理科数学 宝鸡市2014年高三试卷
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.在的二项展开式中,x的系数为(  )

A10

B-10

C40

D-40

正确答案

D

解析

Tr+1=(2x2)5-r=(-1)r25-rx10-3r,∴当10-3r=1时,r=3.∴(-1)325-3=-40.

知识点

坐标系的作用
1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

在个位数与十位数之和为奇数的两位数中:

(1)当个位数是偶数时,由分步计数乘法原理知,共有5×5=25个;

(2)当个位数是奇数时,由分步计数乘法原理知,共有4×5=20个.

综上可知,基本事件总数共有25+20=45(个),

知识点

众数、中位数、平均数
1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.样本(x1,x2,…,xn)的平均数为,样本(y1,y2,…,ym)的平均数为().若样本(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数+(1-α),其中0<α<,则n,m的大小关系为(  )

An<m

Bn>m

Cn=m

D不能确定

正确答案

A

解析

由已知,得x1+x2+…+xn=n,y1+y2+…+ym=m,

==+(1-α),

整理,得(-)[αm+(α-1)n]=0,

,

∴αm+(α-1)n=0,即=.

又0<α<,∴0<<1,∴0<<1.

又n,m∈N+,∴n<m.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合A={x|1<x<4},集合B={x|x2-2x-3≤0},则A∩(∁RB)=(  ).

A(1,4)

B(3,4)

C(1,3)

D(1,2)∪(3,4)

正确答案

B

解析

解:由已知得,B={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},

      所以∁RB={x|x<-1,或x>3}.

      所以A∩(∁RB)={x|3<x<4}.

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.i是虚数单位,复数=(  )

A2+i

B2-i

C-2+i

D-2-i

正确答案

B

解析

====2-i.

知识点

虚数单位i及其性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的(  )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

φ=0时,f(x)=cos x,f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(0)=±1,∴cos φ=±1,∴φ=kπ(k∈Z).∴是充分而不必要条件.

知识点

四种命题及真假判断
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(  )

A0

B1

C2

D3

正确答案

B

解析

f'(x)=2xln 2+3x2,在(0,1)上f'(x)>0恒成立,

∴f(x)在区间(0,1)上单调递增.

又∵f(0)=20+03-2=-1<0,f(1)=21+13-2=1>0,

∴f(x)在区间(0,1)上存在一个零点.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,当输入x的值为-25时,输出x的值为(  )

A-1

B1

C3

D9

正确答案

C

解析

x=|-25|>1,x=-1=4;

x=|4|>1,x=-1=1;

x=|1|>1不成立,

∴x=2×1+1=3.

知识点

程序框图
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.某几何体的三视图如图所示,它的体积为(  ).

A12π

B45π

C57π

D81π

正确答案

C

解析

由三视图知该几何体是由圆锥和圆柱构成的组合体,示意图如图所示,

∴该几何体的体积为V=V圆锥+V圆柱=πr2h1+πr2h2=π×32×4+π×32×5=12π+45π=57π.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.已知变量x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为(  )

A12

B11

C3

D-1

正确答案

B

解析

解:由约束条件作出可行域,如图,

∴可得最优解

∴zmax=3×3+2=11.

知识点

其它不等式的解法
填空题 本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_____.

正确答案

解析

因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,

所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.

又因为|AF1|,|F1F2|,|BF1|成等比数列,

所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,

所以离心率e==.

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:填空题
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分值: 5分

11.计算定积分(x2+sin x)dx=_______.

正确答案

解析

(x2+sin x)dx=x3-cos x=.

知识点

任意角的概念
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为______.

正确答案

2x-y+1=0

解析

由y=x3-x+3得y'=3x2-1,∴切线的斜率k=y'|x=1=3×12-1=2,∴切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.

知识点

定义法求轨迹方程
1
题型:填空题
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分值: 5分

12.设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=______.

正确答案

35

解析

∵{an},{bn}均是等差数列,根据等差数列的性质a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,即a5=2a3-a1,b5=2b3-b1,∴a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2×21-7=35.

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.请从以下两题中任选一题作答。

(1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为_____.

(2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为______.

正确答案

(1)ρ=2cos θ 

(2)

解析

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知识点

由数列的前几项求通项
简答题(综合题) 本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

17.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.

正确答案

解:(1)当日需求量n≥16时,利润y=80.

当日需求量n<16时,利润y=10n-80.

所以y关于n的函数解析式为

y=(n∈N).

(2)①X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.

X的分布列为

X的数学期望为

EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.

X的方差为DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.

②答案一:

花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为

Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

Y的方差为DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.

由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.

另外,虽然EX<EY,但两者相差不大.

故花店一天应购进16枝玫瑰花.

答案二:

花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为

Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.

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知识点

随机事件的关系
1
题型:简答题
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分值: 12分

18.已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.

(1)求an;

(2)求数列{nan}的前n项和Tn.

正确答案

解:(1)由Sn=kcn-k,得an=Sn-Sn-1=kcn-kcn-1(n≥2),

由a2=4,a6=8a3,得kc(c-1)=4,kc5(c-1)=8kc2(c-1),

解得所以a1=S1=2,an=kcn-kcn-1=2n(n≥2),

于是an=2n.

(2)Tn=iai=i·2i,即

Tn=2+2·22+3·23+4·24+…+n·2n,

Tn=2Tn-Tn=-2-22-23-24-…-2n+n·2n+1=-2n+1+2+n·2n+1=(n-1)2n+1+2.

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知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
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分值: 12分

19.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.

(1)求证:BD⊥平面AED;

(2)求二面角F-BD-C的余弦值.

正确答案

(1)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,

所以∠ADC=∠BCD=120°.

又CB=CD,所以∠CDB=30°.

因此∠ADB=90°,AD⊥BD.

又AE⊥BD,且AE∩AD=A,AE,AD⊂平面AED,

所以BD⊥平面AED.

(2)解法一:由(1)知AD⊥BD,所以AC⊥BC.

又FC⊥平面ABCD,

因此CA,CB,CF两两垂直,

以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设CB=1,

则C(0,0,0),B(0,1,0),D,F(0,0,1),

因此=,=(0,-1,1).

设平面BDF的一个法向量为m=(x,y,z),

则m·=0,m·=0,

所以x=y=z,

取z=1,则m=(,1,1).

由于=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量,

则cos<m,>===,

所以二面角F-BD-C的余弦值为.

解法二:

取BD的中点G,连接CG,FG,

由于CB=CD,因此CG⊥BD.

又FC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

所以FC⊥BD.

由于FC∩CG=C,FC,CG⊂平面FCG,

所以BD⊥平面FCG.故BD⊥FG.

所以∠FGC为二面角F-BD-C的平面角.

在等腰三角形BCD中,由于∠BCD=120°,

因此CG=CB.

又CB=CF,

所以GF==CG,

故cos∠FGC=,

因此二面角F-BD-C的余弦值为.

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知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
|
分值: 13分

20.已知椭圆+=1(a>b>0),点P在椭圆上.

(1)求椭圆的离心率;

(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.

正确答案

(1)解:因为点P在椭圆上,故+=1,可得=.

于是e2==1-=,所以椭圆的离心率e=.

(2)解:设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx,设点Q的坐标为(x0,y0).

由条件得消去y0并整理得

=.①

由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2=a2,整理得(1+k2)+2ax0=0,而x0≠0,

故x0=,代入①,整理得(1+k2)2=4k2·+4.

由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.

所以直线OQ的斜率k=±.

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椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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分值: 14分

21.已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)ex-1-f(0)x+x2.

(1)求f(x)的解析式及单调区间;

(2)若f(x)≥x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.

正确答案

解:(1)由已知得f'(x)=f'(1)ex-1-f(0)+x.

所以f'(1)=f'(1)-f(0)+1,即f(0)=1.

又f(0)=f'(1)e-1,所以f'(1)=e.

从而f(x)=ex-x+x2.

由于f'(x)=ex-1+x,

故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;

当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.

从而,f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.

(2)由已知条件得ex-(a+1)x≥b.①

(ⅰ)若a+1<0,则对任意常数b,当x<0,且x<时,可得ex-(a+1)x<b,因此①式不成立.

(ⅱ)若a+1=0,则(a+1)b=0.

(ⅲ)若a+1>0,设g(x)=ex-(a+1)x,

则g'(x)=ex-(a+1).

当x∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x)<0;

当x∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0.

从而g(x)在(-∞,ln(a+1))单调递减,在(ln(a+1),+∞)单调递增.

故g(x)有最小值g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1).

所以f(x)≥x2+ax+b等价于

b≤a+1-(a+1)ln(a+1).②

因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).

设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),

则h'(a)=(a+1)(1-2ln(a+1)).

所以h(a)在(-1,-1)单调递增,

在(-1,+∞)单调递减,

故h(a)在a=-1处取得最大值.

从而h(a)≤,即(a+1)b≤.

当a=-1,b=时,②式成立,

故f(x)≥x2+ax+b.

综合得,(a+1)b的最大值为.

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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分值: 12分

16.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+asin C-b-c=0.

(1)求A;

(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.

正确答案

解:(1)由acos C+asin C-b-c=0及正弦定理得

sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0.

因为B=π-A-C,

所以sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.

由于sin C≠0,所以sin=.

又0<A<π,故A=.

(2)△ABC的面积S=bcsin A=,故bc=4.

而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.

解得b=c=2.

解析

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知识点

正弦定理余弦定理

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