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1.已知函数的定义域为
,
的定义域为
,则
( )
正确答案
解析
由;
考查方向
解题思路
先求出两个函数的定义域,这是关键.然后根据集合的交、并、补运算解决.
易错点
对集合的交并补运算不熟练.
3.设是公差为正数的等差数列,若
,
,则
( )
正确答案
解析
是公差为正数的等差数列,因为
,
,所以
,所以
,
,故
考查方向
解题思路
先由等差数列的性质得出,再由
,求得公差
即可.
易错点
公差是正数,所以,不符合题意.
4.若是两条不同的直线,
是三个不同的平面,则下列为真命题的是( )
正确答案
解析
若,则
或
,故A不正确;若
,则
或
相交,故B不正确;若
,则
或
,故D不正确.故选C.
考查方向
解题思路
通过空间直线与平面的位置关系,逐一进行验证.
易错点
无
6.函数的图象大致为( )
正确答案
解析
当时,
,故排除C,D.当
时,
,所以
,故排除B.所以A选项是正确的。
考查方向
解题思路
利用排除法,即可得出答案.
易错点
无
7.已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是( )
正确答案
解析
解:由三视图得该几何体的直观图如图:其中矩形ABCD的边长AD=,AB=2,高PO=1,AO=OB=1,则PA=PB=
,PD=PC
,PH=2,则四棱锥的侧面S=
.
考查方向
解题思路
根据三视图得到该四棱锥的直观图,结合四棱锥的侧面积公式进行求解.
易错点
无
2.给定下列两个命题:
;
:在三角形
中,
,则
.
则下列命题中的真命题为( )
正确答案
解析
,所以
,不成立.即命题
为假命题。在三角形ABC中,若
,则
,由正弦定理得
成立,即命题
为真命题。
考查方向
解题思路
根据条件分别判断两个命题的真假,结合复合命题真假关系进行判断即可.
易错点
无
5.设条件的解集是实数集
;条件
,则条件
是条件
成立的( )
正确答案
解析
因为条件的解集是实数集
,所以当
时,显然满足条件;当
时,
,即
,所以条件
是条件
成立的充要条件.
考查方向
解题思路
求出条件的等价条件,根据充分必要条件的定义判断即可.
易错点
容易丢掉时,也满足条件。
8.函数在
处取得最小值,则( )
正确答案
解析
因为函数在
处取得最小值,所以函数
的图象关于
对称;因此将
的图象向左平移
,则所得函数
的图象关于
轴对称,即函数
是偶函数。
故本题正确答案为B。
考查方向
解题思路
通过转化得知函数函数的图象关于
对称,然后利用函数的平移进行解答.
易错点
本题中,容易搞混起始函数和目标函数,或将“左负右正”的思想带进来,导致错选A
9.在中,
,
,
为斜边
的中点,
为斜边
上一点,且
,则
的值为( )
正确答案
解析
以C 为原点,CA为轴建立平面直角坐标系,则
.所以直线AB的方程为
.不妨设
,则有
,可得
.所以
的值为18
考查方向
解题思路
通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程,设出N的坐标,即可根据求得N的坐标.
易错点
无
10.设,则
,
,
的大小关系是( )
正确答案
解析
,
所以.
,又因为
所以.
考查方向
解题思路
要判断大小关系,可以令,然后求导,判断
的单调性,进而判断所给数的大小关系.
易错点
构造函数.
11.设是双曲线
的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点
,使
(
为坐标原点)且
,则
的值为( )
正确答案
解析
由双曲线,得
,所以
,又因为
,
所以
是以
为直角的直角三角形.
是双曲线右支上一点
,然后由勾股定理解得
,故
考查方向
解题思路
由已知中可得
,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得
是以
为直角的直角三角形,进而根据
是双曲线右支上的点,及双曲线的性质结合勾股定理构造方程可得
,进而求出
的值.
易错点
无
12.已知,又
,若满足
的
有四个,则
的取值范围为( )
正确答案
解析
的
有四个,所以
,函数
的图像如图:
当,故要使有四个解,则
一根在
上,一根在
中间,所以
,即
的取值范围为
考查方向
解题思路
作出函数的图像,根据图像可以判断在
上可有1个根,在
可有3个根.根据二次函数的性质可得
,求解即可得
的取值范围.
易错点
无
13.已知抛物线上一点
到其焦点的距离为
,则
的值为 .
正确答案
解析
抛物线的准线方程为,由抛物线的定义可知A到准线的距离
,解得
考查方向
解题思路
根据抛物线的定义得出A到准线的距离为,从而得出
的值.
14.设函数,若
,则实数
的取值范围是 .
正确答案
(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析
根据题意可得,所以
可化为
或
,分别解不等式组得
考查方向
解题思路
把不等式转化为两个不等式组,解不等式组即可.
易错点
分或
两种情况.
16.对于函数,有下列3个命题:
①任取,都有
恒成立;
②,对于一切
恒成立;
③函数在
上有3个零点;
则其中所有真命题的序号是 .
正确答案
①③
解析
①函数的图像如图所示:
的最大值为1,最小值为-1,所以任取
,都有
恒成立,正确.
②,故不正确.
③如图所示,函数在
上有3个零点
考查方向
解题思路
①作出函数的图像,利用数形结合进行判断;②利用反例判断正误;③根据函数的图像判断即可.
15.已知向量满足
,
,
与
的夹角为
,则
与
的夹角为 .
正确答案
解析
由题意可知:设
与
的夹角为
,通过运算可得
,所以
,即
与
的夹角为
.
考查方向
解题思路
根据向量数量积公式以及模的计算公式和向量的夹角公式即可求出.
易错点
无
的内角
所对的边分别为
,且
.
17.求;
18.若,
的面积为
,求
.
正确答案
A=
解析
解:由已知结合正弦定理可得sinC=sinAsinC﹣sinCcosA,
∵sinC≠0,∴1=sinA﹣cosA=2sin(A﹣
),即sin(A﹣
)=
,
又∵A∈(0,π),∴A﹣∈(﹣
,
),∴A﹣
=
, ∴A=
考查方向
解题思路
要求角,显然从入手,利用正弦定理,将角化为边,在根据三角形内角的要求可求得答案
易错点
A﹣∈(﹣
,
)的范围容易疏忽.
正确答案
b=c=1
解析
S=bcsinA,即
=
bc
,∴bc=1,①
又∵a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc﹣2bccos,
即1=(b+c)2﹣3,且b,c为正数,∴b+c=2,② 由①②两式解得b=c=1.
考查方向
解题思路
要求,需要建立两个方程,首先根据面积公式S=
bcsinA,的到一个方程;其次根据余弦定理得到另一个方程,两个方程联立即可.
易错点
无
19.对于函数,若在定义域内存在实数
满足
,则称
为“局部奇函数”.
为定义在
上的“局部奇函数”;
方程
有两个不等实根;
若“”为假命题,“
”为真命题,求
的取值范围.
正确答案
解析
若p为真,则由于为
的局部奇函数,从而
,即
在
上有解
令,则
又在
上递减,在
上递增,从而
,得
故有.
若为真,则有
,得
或
.
又由“”为假命题,“
”为真命题,则
与
一真一假
综上知的取值范围为
或
或
考查方向
解题思路
由题根据局部函数的定义求得命题对应的参数
的取值范围,根据函数与
轴有两个交点求得命题
,然后根据为
假命题,
为真命题讨论得到对应的
的取值范围.
易错点
无
在直角坐标系中,已知点
,点
在第二象限,且
是以
为直角的等腰直角三角形,点
在
三边围成的区域内(含边界).
20.若,求
;
21.设,求
的最大值.
正确答案
解析
A(1,1),B(3,3),是以
为直角的等腰直角三角形且C在第二象限,
,
, P是
的重心,
,
考查方向
解题思路
由题意可知 P是的重心,故解出点P的坐标,从而求出
.
易错点
无
正确答案
解析
(2) ,
,
,
有线性规划知的最大值为10,此时
m+2n的最大值为
考查方向
解题思路
首先设出点P的坐标,然后结合已知写出关于与
的关系式,最后运用线性规划即可求出所求的结果.表示
,利用线性规划即可求出最大值.
易错点
无
已知数列的前
项和为
,向量
,
,且
与
共线.
22.求数列的通项公式;
23.对任意,将数列
中落入区间
内的项的个数记为
,求数列
的前
项和
.
正确答案
an=9n-8(n∈N*)
解析
解 与
共线,
,
所以an=9n-8(n∈N*).
考查方向
解题思路
利用向量关系定理、递推关系即可得出答案.
易错点
无
正确答案
解析
对m∈N*,若9m<an<92m,则9m+8<9n<92m+8.
因此9m-1+1≤n≤92m-1.故得bm=92m-1-9m-1.
于是Tm=b1+b2+b3+…+bm=(9+93+…+92m-1)-(1+9+…+9m-1)==
.
考查方向
解题思路
对m∈N*,若9m<an<92m,则9m+8<9n<92m+8.可得bm=92m-1-9m-1.再利用等比数列的求和公式即可得出答案。
易错点
无
已知函数.
24.若对,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
25.记,那么当
时,是否存在区间
使得函数在区间
上的值域恰好为
?若存在,请求出区间
;若不存在,请说明理由.
正确答案
解析
f(x)=x2-2x-8,
,即
对
恒成立,
则①或②
解得①或 ②
综合得m的取值范围为
考查方向
解题思路
对于不等式在
恒成立,可以转换为二次不等式在给定区间上恒成立问题.
易错点
无
正确答案
当时,
,
当时,
,
当时,不存在区间
解析
,
,又
,∴
,∴
在
上单调递增,
,
,m,n是方程-
x2+(1-k)x=0的两根,x1=0,x2=2-2k
∴当时,
,
当时,
,
当时,不存在区间
考查方向
解题思路
利用二次函数的单调性,对分类讨论,即可得出.
易错点
无
已知函数.
26.若函数在
上是减函数,求实数
的取值范围;
27.令,是否存在实数
,当
(
是自然常数)时,函数
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
28.当时,证明:
.
正确答案
解析
解:在[1,2]上恒成立,
令h(x)=2x2+ax﹣1,有得
,得
考查方向
解题思路
先对函数进行求导,根据函数
在
上是减函数可得到其导函数在
上小于等于0应该恒成立,再结合二次函数的性质可求得
的范围.
易错点
无
正确答案
a=e2
解析
假设存在实数a,使g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值3,
①当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,(舍去),
②当时,g(x)在
上单调递减,在
上单调递增
∴,a=e2,满足条件.
③当时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,
(舍去),
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3
考查方向
解题思路
先假设存在,然后对函数进行求导,再对
的值分情况讨论函数
在
上的单调性和最小值,可知当
能够保证当x在
上有有最小值3
易错点
无
正确答案
见解析
解析
令F(x)=e2x﹣lnx,由上题知,F(x)min=3.令,
,
当0<x≤e时,ϕ'(x)≥0,φ(x)在(0,e]上单调递增∴
∴,即
.
考查方向
解题思路
令,然后再令
并求导,再由导函数来判断单调性.
易错点
如何构造函数.