• 理科数学 湛江市2013年高三试卷
单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(   )

A

B

C

D

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1

4.的展开式中常数项为(   )

A

B

C

D

分值: 5分 查看题目解析 >
1

5.随机抽取某产品件,测得其长度分别为,如图所示的程序框图输出样本的平均值,则在处理框①中应填入的式子是(    )(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“:=”)

A

B

C

D

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1

2.下面是关于复数的三个命题:

     

在复平面内对应的点在第四象限   

是纯虚数

其中的真命题为(   )

A

B

C

D

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1

7.已知等比数列中,,则其前项的和的取值范围是(   )

A

B

C

D

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1

6.如图,某几何体三视图如图所示,,其中侧(左)视图由半圆与两线段组成,则该几何体的体积是(      )

A

B

C

D

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1

8.已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,若,则(   )

A

B

C

D

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1

1.已知集合,且,则实数的取值范围是(   )

A

B

C

D

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填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1

10.为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如下),那么在这100株树木中,底部周长小于110cm的株数是_______.

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1

11.将函数的图象上每一点向右平移个单位,再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍(纵坐标保持不变),得函数的图象,则的一个解析式为__________________.

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1

12.已知满足,则的最小值是______________.

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1

13.已知,若关于的方程有实根,则的取值范围是____.

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1

9.计算:÷____________.

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1

选做题(14 - 15题,只能从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程选做题)

在极坐标系中,曲线截直线所得的弦长为_________.

15.(几何证明选讲选做题

如图,为圆的切线,为切点,过圆心,圆的面积为,则_________.

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简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

17.如图,在路边安装路灯,灯柱与地面垂直,灯杆与灯柱所在平面与道路垂直,且,路灯采用锥形灯罩,射出的光线如图阴影部分所示,已知,路宽,设灯柱高.

(1)求灯柱的高(用表示);

(2)若灯杆与灯柱所用材料相同,记所用材料长度和为,求关于的函数表达式,并求出的最小值.

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1

18.如图,三棱锥中,的中点,,二面角的大小为

(1)证明:平面

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

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1

19.对数列,规定为数列的一阶差分数列,其中,对自然数,规定阶差分数列,其中

(1)已知数列的通项公式,试判断是否为等差或等比数列,为什么?

(2)若数列首项,且满足,求数列的通项公式。

(3)对(2)中数列,是否存在等差数列,使得对一切自然都成立?若存在,求数列的通项公式;若不存在,则请说明理由。

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1

20.已知动点到点的距离与到直线的距离之比为定值,记的轨迹为

(1)求的方程,并画出的简图;

(2)点是圆上第一象限内的任意一点,过作圆的切线交轨迹两点.

        (i)证明:

        (ii)求的最大值.

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1

16.(某中学号召本校学生在本学期参加市创办卫生城的相关活动,学校团委对该校学生是否关心创卫活动用简单抽样方法调查了位学生(关心与不关心的各一半),结果用二维等高条形图表示,如图.

(1)完成列联表,并判断能否有℅的把握认为是否关心创卫活动与性别有关?

(参考数据与公式:

(2)已知校团委有青年志愿者100名,他们已参加活动的情况记录如下:

(i)从志愿者中任选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率;

(ii)从志愿者中任选两名学生,用表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量的分布列及数学期望

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1

21.(已知,函数.(的图象连续不断)

(I)求的单调区间;

(II)当时,证明:存在,使

(III)若存在属于区间,且,使,证明:

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