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复数(
为虚数单位)的共轭复数
等于
正确答案
已知正四面体的棱长为
,则其外接球的体积为
正确答案
现有16张不同卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一颜色,且红色卡片至多1张,不同的取法为
正确答案
函数则
正确答案
已知函数f(x)定义域为R,命题:p:f(x)为奇函数,q:,则p是q的
正确答案
已知函数则函数
的大致图象为
正确答案
某个长方体被一个平面所截,得到几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为
正确答案
选择题:本大题共有12小题,每小题5分,共60分。在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的
若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则C∪(M∪N)=
正确答案
已知满足约束条件
,则
的最小值为
正确答案
已知P为抛物线上一个动点,Q为圆
上一个动点,当点P到点
Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小时,点P的横坐标为
正确答案
已知定义在R上的奇函数的图像关于直线
对称,当
时,
,则函数
在(0,6)内的零点之和为
正确答案
已知函数和函数
在区间
上的图象交于A,B两点,则
面积是( )
正确答案
若定义域为的偶函数
满足
,且当
时,
,则方程
在
内的根的个数是________。
正确答案
10
解答题:本大题共7小题,共70分。17-21为必做题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
(本小题满分12分)
在锐角中,
(Ⅰ)求角;
(Ⅱ)若,求
的取值范围。
正确答案
(Ⅰ)由
且
(Ⅱ)
又
(本题满分12分)
如图,四棱锥中,底面
是平行四边形,且
平面
,
,
与底面
所成角为
.
(I)证明:平面平面
;
(II)求平面与平面
所成二面角(锐角)的余弦值.
正确答案
解:(I) 底面
是平行四边形,且
,
………1分
又平面
,
……………2分
,
面
………………3分
平面
平面
……………4分
(II)平面
,
与底面
所成角为
在
中,
在
中,
,故
,
……………6分
设与
相交于点
,取
的中点
,连结
,则
平面
,
平面
以分别为
轴方向建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
…………8分
设平面的法向量
由 得
,取
,则
故平面的一个法向量为
…………………9分
由 得
,取
,则
平面
的一个法向量
…………10分
………………11分
设平面与平面
所成二面角为
,且因为
为锐角.
,即平面
与平面
所成二面角的余弦值为
.…………12分
填空题:本大题共4小题,每小题5分. 共20分。请将正确答案填写在横线上。
已知向量,向量
的夹角是
,
,则
= ________。
正确答案
2
展开式中的常数项为 。
正确答案
15
一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为,得2分的概率为
,不得分的概率为
,其中
.已知投篮一次得分的期望是2,则
的最大值是________。
正确答案
(本小题满分12分)
在数列中,
,
,且
(
).
(Ⅰ)设(
),证明
是等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)若是
与
的等差中项,求
的值,并证明:对任意的
,
是
与
的等差中项.
正确答案
(Ⅰ)证明:由题设(
),得
,即
,
.
又,
,所以
是首项为1,公比为
的等比数列.
(Ⅱ)解法:由(Ⅰ),
,
,(
).
将以上各式相加,得(
).
所以当时,
上式对显然成立.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ),当时,显然
不是
与
的等差中项,故
.
由可得
,由
得
, ①整理得
,解得
或
(舍去).于是
.
另一方面,,
.
由①可得,
.
所以对任意的,
是
与
的等差中项.
(本小题满分12分)
已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设A,B分别为椭圆E的左、右顶点,P是直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N,试探究,点B是否在以MN为直径的圆内?证明你的结论.
正确答案
(Ⅰ)依题意得= ,·2a·2b=4,又a2=b2+c2,由此解得a=2,b=.所以椭圆E的方程为 +=1.
(Ⅱ)点B在以MN为直径的圆内.证明如下:
方法1:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).设M(x0,y0).
∵M点在椭圆上,∴y02=(4-x02).
①
又点M异于顶点A、B,∴-2<x0<2.
由P、A、M三点共线可以得P.
从而=(x0-2,y0), =.
∴·=2x0-4+=(x02-4+3y02).
②
将①代入②,化简得·=(2-x0).
∵2-x0>0,∴·>0,于是∠MBP为锐角,从而∠MBN为钝角,
故点B在以MN为直径的圆内.
方法2:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),
则-2<x1<2,-2<x2<2,又MN的中点Q的坐标为,
依题意,计算点B到圆心Q的距离与半径的差
|BQ|2-|MN|2=+-[(x1-x2)2+(y1-y2)2]
=(x1-2) (x2-2)+y1y2
③
直线AP的方程为y=(x+2),直线BP的方程为y=(x-2),
而两直线AP与BP的交点P在直线x=4上,
∴=,即y2=
④
又点M在椭圆上,则+=1,即y12=(4-x12)
⑤
于是将④、⑤代入③,化简后可得|BQ|2-|MN|2=(2-x1)(x2-2)<0.从而点B在以MN为直径的圆内.
(本小题满分12分)
设和
是函数
的两个极值点,其中
,
.
(Ⅰ) 求的取值范围;
(Ⅱ) 若,求
的最大值.
正确答案
解: (Ⅰ)函数的定义域为
,
.
依题意,方程有两个不等的正根
,
(其中
).故
,
并且 .
所以,
故的取值范围是
(Ⅱ)解:当时,
.若设
,则
.
于是有
构造函数(其中
),则
.
所以在
上单调递减,
. 故
的最大值是
(请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)
(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为
(Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程;
(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
正确答案
解:(1)由
从而有
(2)设
则
故当t=0时,|PC|取得最小值,
此时,P点的直角坐标为(3,0).
(请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)
(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲
若a>0,b>0,且
(Ⅰ)求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
正确答案
解: (Ⅰ)由
得ab≥2,且当a=b=时等号成立.
故,且当a=b=
时等号成立.
所以a3+b3的最小值为
(Ⅱ)由(1)知,
由于从而不存在a,b,使得2a+3b=6.