理科数学徐汇区2016年高三高三上学期期末试卷

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试卷目录

1、填空题

2、单选题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

2．方程的解是___________．

正确答案

解析

∵

∴方程的解是．

考查方向

本题主要考查了对数方程的解法，考查学生计算能力，属于容易题．

易错点

在对数方程的求解中，将对数式转化成指数式的过程中，特别要注意对数式中的底数、真数、对数与指数式中的底数、幂、指数的对应关系．

知识点

指数幂的运算对数的运算性质

题型：填空题

分值: 4分

3．设，则数列的各项和为___________．

正确答案

解析

∵

∴首项，公比

∴数列的各项和为

考查方向

本题主要考查无穷等比数列各项和公式，考查学生基础知识的掌握能力，是容易题．

解题思路

先求出数列的首项和公比，然后代入到无穷等比数列各项和公式计算求得．

．

易错点

没注意到这是无穷等比数列，其公比，对各项和概念的不理解．

知识点

等比数列的基本运算

题型：填空题

分值: 4分

6．若函数的零点个数为4，则实数的取值范围为___________．

正确答案

解析

∵的零点个数为4

∴方程即有4个不同的解

∴函数与的图像有4个交点

由图可知

∴．

考查方向

本题主要考查函数的性质，考查数形结合、函数与方程的思想，是中档题，在近几年各省市的高考中出现频率很高，常将函数的几个性质结合在一起进行命题．

解题思路

作出函数与的图像，观察两个图像四个交点时的情形，数形结合，求解的取值范围．

易错点

对函数零点概念的不理解，或者不能将函数零点个数转化为两个函数图像四个交点来求解．

知识点

函数零点的判断和求解

题型：填空题

分值: 4分

1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程是___________．

正确答案

解析

∵抛物线的顶点在原点，准线方程为，

∴可设抛物线的方程为．

∵，

∴．

∴抛物线的方程为．

考查方向

本题考查抛物线标准方程，考查学生基础知识的掌握能力，属于容易题．

易错点

1．对的几何意义的理解；2．抛物线标准方程有四种形式，适合本题的方程选哪种．

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

分值: 4分

4．函数的最小值为___________．

正确答案

解析

∵

而∴

∴

考查方向

本题主要考查三角化简，是容易题．

解题思路

先逆用二倍角公式，然后用辅助角公式，最后利用三角函数的有界性求得函数的最小值．

易错点

三角公式很多，容易混淆公式的使用；逆用公式易出错．

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

题型：填空题

分值: 4分

5．若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为_____________．

正确答案

解析

∵函数的与函数的图像关于直线对称

∴以、代替原来中的、，得

∴所求解析式为．

考查方向

本题考查函数的图像变换，是容易题．

解题思路

函数的与函数的图像关于直线对称，故以、代替原来中的、，化简得到关于的函数即可．

易错点

混淆各种函数图像变换．

知识点

函数解析式的求解及常用方法指数函数与对数函数的关系反函数

题型：填空题

分值: 4分

7．若，且，则的最小值是___________．

正确答案

解析

∵，且

∴

（当且仅当即时，等号成立）

∴的最小值是16．

考查方向

本题考查基本不等式，是容易题．

解题思路

，展开，再利用基本不等式求得最小值，注意等号成立的条件．

易错点

当一个整数式子与一个分式式子在一个题中出现时，求一个式子的最值，常将两个式子相乘，展开，然后利用基本不等式求解．利用基本不等式求最值要注意：一正、二定、三相等．

知识点

利用基本不等式求最值

题型：填空题

分值: 4分

8．若三条直线和相交于一点，则行列式的值为___________．

正确答案

解析

解方程组，得交点坐标为（-1，-1），代入ax+y+3=0，得a=2．

∴行列式=2+4-3-6+4-1=0．

考查方向

本题主要考查两直线交点的求法、三条直线相交于一点的解题策略，考查三阶行列式的运算法则，考查计算能力，是容易题．

解题思路

先求x+y+2=0和2x-y+1=0的交点，代入直线ax+y+3=0，即可得到a的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．

易错点

混淆行列式与矩阵．

知识点

两条直线的交点坐标

题型：填空题

分值: 4分

9．展开后各项系数的和等于___________．

正确答案

解析

令=1，则．

∴展开后各项系数的和为28．

考查方向

本题主要考查多项式的系数和，考查分析问题的能力，属于容易题．

解题思路

要求多项式的系数和，实际上就是当=1时多项式的值．

易错点

将整式展开后求各项系数的和，会增加计算量，并且容易出错．

知识点

二项式系数的和或各项系数的和问题

题型：填空题

分值: 4分

10．已知四面体的外接球球心在棱上，，，则、两点在四面体的外接球上的球面距离是___________．

正确答案

解析

由四面体的外接球球心在棱上，，得

球的半径

∴

∴、两点在四面体的外接球上的球面距离为．

考查方向

本题考查球面距离及其相关计算，考查空间想象能力、计算、逻辑思维能力，是中档题．

解题思路

先求球半径，再求的大小，然后利用公式求得、两点在四面体的外接球上的球面距离．

易错点

在球上的位置关系不明确，从而影响球面距离的求解．

知识点

球面距离及相关计算与球体有关的内切、外接问题

题型：填空题

分值: 4分

12．正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为___________．

正确答案

解析

由题意，试验发生所包含的事件是2个均匀的正四面体与桌面接触，共有4×4=16种情况．一个正四面体的四个面的数字和为6，则露在外面的6个数字之和恰好是9即与桌面接触两个面的数字和为3，它包括0+3、1+2、2+1、3+0四种情况．∴所求概率为．

考查方向

本题考查等可能事件的概率计算，是容易题，在近几年各地高考中频频出现．

解题思路

先求试验所包含的事件的所有种数，然后寻找符合要求的试验种数，即可得到概率．

易错点

解题的关键是正确运用列举法，分析得到基本事件的个数．

知识点

古典概型的概率

题型：填空题

分值: 4分

13．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则=___________．

正确答案

解析

由题意，设（且），

∵是实系数一元二次方程的两个根，则

∴

又∵ ∴ ∴

若，则

∴，，

，……

∴，……按照周期为3循环

∴

若，同理可得．

考查方向

本题考查复数代数形式的混合运算、实数的条件、以及利用周期性求和，考查化简计算能力，是中档题．

解题思路

根据实系数二次方程的虚根成对出现，设（且）、，根据分母实数化简，令实部为零求出与的关系，把它代入分母实数化简后的式子，同理依次求出等，求出它们的周期，再求出的值．

易错点

对条件“是虚数，是实数”不知道如何着手；因为带字母运算，计算比较容易出错；求周期不容易想到．

知识点

复数代数形式的乘除运算

题型：填空题

分值: 4分

11．已知函数的定义域为，值域为，则这样的集合最多有___________个．

正确答案

解析

∵函数的值域为，

由分别可得

∴函数的定义域中必定有0，1和-1至少有一个，和中至少有一个

∴函数的定义域的可能有

共9种可能，故这样的集合共9个．

考查方向

本题主要考查函数的概念及其构成元素、排列组合的知识，考查学生分析问题的能力，是容易题．

解题思路

由题意知，函数的定义域中，0一定有，1和-1至少有一个，和中至少有一个，从而根据所选元素的个数，结合排列组合的知识可求满足条件的集合的个数．

易错点

再求得定义域中的可能元素后，如果用列举法，容易重复或遗漏从而产生错误，而用排列组合的知识求解，不容易出错．

知识点

函数的定义域及其求法函数的值域

题型：填空题

分值: 4分

14．已知是锐角的外心，．若，则实数___________．

正确答案

解析

如图所示，设的中点，连，

由三角形外接圆的性质可得，

∴．

∵，代入已知得

，

两边与作数量积得

，

∴

由正弦定理可得

化简得

又∵

∴，即

又∵

∴

∴．

考查方向

本题综合考查了三角形外接圆的性质、垂径定理、正弦定理、数量积运算性质、两角和差的余弦公式、三角函数基本关系式等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．这类问题在近几年各省市的高考试卷中出现频率很高，以平面向量为载体，可以与三角、函数、数列、解析几何等知识结合交汇命题．

解题思路

取的中点，连，由三角形外接圆的性质可得，于是．

由向量的三角形法则可得，代入已知，两边与作数量积得到，

再利用正弦定理化简可得，再利用两角和差的余弦公式和三角函数的基本关系式即可得到．

易错点

对条件的不理解，综合运用各种知识解决问题．

知识点

两角和与差的正弦函数正弦定理向量的加法及其几何意义平面向量数量积的运算

单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

15．已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）

A向量与垂直

B向量与垂直

C向量与垂直

D向量与平行

正确答案

解析

设向量与的夹角为，由题意可知，故，且有

选项A：，故A正确；

选项B：

，故B不正确；

选项C：

，故C不正确；

选项D：由A选项的证明可知，又向量与不平行，且，所以且，向量与不可能平行，故D不正确．

考查方向

本题考查平面向量垂直与平行的条件、向量数量积的运算，是容易题．

解题思路

向量垂直用两个向量的数量积为零来判定，向量平行用向量平行的条件判定．

易错点

混淆平面向量垂直与平行的条件，对充分性和必要性认识不足．

知识点

命题的真假判断与应用平行向量与共线向量量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：单选题

分值: 5分

16．设为实数，则“”是“”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

（1）若

当时，此时，

即“”“”是假命题

（2）若

当时，此时，

即“”“”是假命题

综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件．故选D

考查方向

本题考查充分条件、必要条件、充分必要条件的判断以及不等式的性质，是容易题，涉及充分必要条件的问题在近几年的各省高考题中出现的频率非常高，它可以与高中数学每一个章节每一个知识点相结合进行命题，是高考的热点问题．

解题思路

根据不等式的性质，先判断“”“”与“”“”的真假，然后结合充分必要条件的定义即可得到答案．判断真命题，需要证明，判断假命题，可以通过举反例的形式来说明．

易错点

对充分性和必要性的认识不足，混淆不等式的各种性质以及各性质需要的前提条件．

知识点

充要条件的判定不等式的性质

题型：单选题

分值: 5分

17．设、均是实数，是虚数单位，复数的实部大于，虚部不小于，则复数在复平面上的点集用阴影表示为下图中的（）

正确答案

解析

由题意可得

由线性规划的知识可得：可行域为直线的右下方（不含直线）与直线左下方（含直线）的公共部分，故选A．

考查方向

本题考查了复数代数表示及其几何意义和线性规划的可行域，属于中档题．在近几年的各省高考题中出现的频率较低．

解题思路

由题意可得，再利用线性规划的知识求得可行域即可．

易错点

线性规划可行域容易选错．

知识点

复数的基本概念复数的代数表示法及其几何意义

题型：单选题

分值: 5分

18．设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）

正确答案

解析

在中，

若，

则

，

∴的一个对称中心为，

∴

故选C．

考查方向

本题考查函数的性质，考查即时学习能力，是中档题．新定义的学习型问题，在近几年各省市高考中出现的频率很高，常以压轴题的形式出现，整合函数、数列、解析几何、三角、向量等知识，体现数学多种思想方法．

解题思路

先求的一个对称中心为，再利用对称中心的定义，求出的值．

易错点

对新定义对称中心的不理解．

知识点

正弦函数的奇偶性正弦函数的对称性

简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 14分

20.已知实数满足且．

（1）求实数的取值范围；

（2）求的最大值和最小值，并求此时的值．

正确答案

（1）；

（2）当时，；当或时，．

解析

（1）设，则上式化为，，

即，

（2）因为

，

当，即时，

当或，即或时，．

考查方向

本题考查指数不等式、函数性质、函数最值的求解以及对数运算法则，考查计算能力，是容易题．

解题思路

题（1），换元法解不等式，先求出所换元的取值范围，再利用指数函数的性质解简单指数不等式；

题（2），将函数化简，转化为关于的二次函数，通过配方及函数的单调性求得函数的最值，注意的取值范围．

易错点

换元法求解过程容易忽略所换元的取值范围．

知识点

函数的最值及其几何意义对数函数图象与性质的综合应用

题型：简答题

分值: 12分

19.在三棱锥中，且，，.

求证，并求三棱锥的体积．

正确答案

证明略;

．

解析

∵，,

∴平面,所以.

又∵

∴平面

故.

在中，，

∴.

又在中，，

∴.

又∵平面，

∴.

考查方向

本题主要考查立体几何中两直线相互垂直的判定以及简单多面体的体积公式，考查逻辑推理能力以及计算能力，是容易题．

解题思路

的证明，先由线面垂直的判定定理证得线面垂直，再由线面垂直的性质定理证得线线垂直．三棱锥的体积的求解，先求得三棱锥的底面积以及高，然后利用三棱锥的体积公式求解即得．

易错点

线线垂直与线面垂直的相互转化，条件缺一不可．题中的证明，在证明线面垂直时，必须是平面外的直线分别垂直于平面上的两条相交直线，才能得到线面垂直．

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

题型：简答题

分值: 14分

21.节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点、及的中点处，km，km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与、等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道、、．设（弧度），排污管道的总长度为km．

（1）将表示为的函数；

（2）试确定点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01 km）．

正确答案

（1）（）；

（2）点在中垂线上离点距离为km处，取得最小值km．

解析

（1）由已知得，

即（其中）

（2）记，则，则有，

解得或

由于，所以，当，即点在中垂线上离点距离为

km处，取得最小值（km）．

考查方向

本题以实际问题为背景，主要考查函数解析式的构建以及函数最值的求解，考查数学建模的能力，是中档题．以实际问题为背景的生活中的优化问题，这类问题在近几年各省市的高考试卷中频频出现，是高考的热点问题．这类问题往往涉及到建立函数关系式和函数的最值，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，求最值时可利用三角函数的有界性、函数的单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．也注意结果应与实际情况相符合．

解题思路

先建立函数，再利用三角函数的有界性求的范围，最后得到需要的结果．

易错点

建立函数过程中，容易遗忘定义域，还要注意实际情况；求最值的有多种方法，还要注意结果应与实际情况相符合．

知识点

函数模型的选择与应用解三角形的实际应用

题型：简答题

分值: 16分

22.给定数列，记该数列前项中的最大项为，即；该数列后项中的最小项为，即；．

（1）对于数列：3,4,7,1，求出相应的；

（2）若是数列的前项和，且对任意有其中为实数，且．

①设，证明数列是等比数列；

②若数列对应的满足对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

正确答案

（1）；

（2）①证明略；②．

解析

（1）当=1时，A1=3，B1=1，从而可求得，

同理可得

（2）①当时，所以

当时，

两式相减得所以

又

所以，数列是以为首项、为公比的等比数列．

②由①知：；

又，

由于

所以由推得

所以对任意的正整数恒成立．

因为所以

由，得，

但且，所以解得，所以

考查方向

本题考查数列的综合应用，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，是难题．数列的综合应用在近几年各省市的高考试卷中频频出现，是高考的热点问题，往往以等差数列、等比数列为载体，涉及递推公式、通项公式、前项和，结合数列单调性、数列恒成立等知识交汇命题．

解题思路

题（1），当=1时，A1=3，B1=1，从而可求得，同理可求得的值；

题（2）①，利用等比数列的定义证明是等比数列，对含有的表达式，先利用（）求得与递推关系，将代入递推关系化简求得，同时验证的初始值，从而证明是等比数列；

题（2）②，由①得到的通项公式，根据求得，从而得到关于不等式，解得的取值范围．

易错点

对含有的表达式，往往利用求通项时容易忽视的要求，同时要验证的初始值；对新定义、的不理解；恒成立问题的恰当转化．

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

分值: 18分

23．已知直线、与曲线分别相交于点、和、，我们将四边形称为曲线的内接四边形．

（1）若直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，求的值；

（2）若直线与圆分别交于点、和、，求证：四边形为正方形；

（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．

正确答案

（1）2；

（2）证明略；

（3）证明略，面积为．

解析

（1）由于直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，

所以，

在等腰直角中，

圆心到直线的距离为，

，同理，

（2）由题知，直线关于原点对称，

因为圆的圆心为原点，

所以，

故四边形为平行四边形．

易知，点在对角线上．

联立解得，

由得

，

所以，

于是，

因为，

所以四边形为正方形．

（3）证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为．

当直线的斜率不存在时，

设直线、的方程为，

因为在椭圆上，

所以，

由四边形为正方形，易知，，

直线、的方程为，

正方形的面积．

当直线的斜率存在时，

设直线、的方程分别为，

显然．

设，

联立得，

所以

代人，得

，

同理可得

，

因为为正方形，

所以

解得

因为，所以，

因此，直线与直线关于原点对称，

所以原点为正方形的中心

（由知，四边形为平行四边形）

由为正方形知，

即

代人得，解得（注：此时四边形为菱形）

由为正方形知，

因为直线与直线的距离为，

故

但，

由得

即，与矛盾．

所以，这与矛盾．

即当直线的斜率存在时，椭圆内不存在正方形．

综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为．

考查方向

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力，是难题．解析几何的综合应用在近几年各省市的高考试卷中频频出现，是高考的热点问题，往往以直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体，涉及各类曲线的定义与方程、各类曲线的性质，与曲线的轨迹方程的求解、直线与圆锥曲线的位置关系等知识交汇命题．

解题思路

题（1），先找到两直线分单位圆成长度相等的四段弧的位置，求得所截得的弦长，然后利用原点到直线距离公式求得的值，从而求得的值；

题（2），先证四边形为平行四边形，再证对角线垂直且相等，从而证得四边形为正方形；

题（3），分类讨论说明椭圆的内接正方形有且只有一个．

易错点

找不到直线与圆或者椭圆的正确的位置关系，从而无法解题．

知识点

直线与圆相交的性质直线与椭圆的位置关系直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

理科数学 热门试卷

正确答案

解析

考查方向

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

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