15. 如图,摩天轮的半径为50 m,点O距地面的高度为60 m,摩天轮做匀速转动,每3 min转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最低点处。
(1)试确定在时刻t(min)时点P距离地面的高度;
(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点P距离地面超过85 m?
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,AD//BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD= BC。点E、F分别是棱PB、边CD的中点。
(1)求证:AB⊥面PAD;
(2)求证:EF//面PAD。
17.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y (单位:千克)与销售价格 (单位:元/千克)满足关系式
其中3<x<6,a为常数。已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克。
(1)求a的值;
(2)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
18.在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆C:的上、下顶点分别为A、B,点P在椭圆C上且异于点A、B,直线AP、PB与直线l:y=-2分别交于点M、N。
(1)设直线AP、PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值;
(2)求线段MN长的最小值;
(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论。
22. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=
CC1。
(1)求异面直线AE与A1 F所成角的大小;
(2)求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值。
23. 在数列{an}(n∈N*)中,已知a1=1,a2k=-ak,a2k-1=(-1)k+1ak,k∈N*。记数列{an}的前n项和为Sn。
(1)求S5,S7的值;
(2)求证:对任意n∈N*,Sn≥0。
19. 设非常数数列{an}满足,n∈N*,其中常数α,β均为非零实数,且α+β≠0。
(1)证明:数列{an}为等差数列的充要条件是α+2β=0;
(2)已知α=1,β=, a1=1,a2=
,求证:数列{| an+1-an-1|} (n∈N*,n≥2)与数列
(n∈N*)中没有相同数值的项。
20. 设函数f (x)的定义域为M,具有性质P:对任意x∈M,都有f (x)+f (x+2)≤2f (x+1)。
(1)若M为实数集R,是否存在函数f (x)=ax (a>0且a≠1,x∈R) 具有性质P,并说明理由;
(2)若M为自然数集N,并满足对任意x∈M,都有f (x)∈N。 记d(x)=f (x+1)-f (x).
(ⅰ) 求证:对任意x∈M,都有d(x+1)≤d(x)且d(x)≥0;
(ⅱ) 求证:存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n,满足d(n)=c。
21.【选做题】
在A、B、C、D四小题中只能选做2题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.(几何证明选讲选做题)
如图,已知AB为园O的直径,BC切园O于点B,AC交园O于点P,E为线段BC的中点,求证OP⊥PE。
B.(矩阵与变换选做题)
已知,
,设曲线
在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F,求F的方程。
C.(坐标系与参数方程选做题)
在平面直角坐标系中,直线m的参数方程为
(t为参数);在以O为极点、射线
为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为
.若直线m与曲线C交于A、B两点,求线段AB的长。
D.(不等式选做题)
设x,y均为正数,且x>y,求证:。
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