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2.设,其中
是实数,则
正确答案
解析
由得
解之得
考查方向
解题思路
利用复数的运算、两复数相等的条件,求出、
,
即
若 则
易错点
复数的运算。
3.等比数列的前
项和为
,若
,则公比
正确答案
解析
即
解题思路
1.由等比数列的性质得出,根据等比数列求和公示求出
。
4.已知双曲线(
)的渐近线方程为
, 则双曲线
的离心率为
正确答案
解析
因为双曲线的渐近线方程为
,根据题意可知双曲线
的渐近线方程为
,
所以,即
,
考查方向
解题思路
1.由双曲线的渐近线方程公式求出和
;2.根据焦距定义求出焦距,进而求出离心率。
易错点
双曲线的渐近线方程。
7.已知函数
,则函数
的图象是
正确答案
解析
由反比例函数和二次函数的图像,故选D。
依题为R上减函数,且
,则
,又
在
上为增函数,且
,则
,故
。
考查方向
解题思路
由已知函数的解析式根据题中的变换,会求出新的函数的解析式,然后根据解析式判断函数的图形。
1.利用指数函数的单调性,当
时是减函数,当
时,此函数是增函数,从而比较出b和c的大小关系。2.利用幂函数
的单调性,当
时,此函数是增函数,从而比较出
与c的大小关系。
易错点
易把解析式写错。
xk.Com]8.设,
,
,则
的大小关系为
A
B.
C.
D.
指数函数与幂函数易混。
9.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为
正确答案
解析
由程序框图知:算法的功能是求和,可得,
不满足条件,执行循环体,
,
不满足条件,执行循环体,
不满足条件,执行循环体,
不满足条件,执行循环体,
满足条件,结束循环,输出
的值为9
考查方向
解题思路
本题先由程序框图知:算法的功能是求和,根据的条件,求出最后结果.
易错点
结束循环的条件的确定.
11.如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是
正确答案
解析
由三视图可知,该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其外接球相当于以俯视图为底面,和三棱锥等高的三棱柱的外接球。设底面为,
,
,由三视图可知
,在
中,由正弦定理得
,其中
是
的外接圆半径,则
,设球心到底面的距离为
,根据正视图可知
,用
表示三棱锥的外接球半径,则
,所以外接球的表面积是
。
考查方向
解题思路
根据三视图画出直观图,把已知的条件在图中标出,先找出底面三角形的外接圆的圆心,求出,
为底面三角形外接圆的半径,然后过圆心到底面的垂线,三棱锥的高的一半为
,则球的半径
,然后利用
求出球的表面积。
易错点
不能正确的把三视图转化成直观图。
1.已知集合,
,则
正确答案
解析
由可得
,即集合A={
},由
可得
,即集合B={
},根据交集定义可得
={
}。
考查方向
解题思路
1.利用绝对值不等式的解法化简集合A,利用一元二次方程不等式的解法化简集合B。 2.根据交集定义求出即可。故选B。
易错点
绝对值不等式的运算。
5.若将函数的图象向左平移
个单位,所得图象关于
轴对称,则
的最小正值是
正确答案
解析
考查方向
解题思路
首先把函数化成的形式,然后根据左加右减进行平移,找出所得函数关于
轴对称的条件。
易错点
当函数图像向左平移个单位时易写成
。
6.GZ新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C三期播出, A期播出两间学校, B期,C期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有
正确答案
解析
先从8间学校中选出4间有(种),然后在选出的4间学校中选出2间在A期播出的有
(种),最后把剩下的2间学校分配到B期、C期播出有
(种),由分步计数原理可得
种。
考查方向
解题思路
先从8间候选学校中选出4间有多少种选法,选出之后从4间中选2间在A 期播出,剩下两间分配到B期和C期。
易错点
排列与组合的概念易混。
10.已知抛物线的焦点为
,准线为
,
是
上一点,直线
与曲线
相交于
,
两点,若
,则
正确答案
解析
抛物线的焦点
,准线
的方程是
,设点
,由点P在直线
上可知
,所以
,
,因为
,所以
,解得
,又直线
经过点
,所以直线
的方程是
,即
,代入到抛物线方程得
,所以
,由抛物线的定义可知
,所以
。
考查方向
解题思路
由抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,设出M,N的坐标,利用找出等量关系,列出方程组,求M的坐标,
经过焦点F,从而求出
的直线方程,代入到抛物线方程里面,最后根据抛物线的定义求
的值。
易错点
不能正确利用抛物线的定义。
12.若函数在
上单调递增,则实数
的取值范围是
正确答案
解析
在
上单调递增
在
上恒成立
在
上恒成立
在
上恒成立
在
上恒成立
时,
设
在
上恒成立
在
上单调递减
考查方向
解题思路
根据函数的单调性可知其导函数在
上恒成立,然后由不等式分离参数,即
设
求出
的最小值,从而求出
的范围。
易错点
等号是否能取到问题。
14.按照国家规定, 某种大米质量(单位:kg)必须服从正态分布, 根据检测结果可知
,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利, 若该公司有
名职工, 则分发到的大米质量在
kg以下的职
工数大约为 .
正确答案
解析
由正态分布且
可得
所以分发到质量在kg以下的职
工数大约为
,故答案为40。
考查方向
解题思路
根据正态分布求出的概率,根据公司的总数求出分发到大米质量在
kg以下的职
工人数。
易错点
易把写成
。
13.已知菱形的边长为
,
, 则
________.
正确答案
解析
考查方向
解题思路
运用转化思想把未知向量转化为已知向量进行运算。
易错点
向量的夹角问题。
15.已知满足约束条件
若
的最大值为4,则
.
正确答案
解析
根据约束条件画出可行域,如图所示由
可得
,又
该直线经过A点时截距最小,而
最大
解之得
所以
故而
考查方向
解题思路
根据约束条件画出可行域,把化成
的形式,找出在A 处取得最大值,求出A的坐标,代入
中,从而求
的值。
易错点
找错在哪个点时取到最大值。
16.在数列中,
,
,对所有正整数
均有
,则
.
正确答案
解析
由可得
从而求出
分别为2,8,6,-2,-8,-6,2,8,6,
由此看出此数列是以6为周期的数列,而每个周期的和为02017=336
6+1所以
=2
考查方向
解题思路
利用递推公式找出数列的规律从而进行求和。
易错点
周期找错。
已知△的内角
,
,
的对边分别为
,
,
,若
,
.
17.求;
18.若, 求
.
正确答案
解析
因为,
,
由余弦定理得,即
. ……………………2分
所以. …………………………………………4分
由于, 所以
. …………………………………………6分
考查方向
解题思路
第一问:根据余弦定理求出。
易错点
不写的范围,由
直接写
正确答案
解析
法1: 由及
, 得
, ……………………7分
即, ……………………
…………………………………………8分
解得或
(舍去). …………………………………………9分[来源:学+科+网Z+X+X+K]
由正弦定理得, …………………………………………10分
得. ………………………………………12分
法2: 由及正弦定理得
, …………………………………………7分
得. …………………………………………8分
由于
, 则
,
则. …………………………………………9分
由于, 则
. ………………………………………10分
所以
………………………………………11分
. ……………………………………………………………12分
考查方向
解题思路
第二问:法1:由及
求出
或
(舍去)
再由正弦定理求出。法2:直接由正弦定理求出
然后求出
,再由三角函数的关系求出
。
易错点
不写B的范围,直接求出。
某产品按行业生产标准分成个等级,等级系数
依次为
…
,其中
为标准
,
为标准
. 已知甲厂执行标准
生产该产品,产品的零售价为
元/件; 乙厂执行标准
生产该产品,产品的零售价为
元/件,假定甲, 乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示:
且
的数学期望
, 求
的值;
注: ①产品的“性价比”;②“性价比”大的产品更具可购买性.
19.已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示:
且的数学期望
, 求
的值;
20.为分析乙厂产品的等级系数,从该厂生产的产品中随机抽取
件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数的数学期望;
21.在(19),(20)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可
购买性?说明理由.
注: ①产品的“性价比”;②“性价比”大的产品更具可购买性.
正确答案
解析
解:, 即
, ① ……………………1分
又由的概率分布列得
, ② ……………………2分
由①得
…………………………………………………………4分
考查方向
解题思路
1.由期望的算法找出与
的等量关系,再由所有概率之和等于1找到一个等量关系,从而求出
与
。
易错点
只用的数学期望
一个条件,没有用
这个条件。
正确答案
解析
由已知得,样本的频率分布表如下:
………………………………………………………………5分
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数的概率分布列如下:
………………………………………………………………6分
所以. ……………7分
即乙厂产品的等级系数的数学期望为. ……………………………………………8分
考查方向
解题思路
根据样本列出频率分布表格,然后转化为概率分布表格,最后由期望算法求出。
易错点
没有把频率分布表格转化为概率分布表格。
正确答案
乙厂的产品更具可购买性.
解析
乙厂的产品更具可购买性,理由如下:
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于, 价格为
元/件,所以其性价比为
,
………………………………………………………………………………9分
因为乙厂产品的等级系数的期望等于, 价格为
元/件,所以其性价比为
,
……………………………………………………………………………10分
据此,乙厂的产品更具可购买性. ……………………………………………12分
考查方向
解题思路
根据期望和价格求出性价比那个性价比大更具可购买性。
易错点
性价比是没有认准。
已知动圆与圆
相切,且与圆
相内切,记圆心
的轨迹为曲线
.
24.求曲线的方程;
25.设为曲线
上的一个不在
轴上的动点,
为坐标原点,过点
作
的平行
线交曲线于
两个不同的点, 求△
面积的最大值.
正确答案
曲线的方程为
.
解析
设圆的半径为
, 圆心
的坐标为
,
由于动圆与圆
相切,且与圆
相内切,
所以动圆与圆
只能内切. …………………………………1分
所以 …………………………………2分
则. …………………………………3分
所以圆心的轨迹是以点
为焦点的椭圆,
且, 则
.
所以曲线的方程为
. …………………………………4分
考查方向
解题思路
根据动圆与两定圆相切,求出,从而求出
,
,
,然后求出椭圆方程。
易错点
椭圆的轨迹方程.
正确答案
曲线的方程为
.
解析
设,直线
的方程为
,
由 可得
,
则. …………………………………5分
所以 …………………………………6分
…………………………………7分
因为,所以△
的面积等于△
的面积. …………………8分
点到直线
的距离
. ……………………………9分
所以△的面积
.
…………………………………10分
令,则
,
.
设,则
.
因为, 所以
所以在
上单调递增.[来源:学科网]
所以当时,
取得最小值, 其值为
. …………………………………11分
所以△的面积的最大值为
. …………………………………12分
说明: △的面积
.
考查方向
解题思路
利用韦达定理找出,
的关系,然后求出
,用m表示点
到
的距离
,
,把
表示成关于m的函数,求出
的最大值。
易错点
求面积.
如图, 平面
,
平面
, △
是等边三角形,
,
是
的中点.
22.求证:;
23.若直线与平面
所成角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
正确答案
解析
因为△是等边三角形,
是
的中点,
所以. …………………………………1分
因为平面
,
平面
,
所以. …………………………………2分
因为,
所以平面
. ……………………3分
因为平面
,
所以. ……………………………4分
考查方向
解题思路
由线线垂直证明线面垂直,再由线面垂直证明线线垂直。
易错点
线线垂直推出面面垂直。
正确答案
二面角的余弦值为
.
解析
法1: 以点为坐标原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,过
且
与直线平行的直线为
轴,建立空间直角坐标系
.
因为平面
,
所以为直线
与平面
所成角. ……………………………………5分
由题意得, 即
,…………………………………6分
从而.
不妨设, 又
, 则
,
.…………………………7分
故,
,
,
. ……………………………8分
于是,
,
,
,
设平面与平面
的法向量分别为
,
由 得
令
,得
,
所以. …………………………………9分
由 得
令
,得
,
.
所以. …………………………………10分
所以. …………………………………11分
所以二面角的余弦值为
. …………………………………12分
法2: 因为平面
,
所以为直线
与平面
所成角. …………………………………5分
由题意得, 即
,…………………………………6分
从而.
不妨设, 又
,
则,
,
. …………………………………7分
由于
平面
,
平面
, 则
∥
.
取的中点
, 连接
, 则
.
在Rt△中,
,
在Rt△中,
,
在Rt△中,
,
取的中点
, 连接
,
,
,
则. …………………………………8分
所以为二面角
的平面角.
…………………………………9分
在Rt△中,
,
在Rt△
中,
,
在Rt△中,
,
因为, …………………………………10分
所以. …………………………………11分
所以二面角的余弦值为
. …………………………………12分
考查方向
解题思路
建立空间直角坐标系构造空间向量,利用公式求最后结果。
易错点
空间直角坐标系的建立。
设函数. 若曲线
在点
处的切线方程为
(
为自然对数的底数).
26.求函数的单调区间;
27.若,试比较
与
的大小,并予以证明.
正确答案
函数的单调递减区间是
, 单调递增区间是
解析
函数的定义域为
.
. ……………………………………………
…………………1分
依题意得,即
……………………3分
所以. ………………………………………………………………4分
所以,
.
当时,
; 当
时,
.
所以函数的单调递减区间是
, 单调递增区间是
.………………6分
考查方向
解题思路
由切线方程求出斜率和切点,利用和
找出关于
、
的等量关系,求
、
。然后对
求导判断单调性。
易错点
函数求导。
正确答案
当时,
解析
当时,
.
等价于
,
也等价于. ………………………………………7分
不妨设,
设(
),
则. …………………………………………………………8分
当时,
,所以函数
在
上为增函数,
即, ……………………9分
故当时,
(当且仅当
时取等
号).
令,则
, …………………………………………10分
即(当且仅当
时取等号),……………11分
综上所述,当时,
(当且仅当
时取等号).
………………………………………………………………12分
考查方向
解题思路
根据单调性比较与
的大小。
易错点
忘记写当且仅当时取等号和当且仅当
时取等号这样的条件。
选修4-5:不等式选讲
已知,不等式
的解集是
.
30.求的值;
31.若存在实数解,求实数
的取值范围.
正确答案
解析
由, 得
,即
. ……………………1分
当时,
. …
………………………………………………………2分
因为不等式的解集是
所以 解得
…………………………………………………………3分
当时,
. …………………………………………………………4分
因为不等式的解集是
所以 无解. …………………………………………………………5分
所以
考查方向
解题思路
本题先对进行去绝对值,
和
是同一个不等式,从而得到 所以
解得
易错点
同一个不等式对应相等。
正确答案
实数的取值范围是
.
解析
因为………………7分
所以要使存在实数解,只需
. ………………8分
解得或
. ………………………………………………………9分
所以实数的取值范围是
. …………………………10分
考查方向
解题思路
第二问利用不等式的性质进行放缩。
易错点
对a进行分类讨论。
选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为
为参数
, 曲线
的极坐标方程为
.
28.求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
29.设直线与曲线C相交于
两点, 当
变化时, 求
的最小值.
正确答案
曲线C的直角坐标方程为
解析
由消去
得
, ……………………1分
所以直线的普通方程为
. ……………………2分
由, 得
, ……………………3分
把代入上式, 得
,
所以曲线C的直角坐标方程为. …………………………………………5分
考查方向
解题思路
先把参数方程消参变为
根据代入
可得到普通方程。
易错点
极坐标方程与普通方程的互化
正确答案
的最小值为4.
解析
将直线l的参数方程代入, 得
, ………………6分
设A、B两点对应的参数分别为,
则,
, …………………………………………7分
所以 . ……9分
当时,
的最小值为4. …………………………………………10分
考查方向
解题思路
先把参数方程代入到抛物线得普通方程里面,根据参数方程参数的意义从而求出值。
易错点
参数方程参数的意义