理科数学徐汇区2016年高三高三上学期期末试卷

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填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程是___________．

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2．方程的解是___________．

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3．设，则数列的各项和为___________．

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4．函数的最小值为___________．

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5．若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为_____________．

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6．若函数的零点个数为4，则实数的取值范围为___________．

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7．若，且，则的最小值是___________．

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8．若三条直线和相交于一点，则行列式的值为___________．

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9．展开后各项系数的和等于___________．

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10．已知四面体的外接球球心在棱上，，，则、两点在四面体的外接球上的球面距离是___________．

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11．已知函数的定义域为，值域为，则这样的集合最多有___________个．

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12．正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为___________．

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13．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则=___________．

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14．已知是锐角的外心，．若，则实数___________．

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单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

15．已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）

A向量与垂直

B向量与垂直

C向量与垂直

D向量与平行

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16．设为实数，则“”是“”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

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17．设、均是实数，是虚数单位，复数的实部大于，虚部不小于，则复数在复平面上的点集用阴影表示为下图中的（）

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18．设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）

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简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19.在三棱锥中，且，，.

求证，并求三棱锥的体积．

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20.已知实数满足且．

（1）求实数的取值范围；

（2）求的最大值和最小值，并求此时的值．

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21.节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点、及的中点处，km，km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与、等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道、、．设（弧度），排污管道的总长度为km．

（1）将表示为的函数；

（2）试确定点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01 km）．

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22.给定数列，记该数列前项中的最大项为，即；该数列后项中的最小项为，即；．

（1）对于数列：3,4,7,1，求出相应的；

（2）若是数列的前项和，且对任意有其中为实数，且．

①设，证明数列是等比数列；

②若数列对应的满足对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

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23．已知直线、与曲线分别相交于点、和、，我们将四边形称为曲线的内接四边形．

（1）若直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，求的值；

（2）若直线与圆分别交于点、和、，求证：四边形为正方形；

（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．

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