理科数学 热门试卷

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（Ⅰ）由

      且

（Ⅱ）

又

解：（I） 底面是平行四边形，且, ………1分

又平面， ……………2分

 ，面………………3分

 平面平面……………4分

（II）平面，与底面所成角为

在中，

在中，

 ，故 ，……………6分

设与相交于点，取的中点，连结，则

平面，平面

以分别为轴方向建立空间直角坐标系，则 ， ,，，…………8分

设平面的法向量

由 得 ，取 ，则

故平面的一个法向量为…………………9分

由 得 ，取 ，则

 平面的一个法向量 …………10分

………………11分

设平面与平面所成二面角为，且因为为锐角.

 ，即平面与平面所成二面角的余弦值为.…………12分

2

15

（Ⅰ）证明：由题设（），得

，即，．

又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．

（Ⅱ）解法：由（Ⅰ），

，

，（）．

将以上各式相加，得（）．

所以当时，

上式对显然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．

由可得，由得，　①整理得，解得或（舍去）．于是．

另一方面，，

．

由①可得，．

所以对任意的，是与的等差中项．

(Ⅰ)依题意得＝ ，·2a·2b＝4，又a2＝b2＋c2，由此解得a＝2，b＝.所以椭圆E的方程为 ＋＝1.

(Ⅱ)点B在以MN为直径的圆内．证明如下：

方法1：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0)．设M(x0，y0)．

∵M点在椭圆上，∴y02＝(4－x02)．　

①

又点M异于顶点A、B，∴－2<x0<2.

由P、A、M三点共线可以得P.

从而＝(x0－2，y0), ＝.

∴·＝2x0－4＋＝(x02－4＋3y02)．　

②

将①代入②，化简得·＝(2－x0)．

∵2－x0>0，∴·>0，于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内．

方法2：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则－2<x1<2，－2<x2<2，又MN的中点Q的坐标为，

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

|BQ|2－|MN|2＝＋－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]

＝(x1－2) (x2－2)＋y1y2　

③

直线AP的方程为y＝(x＋2)，直线BP的方程为y＝(x－2)，

而两直线AP与BP的交点P在直线x＝4上，

∴＝，即y2＝　

④

又点M在椭圆上，则＋＝1，即y12＝(4－x12)　

⑤

于是将④、⑤代入③，化简后可得|BQ|2－|MN|2＝(2－x1)(x2－2)<0.从而点B在以MN为直径的圆内．

解: (Ⅰ)函数的定义域为,.

依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故

,

并且 .

所以,

故的取值范围是

(Ⅱ)解:当时,.若设,则

.

于是有         

构造函数(其中),则.

所以在上单调递减,. 故的最大值是

解：(1)由

从而有

(2)设

则

故当t＝0时，|PC|取得最小值，

此时，P点的直角坐标为(3，0).