考查方向

本题考查等比数列的性质和项的符号,以及韦达定理的应用,属于基础题.

解题思路

由题意和韦达定理得:a1+a5=10,a1a5=16,判断出a1,a5为正数,由等比数列的性质和项的符号求出a3的值

易错点

本题的易错点是等比数列的性质.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.按照图中的程序框图执行,若处条件是,则输出结果为(   )

A15

B16

C31

D32

正确答案

C

解析

由题意,

不满足条件,退出,因此A不正确,B不正确,C不正确,因此应选C.

考查方向

本题考查直到型循环结构程序框图运算,正确写出每次循环得到的k,S的值是解题的关键,属于基础题.

解题思路

模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k,S的值,输出结果为31,退出循环,即可得出结论.

易错点

本题的易错点是程序框图中的循环结构的应用.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.中国传统文化中不少优美的古诗词很讲究对仗,如“明月松间照,清泉石上流”中明月对清泉同为自然景物,明和清都是形容词,月和泉又都是名词,数学除了具有简洁美、和谐美、奇异美外,也具有和古诗词中对仗类似的对称美.请你判断下面四个选项中,体现数学对称美的是(   )

A”表示成“

B平面上所有二次曲线的一般形式均可表示成:

C正弦定理:

D

正确答案

C

解析

根据四个选项中的内容可得进C中的正弦定理体现了对称美,因此A不正确,B不正确;D不正确,所以应选C.

考查方向

本题考查数学对称美,考查学生对式子的理解,比较基础.

解题思路

根据本题中的四个选项内容可得C中的内容体现了对称美.

易错点

本题的易错点是数学式子的对称美的考查.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.已知函数是偶函数,记的大小关系为(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

函数是偶函数,可得

,即有恒成立,可得

,当时,为增函数,

,由

即有,则,即为.因此B不正确,C不正确;D不正确,所以应选A.

考查方向

本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用:比较大小,注意运用定义法和转化思想,同时考查指数函数和对数函数的单调性,考查运算能力,属于中档题.

解题思路

为偶函数,可得,讨论时,递增,化,运用指数函数和对数函数的单调性,比较的大小,即可得到的大小关系.

易错点

本题的易错点是函数的奇偶性和单调性的判断和应用.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.已知中,的中点,则中线的长为(   )

A2

B4

C

D

正确答案

C

解析

如图所示,在中,

由余弦定理可得:

解得.设,则.设

中,由余弦定理可得:,所以

所以,解得.因此A不正确,B不正确,D不正确,所以应选C.

考查方向

本题考查了余弦定理的应用、中线长定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

解题思路

中,先由余弦定理求出a的值,设,则.设,然后再在中,由余弦定理进行求解即可.

易错点

本题的易错点是余弦定理.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.已知函数,则关于的方程为实数)根个数不可能为(   )

A1

B3

C5

D6

正确答案

D

解析

时,为增函数,且,当时,

,解得

时,,当时,,当时,

所以当时,取得极大值,当时,取得极小值

作出的函数图象如图:

将x轴下方的图象向上翻折得出的函数图象如图所示:

由图象可知:

时,无解,

时,有3解,

时,有5解,

时,有4解,

时,有3解,

时,有2解,

时,有1解.

因此A不正确,B不正确;C不正确,所以应选D.

考查方向

本题考查了函数单调性的判断,函数零点的个数与函数图象的关系,属于中档题.

解题思路

判断的单调性,计算的极值,作出的函数图象,根据函数图象得出方程的解的情况.

易错点

本题的易错点是函数单调性的判断,函数零点的个数与函数图象的关系.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.设双曲线的右定点为,右焦点为 ,弦且垂直于轴,过点、点分别作直线 、的垂线,两垂线交于点,若到直线的距离小于,则该双曲线离心率的取值范围是(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题意,B在x轴上,,所以

所以,所以直线BQ的方程为

,可得

因为B到直线PQ的距离小于,所以

所以,所以,所以,又因为,所以.

因此B不正确,C不正确;D不正确,所以应选A.

考查方向

本题考查双曲线的方程与性质,考查直线方程的求解,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

解题思路

求出直线BQ的方程,令y=0,可得B的坐标,利用B到直线PQ的距离小于2(a+c),得出a,c的关系,即可求出该双曲线离心率的取值范围.

易错点

本题的易错点是双曲线的方程与性质.

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

如图,四棱锥中,底面为直角梯形,,,,平面.

19.求证:平面平面

20.若侧棱上存在点 ,使得,求二面角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明略.

解析

因为平面

平面,所以

直角梯形中,

所以

所以,又

所以,即

,所以平面

平面,所以平面平面

考查方向

本题主要考查了面面垂直的判定,属于基础题.

解题思路

证明,推出平面,然后证明平面平面

易错点

本题的易错点是面面垂直的判定.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

平面,得,又

如图:

分别以AD,AB,AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则

,

设P,Q到平面距离分别为,则

因为,所以

所以Q为PB的中点,即

设平面法向量为,又

,取,得

又平面法向量为

所以

又二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.

考查方向

本题主要考查来源空间向量求二面角平面角的应用,考查了学生的空间想象能力以及计算能力.

解题思路

分别以所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,设P,Q到平面距离分别为,则.求出Q的坐标,求出平面法向量,平面法向量,利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值

易错点

本题的易错点是利用空间向量求角.

1
题型:简答题
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分值: 12分

在平面直角坐标系中,位于轴上方的动圆与轴相切,且与圆 相外切.

24.若点 是平面上的一个动点,且满足条件:过点 可作曲线 的两条切线,切点连线与垂直,求证:直线 过定点,并求出定点坐标.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明略,定点坐标为.

解析

,由方程,两边对求导得.设切点点处切线方程为 .又,整理得:,又切线过,所以

同理可得:

所以过的直线方程为:

,所以,所以

直线轴上的定点

考查方向

本题主要考查了直线与圆的位置关系以及导数知识的运用,知识综合性强.

解题思路

求出过的直线方程为:,又,所以,即,所以,即可证明结论.

易错点

本题的易错点是直线与圆的位置关系的应用.

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知函数,记函数.

25.讨论函数 的单调性;

26.试比较的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

时,为增函数,在上为减函数;当时,为增函数,在上为减函数;当时,所以是增函数.

解析

所以

①当时,则,在是增函数;

上,是减函数.

②当时,则,在是增函数;

上,是减函数.

③当时, 恒成立,且图像连续不断,所以

是增函数.

综上可得,当时,为增函数,在上为减函数;当时,为增函数,在上为减函数;当时,所以是增函数.

考查方向

本题考查了利用导数研究函数的单调性的应用以及分类讨论的数学思想.

解题思路

先求出函数的导数,然后通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可.

易错点

本题的易错点是利用导数研究函数的单调性.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,即比较大小.

①当时,显然有

②当时,,即比较大小.

所以递增,而

有位移的实数根,且

递减,在递增,

即有,即,即有

综上可得

注:当时,要证,也可转化为证:(等号不能同时取到)

考查方向

本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道综合题.

解题思路

解本题可先将问题转化为比较与x,然后通过讨论x的范围,结合函数的单调性比较其大小即可.

易错点

本题的易错点是利用导函数研究函数的性质.

1
题型:简答题
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分值: 12分

为了调查黄山市某校高中部学生是否愿意在寒假期间参加志愿者活动,现用简单随机抽样方法,从该校高中部抽取男生和女生共60人进行问卷调查,问卷结果统计如下:

17.若用分层抽样的方法在愿意参加志愿者活动的学生抽取8人,则应从愿意参加志愿者活动的女生中抽取多少人?

18.在上题中抽取出的8人中任选3人,求被抽中的女生人数X的分布列和数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

3

解析

在愿意参加志愿者活动的学生中抽取8人,则抽取比例为

所以从愿意参加志愿者活动的女生中抽取出人.

考查方向

本题主要考查了分层抽样的应用,属于基础题.

解题思路

先根据在愿意参加志愿者活动的学生中抽取8人,求出抽取比例为.进而求解即可.

易错点

本题的易错点是分层抽样.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

分布列略,数学期望为.

解析

被抽中的女生人数X可能取0,1,2,3.

被抽中的女生人数X的分布列为:

.

考查方向

本题考查了古典概率计算公式、“超几何分布列”及其数学期望计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

解题思路

被抽中的女生人数X可能取0,1,2,3.利用“超几何分布列”及其数学期望计算公式即可得出.

易错点

本题的易错点是离散型随机变量分布列和数学期望.

1
题型:简答题
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分值: 12分

“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注,为了使基础设施更加完善,现需对部分区域进行改造.如图,在道路 北侧准备修建一段新步道,新步道开始部分的曲线段是函数,(),的图像,且图像的最高点为 .中间部分是长为1千米的直线段,且 .新步道的最后一部分是以原点为圆心的一段圆弧

21.试确定的值.

22.若计划在扇形区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站,并要求矩形一边紧靠道路,顶点罗总半径上,另一顶点落在圆弧上.记,请问矩形面积最大时应取何值,并求出最大面积?

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

因为,所以,解得

图象过,所以,又,所以.

考查方向

本题主要考查由函数的部分图象求解析式,属于基础题.

解题思路

利用正确确定,图象过,确定的值.

易错点

本题的易错点是函数的部分图象求解析式.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为,交轴于

.又

,此时矩形面积最大为.

考查方向

本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的定义域和值域,属于中档题.

解题思路

求出PF,EF,可得面积,进而利用三角函数求出最大面积.

易错点

本题的易错点是三角恒等变换、正弦函数的定义域和值域.

1
题型:简答题
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分值: 10分

选修4-4:坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系中,直线 的参数方程是(是参数)

以原点为极点,为极轴建立极坐标系,圆 的极坐标方程为.

27.求直线的普通方程和圆心 的直角坐标;

28.求圆上的点到直线 距离的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

直线的普通方程为

的普通方程为,即

圆心的直角坐标为.

考查方向

本题主要考查了直线参数方程与普通方程的互化以及极坐标与直角坐标的互化.

解题思路

解本题可根据直线的参数方程消去参数得到普通方程,然后将圆的极坐标方程化为直角坐标方程,,进而得出圆心坐标.

易错点

本题的易错点是直线参数方程与普通方程的互化以及极坐标与直角坐标的互化.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

2

解析

的半径,圆心到直线的距离

上的点到直线距离最小值为2.

考查方向

本题主要考查了点到线的距离公式以及直线与圆的位置关系的应用.

解题思路

解本题可利用圆心到直线的距离减去半径即为所求最小值.

易错点

本题的易错点是点到线的距离公式.

1
题型:简答题
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分值: 10分

选修4-5:不等式选讲

已知函数,且不恒为0.

29.若为奇函数,求值;

30.若当 时,恒成立,求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

因为,若为奇函数,则由,得

不恒为0,得

此时,符合为奇函数,所以

考查方向

本题主要考查了函数奇偶性的应用,

解题思路

由奇函数的性质可得,结合条件可得,然后检验是否满足题意即可.

易错点

本题的易错点是函数的奇偶性.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

时,恒成立,即时恒成立

时恒成立,即.

,所以

考查方向

本题考查绝对值函数的性质和不等式恒成立问题解法,注意运用绝对值的含义和参数分离,求最值,考查转化思想,以及运算能力,属于中档题.

解题思路

由题意可得时恒成立.即有时恒成立,运用参数分离和一次函数的单调性,可得最值,进而得到a的范围.

易错点

本题的易错点是绝对值函数的性质和不等式恒成立问题.

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.多项式展开式中的常数项是         

正确答案

解析

因为

所以常数项为.

考查方向

本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

解题思路

解本题可先将多项式进行变形,然后利用二项式定理进行求解即可.

易错点

本题的易错点是二项式定理展开式的通项.

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.若点坐标满足不等式组 ,则的取值范围         

正确答案

解析

由约束条件,作出可行域如图,

,化为,由图可知,当直线分别过时,目标函数取得最小值和最大值,分别为:﹣2,6.所以的取值范围是

考查方向

本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

解题思路

由约束条件作出可行域,令,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求出得最值,则的取值范围可求.

易错点

本题的易错点是二元一次不等式组表示的平面区域.

1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.直角三角形中,若,则           

正确答案

解析

建立如图所示的坐标系,则由题意可得,设

又因为,所以

因为,所以

所以

故答案为:3.

考查方向

本题考查了向量的线性运算和数量积运算,考查了计算能力,属于基础题.

解题思路

如图所示,设B(0,a),利用向量的线性运算和数量积运算即可得出.

易错点

本题的易错点是向量的线性运算和数量积运算.

1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.数列各项均为正数,且满足.记,数列项的和为 ,若对任意的恒成立,则实数的取值范围是         

正确答案

解析

因为数列满足,所以

所以数列是等差数列,公差为3,首项为1.

所以

所以

所以数列前n项的和为:

对任意的恒成立,所以

则实数t的取值范围是

考查方向

本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

解题思路

解本题可先将已知条件进行变形,然后利用数列的定义得出数列是等差数列,然后再求出数列的通项公式,进而利用裂项相消法进行求解即可.

易错点

本题的易错点是等差数列的通项公式以及裂项求和.

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