理科数学西安市2017年高三第一次模拟考试

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

2．已知集合，，则（）

正确答案

解析

=，所以选A.

考查方向

本题考查了一元二次不等式的求解,集合的基本运算.基础题.

解题思路

先将集合B求出，再取A,B的交集.

易错点

一元二次不等式求解的口诀“大于取两边,小于取中间”.

题型：单选题

分值: 5分

3．某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（）

正确答案

解析

由三视图可得:该空间几何体为:半球挖去一个圆锥后剩余的部分,其体积=.选C.

考查方向

本题考查了三视图、空间几何体的体积，还原出空间几何体是关键.

解题思路

由三视图还原出空间几何体,再根据球和圆锥的体积公式即可求出结果.

易错点

由三视图想象出原空间几何体的形状;表面积、体积公式.

题型：单选题

分值: 5分

10．若点P为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，I为三角形的内心，成立，则的值为（）

正确答案

解析

令的内切圆半径为r，由双曲线的定义得，而；而，，=cr；由题意得，即=+，解得；而=，即=，解得=.选B.

考查方向

本题考查了双曲线的定义与几何性质，三角形的内切圆.

解题思路

将的内切圆半径设为r，由题意得，；由得；再由=求得.

易错点

三角形的“四心”：1．重心:三边中线的交点；2．垂心:三边高线的交点；3．内心：三角角平分线的交点；4．外心:三边中垂线的交点.

题型：单选题

分值: 5分

1．已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）

正确答案

解析

在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得.即实数m的取值范围是.选B.

考查方向

本题考查了复数的几何意义:复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b) (a,b∈R)一一对应；基础题.

解题思路

先将复数用坐标表示出来,其在第四象限,即可求得m的取值范围.

易错点

要区分四个象限内点的纵横坐标的正负号.

题型：单选题

分值: 5分

4．已知,则（）

C．

正确答案

解析

因为，所以.选A.

考查方向

本题考查了诱导公式、二倍角公式，熟记三角恒等变换.

解题思路

先由诱导公式求得的值,再经诱导公式、二倍角公式求出结果.

易错点

诱导公式易记混、二倍角公式易记错.

题型：单选题

分值: 5分

5．圆与直线相交所成圆心角为，则a=（）

正确答案

解析

化为标准方程:,其圆心、半径;而圆与直线相交所成圆心角为，所以,即；由圆心到直线的距离公式可得，解得.选A.

考查方向

本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，直角三角形中的边角关系.难度中等.

解题思路

把圆化为标准方程，求出圆心、半径，由，求得弦心距及 a的值.

易错点

点到直线的距离公式:.

题型：单选题

分值: 5分

6．设是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列命题中正确的有（）

①若，则； ②若，则；

③若，则； ④若则.

A①③

B①②

C③④

D②③

正确答案

解析

①:若，则或,即①错误；②:若，则,即②正确；③:若，则,即③正确；④:若则,即④错误；所以正确的命题有②③.选D.

考查方向

本题考查了空间中点线面之间的位置关系.基础题.

解题思路

逐个验证，一一排除.

易错点

空间想象力不强，易将点线面之间的位置关系记混.

题型：单选题

分值: 5分

7．的展开式常数项为a，则函数与x轴围成的图形面积为( )

B15

C20

D30

正确答案

解析

的展开式的通项为，所以的常数项为=a=15；即函数，令=0，解得；所以函数与x轴围成图形的面积===20.选C.

考查方向

本题考查了二项式定理、定积分在求面积中的应用.解题的关键:利用二项式定理求出常数项m；定积分与二项式定理相结合，题型新颖，难度中等.

解题思路

先由二项式定理的通项公式求得m,再由定积分的几何意义求得对应图像的面积.

易错点

二项式定理的通项公式:；定积分的几何意义.

题型：单选题

分值: 5分

8．设函数的最小正周期为，且，则正确的选项是（）

A在上单调递减

B在上单调递减

C在上单调递增

D在上单调递增

正确答案

解析

=；其最小正周期为，即，解得，即；而，，所以，即；所以在上先减后增,排除A,D；在上单调递减，B正确.选B.

考查方向

本题考查了三角函数的图像与性质，三角恒等变换；考查了计算能力与细心程度.

解题思路

利用和角公式对三角函数进行化简，利用周期公式求得，由函数的奇偶性求得，进而求得函数的解析式，最后由三角函数的性质得到正确答案.

易错点

三角恒等变换，三角函数的图像与性质.

题型：单选题

分值: 5分

9．设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最大值为　(　　)

C18

D40

正确答案

解析

画出可行域，如图阴影部分所示，当过点A(0,3)时, 目标函数z取得最大值=18.选C.

考查方向

本题考查了简单的线性规划问题，结合目标函数的几何意义，采用数形结合的思想是解决此类问题的关键.基础题.

解题思路

画出可行域，利用目标函数的几何意义，数形结合确定z的最大值.

易错点

可行域画错.

题型：单选题

分值: 5分

11．小张和小王两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙.甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足的关系式为（　）

正确答案

解析

要将个盘子从甲柱全部移到乙柱上，只需要将上面n-1个盘子转移到丙柱上，要转移次；再将最大的那个盘子转移到乙柱上，要转移1次；最后将丙柱上的n-1个盘子转移到乙柱上，要转移次；即，求出；所以和满足的关系式为.选D.

考查方向

本题考查了归纳推理、新定义问题.

解题思路

将个盘子从甲柱全部移到乙柱上，只需要将上面n-1个盘子转移到丙柱上，要转移次；再将最大的那个盘子转移到乙柱上，要转移1次；最后将丙柱上的n-1个盘子转移到乙柱上，要转移次；即，即.

易错点

读不懂题意.

题型：单选题

分值: 5分

12．若函数在区间上是单调递增函数，则使方程f(x)=1000有整数解的实数a的个数是（）

D10

正确答案

解析

由题意得，求得函数在区间上单增；而函数在区间上单增，所以，解得；所以函数在区间上恒大于0，即f(x)=1000的解只能在区间上；由得；构造函数，在区间上单增，而，所以；而，，，在区间上单增，

所以当x=11、12、13、14时，，此时=亦对应有4个.即使方程f(x)=1000有整数解的实数a的个数是4.选A.

考查方向

本题考查了导数在研究函数中的应用，函数与方程.技巧性强，难度较大.

解题思路

先求导，得到参数a的取值范围；再由函数的性质判断出方程f(x)=1000整数解的个数，即所求实数a的个数.

易错点

读不懂题意，不能体会导数与函数的关系、二分法思想.

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

14．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则．

正确答案

解析

因为，，所以,，所以==；由正弦定理得=.

考查方向

本题考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式、和角公式、正弦定理.

解题思路

由同角三角函数的基本关系、诱导公式、和角公式求得；再由正弦定理求得b.

易错点

三角形中常用的结论:.

题型：填空题

分值: 5分

16．给定定义：若（其中为整数），则叫离实数最近的整数，记作“”，即，在此基础上给出下列函数的五个命题中，真命题序号是_____________.

①当时，; ②函数定义域为，值域为;

③函数周期为1; ④函数在上是增函数;

⑤函数的图像关于直线（）对称.

正确答案

②③⑤

解析

由题意得=；当时，，；当时，，；当时，，；，画出函数的草图，如图所示；很明显，①④错误，②③⑤正确.

考查方向

本题考查了新定义问题，函数的图像与性质，体会数形结合的思想.

解题思路

画出函数的草图，结合图像可得函数的性质.

易错点

不理解题意，函数的图像画不出来.

题型：填空题

分值: 5分

13．已知平面向量，，与垂直，则．

正确答案

－1

解析

由题意得;因为与垂直，所以==0，解得.

考查方向

本题考查了平面向量的坐标运算，平面向量的数量积.

解题思路

先求得的坐标，再由与垂直得0，解得.

易错点

等价于；等价于.

题型：填空题

分值: 5分

15. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入整数的最小值是 .

正确答案

解析

起初:n=1,S=0；循环1次：S=1, n=2；循环2次：S=3, n=3；循环3次：S=7, n=4；循环4次：S=15, n=5，不满足条件，结束循环，输出的，所以输入整数的最小值是8.

考查方向

本题考查了程序框图，常考查循环结构的流程图，一般循环5次左右即可求得结果.

解题思路

模拟流程图的运行过程，逐步运行，可求得整数的最小值.

易错点

流程图中循环控制条件不理解.

简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.

17.求数列和的通项公式；

18.若，都有成立，求正整数的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，.

解析

设的公差为，则

所以，故的通项公式为（）.

设，则为等比数列.，

设的公比为，则，故.则，即

所以（）.

考查方向

本题考查了等差、等比数列通项公式的求解.

解题思路

由等差、等比数列的通项公式与性质即可求得数列和的通项公式.

易错点

计算细心认真.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

或

解析

由题意，应为数列的最大项.

由（）

当时，，，即；

当时，，即；

当时，，，即

综上所述,数列中的最大项为和.

故存在或，使，都有成立.

考查方向

本题考查了数列的性质，分类讨论思想.

解题思路

将不等式转化，再分类讨论，进行比较，求得数列中的最大项为和，即存在或.

易错点

分类讨论不充分.

题型：简答题

分值: 12分

甲、乙、丙三人参加了三个大学的自主招生面试，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：

19.至少有1人面试合格的概率;

20.签约人数的分布列和数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.

由题意知A，B，C相互独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.

至少有1人面试合格的概率是

考查方向

本题考查了互斥事件、对立事件的概率.

解题思路

先求出事件A，B，C对应的概率，再由概率的性质求得概率.

易错点

“至少”、“至多”的理解.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

的分布列:

解析

的可能取值为0，1，2，3.

＝

所以的分布列是

的期望

考查方向

本题考查了随机变量的分布列与数学期望.

解题思路

先求得的取值，求出对应各自的概率，再列出分布列，求得数学期望.

易错点

的取值与其对应的概率.

题型：简答题

分值: 12分

如图，四棱锥底面为菱形，是中点．若.

21.证明：平面；

22.求二面角的余弦值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证：连结，连接；

∵四棱锥的底面为菱形，∴为中点；

又∵是中点，∴在中，是中位线，∴；

又∵平面，而平面，∴平面.

考查方向

本题考查了线面平行的判定.

解题思路

线线平行=>线面平行；在三角形中，有中点找中位线.

易错点

中点、中位线的寻找，找线线平行.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（2）取的中点，连结、；

∵菱形，且，∴正，∴；

∵，，∴，

且等腰直角，即．∴平面，

且，∴，∴．

如图，建立空间直角坐标系：以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，则

平面上，，；设平面的法向量为，则有，即；

设平面的法向量为，

因为，则有，可取．

∴，∴ 二面角的余弦值为．

考查方向

本题考查了空间向量在立体几何中的应用，高考常考题.

解题思路

找三条相互垂直的线，建立恰当的空间直角坐标系，求出两个面的法向量，求得法向量夹角的余弦值.

易错点

空间直角坐标系的建立，法向量的求解.

题型：简答题

分值: 12分

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

23.求椭圆的方程.

24.设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连结、分别交直线于、两点．试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，故.

考查方向

本题考查了直线与圆的位置关系，椭圆的标准方程与几何性质.

解题思路

由d=r求得b，由离心率求得，可得椭圆的方程.

易错点

点到直线的距离公式:.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设；

若直线与纵轴垂直，则中有一点与重合，与题意不符，

故可设直线. 将其与椭圆方程联立，消去得：

，。

由三点共线知，，同理；

而

所以

故直线、的斜率为定值.

考查方向

本题考查了直线与椭圆的位置关系，高考必考题.

解题思路

联立方程，套用根与系数的关系，可得直线、的斜率为定值.

易错点

分情况讨论：直线斜率存在与否.

题型：简答题

分值: 10分

选修4—5：不等式选讲

已知：，．

29.求证：.

30.求证：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明：；

而，所以(当且仅当时取“=”).

考查方向

本题考查了基本不等式的推广与证明.

解题思路

套用三维的基本不等式即可证得.

易错点

三维基本不等式.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

由柯西不等式得；

由知，当且仅当时取“=”.

考查方向

本题考查了柯西不等式，不等式的证明.

解题思路

由柯西不等式证得：左边中间；由（1）知中间右边；所以左边右边，问题得证.

易错点

三维形式的柯西不等式.

题型：简答题

分值: 12分

设，函数.

25.当时，求函数的单调增区间；

26.若时，不等式恒成立，实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

函数的单调增区间为.

解析

当时，

当时，，在内单调递增；

当时，恒成立，故在内单调递增；

的单调增区间为.

考查方向

本题考查了分段函数、导数在研究函数中的应用.高考常考题.

解题思路

先去绝对值，分段求导，得的单调增区间为.

易错点

分段求导.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

①当时，，

，恒成立，在上增函数.

故当时，.

② 当时，，

（i）当,即时,在时为正数，所以在上为增函数;

故当时，，且此时.

（ii）当,即时,在时为负数,在时为正数;

所以在区间上为减函数，在上为增函数.

故当时，，且此时.

（iii）当,即时，在进为负数，所以在上为减函数;

故当时，.

所以函数的最小值为.

由条件得此时；或，此时；或，此时无解.

综上，.

考查方向

本题考查了导数在研究函数、不等式中的应用.求导、分类讨论是常用方法.

解题思路

当时，求导得在上增函数，即. 当时，求导分类讨论得.

易错点

分类讨论不充分.

题型：简答题

分值: 10分

选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

27.写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

28.直线与曲线交于两点，求.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

:,:.

解析

（Ⅰ）将参数t削去，可得的普通方程为.

，所以,即，即.

曲线的直角坐标方程为.

考查方向

本题考查了直线的参数方程，曲线的极坐标方程.

解题思路

削去参数可得直线的普通方程；将代入，求得曲线的直角坐标方程.

易错点

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解法一、曲线：是以点（0,2）为圆心，2为半径的圆；

圆心（0,2）到直线的距离；

则.

解法二、由可解得A,B两点的坐标为；

由两点间距离公式可得.

解法三、设两点所对应的参数分别为；

将代入，

化简整理可得，从而;

因此.

考查方向

本题考查了直线与圆的位置关系.

解题思路

由点到线的距离公式求得,由勾股定理得.

易错点

点到直线的距离公式:.

理科数学 热门试卷

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

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