理科数学 热门试卷

17．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格 （单位：元/千克）满足关系式其中3＜x＜6，a为常数。已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

（1）求a的值；

（2）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

18．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N。

（1）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；

（2）求线段MN长的最小值；

（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论。

23. 在数列{an}（n∈N*）中，已知a1＝1，a2k＝－ak，a2k－1＝（－1）k+1ak，k∈N*。记数列{an}的前n项和为Sn。

（1）求S5，S7的值；

（2）求证：对任意n∈N*，Sn≥0。

15. 如图，摩天轮的半径为50 m，点O距地面的高度为60 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处。

（1）试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高度；

（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85 m？

16．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥面ABCD，AD//BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD＝ BC。点E、F分别是棱PB、边CD的中点。

（1）求证：AB⊥面PAD；

（2）求证：EF//面PAD。

22. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE＝BB1，C1F＝CC1。

（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；

（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值。

19. 设非常数数列{an}满足，n∈N*，其中常数α，β均为非零实数，且α＋β≠0。

（1）证明：数列{an}为等差数列的充要条件是α＋2β＝0；

（2）已知α＝1，β＝， a1＝1，a2＝，求证：数列{| an＋1－an－1|} （n∈N*，n≥2）与数列（n∈N*）中没有相同数值的项。

20. 设函数f （x）的定义域为M，具有性质P：对任意x∈M，都有f （x）＋f （x＋2）≤2f （x＋1）。

（1）若M为实数集R，是否存在函数f （x）＝ax （a＞0且a≠1，x∈R） 具有性质P，并说明理由；

（2）若M为自然数集N，并满足对任意x∈M，都有f （x）∈N。 记d（x）＝f （x＋1）－f （x）.

（ⅰ） 求证：对任意x∈M，都有d（x＋1）≤d（x）且d（x）≥0；

（ⅱ） 求证：存在整数0≤c≤d（1）及无穷多个正整数n，满足d（n）＝c。