• 理科数学 南京市2013年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.已知集合A={-1,0,1, 2},B={x|x2-x≤0},则A∩B=(    )

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2.设a为实数,若复数 (1+2i)(1+ai) 是纯虚数,则a的值是(    )

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3.某工厂对一批产品进行抽样检测,根据抽样检测后的产品净重(单位:g)数据绘制的

频率分布直方图如图所示,已知产品净重的范围是区间[96,106],样本中净重在区间

[96,100)的产品个数是24,则样本中净重在区间[98,104)的产品个数是(    )

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4.如图所示的流程图的输出S的值是(    )

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5.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则两次点数之和为偶数的概率是(    )

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6.设k为实数,已知向量,且,则k的值是(    )

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7.在平面直角坐标系xOy中,若角α的始边与x轴的正半轴重合,终边在射线y=-x(x>0)上,则sin5α=(    )

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8. 已知实数x,y满足约束条件, 则z=2x+y的最小值是(    )

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10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c。已知a=2,3bsinC-5csinBcosA=0,则△ABC面积的最大值是(    )

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11.已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数。若f(1)<f(lnx),则x的取值范围是(    )

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12.若点P、Q分别在函数y=ex和函数 y=lnx的图象上,则P、Q两点间的距离的最小值是(   )

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13.已知一个数列只有21项,首项为,末项为,其中任意连续三项a,b,c满足,则此数列的第15项是(    )

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14.设a1,a2,…,an为正整数,其中至少有五个不同值。若对于任意的i,j(1≤i<j≤n),存在k,l(k≠l,且异于i与j)使得ai+aj=ak+al,则n的最小值是(    )

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9.已知双曲线(a>0,b>0) 的焦点到渐近线的距离是a,则双曲线的离心率的值是(    )

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15. 如图,摩天轮的半径为50 m,点O距地面的高度为60 m,摩天轮做匀速转动,每3 min转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最低点处。

(1)试确定在时刻t(min)时点P距离地面的高度;

(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点P距离地面超过85 m?

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16.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,AD//BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD= BC。点E、F分别是棱PB、边CD的中点。

(1)求证:AB⊥面PAD;

(2)求证:EF//面PAD。

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17.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y (单位:千克)与销售价格 (单位:元/千克)满足关系式其中3<x<6,a为常数。已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克。

(1)求a的值;

(2)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

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18.在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆C:的上、下顶点分别为A、B,点P在椭圆C上且异于点A、B,直线AP、PB与直线l:y=-2分别交于点M、N。

(1)设直线AP、PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值;

(2)求线段MN长的最小值;

(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论。

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22. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1。

(1)求异面直线AE与A1 F所成角的大小;

(2)求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值。

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23. 在数列{an}(n∈N*)中,已知a1=1,a2k=-ak,a2k-1=(-1)k+1ak,k∈N*。记数列{an}的前n项和为Sn。

(1)求S5,S7的值;

(2)求证:对任意n∈N*,Sn≥0。

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19. 设非常数数列{an}满足,n∈N*,其中常数α,β均为非零实数,且α+β≠0。

(1)证明:数列{an}为等差数列的充要条件是α+2β=0;

(2)已知α=1,β=, a1=1,a2,求证:数列{| an+1-an-1|} (n∈N*,n≥2)与数列(n∈N*)中没有相同数值的项。

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20. 设函数f (x)的定义域为M,具有性质P:对任意x∈M,都有f (x)+f (x+2)≤2f (x+1)。

(1)若M为实数集R,是否存在函数f (x)=ax (a>0且a≠1,x∈R) 具有性质P,并说明理由;

(2)若M为自然数集N,并满足对任意x∈M,都有f (x)∈N。 记d(x)=f (x+1)-f (x).

(ⅰ) 求证:对任意x∈M,都有d(x+1)≤d(x)且d(x)≥0;

(ⅱ) 求证:存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n,满足d(n)=c。

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21.【选做题】

在A、B、C、D四小题中只能选做2题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.(几何证明选讲选做题)

如图,已知AB为园O的直径,BC切园O于点B,AC交园O于点P,E为线段BC的中点,求证OP⊥PE。

B.(矩阵与变换选做题)

已知,,设曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F,求F的方程。

C.(坐标系与参数方程选做题)

在平面直角坐标系中,直线m的参数方程为(t为参数);在以O为极点、射线为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为.若直线m与曲线C交于A、B两点,求线段AB的长。

D.(不等式选做题)

设x,y均为正数,且x>y,求证:

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