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1.
选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
若,则
正确答案
2.为虚数单位,复数
在复平面内对应的点所在象限为
正确答案
7. 两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是
正确答案
8. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
正确答案
10. 函数
的
部分图象如图所示,则
正确答案
3. 对于命题,使得
,则
是
正确答案
4. 设平面向量,若
,则
等于
正确答案
5. 已知点在幂函数
的图象上,设
,则
的大小关系为
正确答案
6. 设满足
则
正确答案
9. 公元前世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边
形和正十边形的作图,发现了黄金分割约为,
这一数值也可以表示为,若
,
则
正确答案
12. 已知函数在定义域内有
个零点,则实数
的取值范围为
正确答案
11. 若圆上至少有三个不同点到
直线:
的距离为
,则直线
的倾斜角的
取值范围是
正确答案
13. 等差数列中,
,则该数列的前
项的和
__________.
正确答案
52
14. 已知,方程
表示圆,则圆心坐标是_________
正确答案
15. 若正三棱柱的底面边长为,高为
,则此正三棱柱的外接球的体积为
正确答案
16. 已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为,则椭圆在其上一点
处的切线方程为
,试运用该性质解决以下问题:
椭圆,点
为
在第一象限中的任意一点,过
作
的切线
,
分别与
轴和
轴的正半轴交于
两点,则
面积的最小值为__________.
正确答案
18. (本小题满分12分)
已知数列满足
,
成等比数列,
是公差不为
的等差数列.
(1)求数列
的通项公式
(2)求数列的前
项的和
正确答案
18.设等差数列的公差为
,
则,
即,
又成等比数列,
整理的:,又
(Ⅱ)
=
+
+
=
+
=
==
19. (本小题满分12分)
如图在棱锥中,
为矩形,
面
,
,
与面
成
角,
与面
成
角.
(1)在上是否存在一点
,使
面
,若
存在确定点位置,若不存在,请说明理由;
(2)当为
中点时,求二面角
的余弦值.
正确答案
19.(Ⅰ)法一:要证明PC⊥面ADE,易知AD⊥面PDC,即得AD⊥PC,故只需
即可,所以由
,即存在点E为PC中点 …6分
法二:建立如图所示的空间直角坐标系D-XYZ,
由题意知PD=CD=1,
,设
,
,
由,得
,
即存在点E为PC中点。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
,
,
,
,
设面ADE的法向量为,面PAE的法向量为
由的法向量为得,
得
同理求得 所以
故所求二面角P-AE-D的余弦值为.
20. (本小题满分12分)
已知两点分别在
轴和
轴上运动,且
,若动点
满足
.
(1)求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程;
(2)一条纵截距为2的直线与曲线C交于P,Q两点,若以PQ直径的圆恰过原点,求出直线方程.
正确答案
(Ⅰ) 因为
即
所以
所以
又因为,所以
即:,即
所以椭圆的标准方程为…………………………4分
(Ⅱ) 直线斜率必存在,且纵截距为
,设直线为
联立直线和椭圆方程
得:
由,得
设
以直径的圆恰过原点
所以,
即
也即
即
将(1)式代入,得
即
得,满足(*)式,所以
所以直线
17. (本小题满分12分)
在所对的边分别为
且
,
(1)求角的大小;
(2)若,
,求
及
的面积.
正确答案
17,
,
由正弦定理可得,
又,
,
,
,
, 所以
,故
.
(Ⅱ),
,由余弦定理可得:
,即
解得或
(舍去),故
.
所以.
21.(本小题满分12分)
已知函数,其中
为常数,
为自然对数的底数.
(1)若在区间
上的最大值为
,求
的值;
(2)当时,判断方程
是否有实根?若无实根请说明理由,若有实根请给出根的个数.
正确答案
(Ⅰ),
,
①当时,
≥0,从而
在
上单调递增,∴
舍;
②当时,
在
上递增,在
上递减,
,令
,得
(Ⅱ)当时,
,
当0>0;当x>1时。
<0,∴
是
在定义域
上唯一的极(大)值点,则
∴||≥1,又令
,
,
,
∴方程无解.
23.(本小题满分10分)选修4—5;不等式选讲
已知函数
(1)当时,求函数
的定义域;
(2)若关于的不等式
的解集是R,求m的取值范围.
正确答案
(1)由已知得当时,
不等式等价于以下三个不等式的并集
或
或
解得定义域为
.
解(2)不等式即
即
∵恒有
不等式的解集为
∴解得
的取值范围为
.
22.(本小题满分10分)选修4-4:极坐标与参数方程
在极坐标系中,已直曲线C,将曲线C上的点向左平移一个单位,然后纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到曲线C1,又已知直线
,且直线
与C1交于A、B两点,
(1)求曲线C1的直角坐标方程,并说明它是什么曲线;
(2)设定点, 求
的值;
正确答案
(1)曲线的直角坐标方程为
,即
∴曲线
的直角坐标方程为
∴曲线
是焦点
,
长轴长为4的椭圆.
(2)将直线的参数方程代入曲线
的方程
中得
,
设对应的参数为
、
∴
,
∴.