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2.已知集合,
,则
( )
正确答案
解析
=
,所以
选A.
考查方向
解题思路
先将集合B求出,再取A,B的交集.
易错点
一元二次不等式求解的口诀“大于取两边,小于取中间”.
3.某几何体的三视图如图所示,则该三视图的体积为( )
正确答案
解析
由三视图可得:该空间几何体为:半球挖去一个圆锥后剩余的部分,其体积=
.选C.
考查方向
解题思路
由三视图还原出空间几何体,再根据球和圆锥的体积公式即可求出结果.
易错点
由三视图想象出原空间几何体的形状;表面积、体积公式.
10.若点P为双曲线右支上一点,
分别为双曲线的左右焦点,且
,I为三角形
的内心,
成立, 则
的值为( )
正确答案
解析
令的内切圆半径为r,由双曲线的定义得
,而
;而
,
,
=cr;由题意得
,即
=
+
,解得
;而
=
,即
=
,解得
=
.选B.
考查方向
解题思路
将的内切圆半径设为r,由题意得
,
;由
得
;再由
=
求得
.
易错点
三角形的“四心”:1.重心:三边中线的交点;2.垂心:三边高线的交点;3.内心:三角角平分线的交点;4.外心:三边中垂线的交点.
1.已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )
正确答案
解析
在复平面内对应的点
在第四象限,所以
,解得
.即实数m的取值范围是
.选B.
考查方向
解题思路
先将复数用坐标表示出来,其在第四象限,即可求得m的取值范围.
易错点
要区分四个象限内点的纵横坐标的正负号.
4.已知,则
( )
正确答案
解析
因为,所以
.选A.
考查方向
解题思路
先由诱导公式求得的值,再经诱导公式、二倍角公式求出结果.
易错点
诱导公式易记混、二倍角公式易记错.
5.圆与直线
相交所成圆心角为
,则a=( )
正确答案
解析
化为标准方程:
,其圆心
、半径
;而圆与直线相交所成圆心角为
,所以
,即
;由圆心到直线的距离公式可得
,解得
.选A.
考查方向
解题思路
把圆化为标准方程,求出圆心、半径,由,求得弦心距及 a的值.
易错点
点到直线的距离公式:.
6.设是两条不同的直线,
是三个不同的平面.下列命题中正确的有( )
①若,则
; ②若
,则
;
③若,则
; ④若
则
.
正确答案
解析
①:若,则
或
,即①错误;②:若
,则
,即②正确;③:若
,则
,即③正确;④:若
则
,即④错误;所以正确的命题有②③.选D.
考查方向
解题思路
逐个验证,一一排除.
易错点
空间想象力不强,易将点线面之间的位置关系记混.
7.的展开式常数项为a,则函数
与x轴围成的图形面积为( )
正确答案
解析
的展开式的通项为
,所以
的常数项为
=a=15;即函数
,令
=0,解得
;所以函数
与x轴围成图形的面积
=
=
=20.选C.
考查方向
解题思路
先由二项式定理的通项公式求得m,再由定积分的几何意义求得对应图像的面积.
易错点
二项式定理的通项公式:;定积分的几何意义.
8.设函数的最小正周期为
,且
,则正确的选项是( )
正确答案
解析
=
;其最小正周期为
,即
,解得
,即
;而
,
,所以
,即
;所以
在
上先减后增,排除A,D;
在
上单调递减,B正确.选B.
考查方向
解题思路
利用和角公式对三角函数进行化简,利用周期公式求得,由函数的奇偶性求得
,进而求得函数的解析式,最后由三角函数的性质得到正确答案.
易错点
三角恒等变换,三角函数的图像与性质.
9.设变量x,y满足约束条件,则目标函数
的最大值为 ( )
正确答案
解析
画出可行域,如图阴影部分所示,当过点A(0,3)时, 目标函数z取得最大值=18.选C.
考查方向
解题思路
画出可行域,利用目标函数的几何意义,数形结合确定z的最大值.
易错点
可行域画错.
11.小张和小王两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”;有3个柱子甲、乙、丙.甲柱上有个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图),把这
个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束,在移动过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下,设游戏结束需要移动的最少次数为
,则当
时,
和
满足的关系式为( )
正确答案
解析
要将个盘子从甲柱全部移到乙柱上,只需要将上面n-1个盘子转移到丙柱上,要转移
次;再将最大的那个盘子转移到乙柱上,要转移1次;最后将丙柱上的n-1个盘子转移到乙柱上,要转移
次;即
,求出
;所以
和
满足的关系式为
.选D.
考查方向
解题思路
将个盘子从甲柱全部移到乙柱上,只需要将上面n-1个盘子转移到丙柱上,要转移
次;再将最大的那个盘子转移到乙柱上,要转移1次;最后将丙柱上的n-1个盘子转移到乙柱上,要转移
次;即
,即
.
易错点
读不懂题意.
12.若函数在区间
上是单调递增函数,则使方程f(x)=1000有整数解的实数a的个数是( )
正确答案
解析
由题意得,求得函数
在区间
上单增;而函数
在区间
上单增,所以
,解得
;所以函数
在区间
上恒大于0,即f(x)=1000的解只能在区间
上;由
得
;构造函数
,
在区间
上单增,而
,所以
;而
,
,
,
在区间
上单增,
所以当x=11、12、13、14时,,此时
=
亦对应有4个.即使方程f(x)=1000有整数解的实数a的个数是4.选A.
考查方向
解题思路
先求导,得到参数a的取值范围;再由函数的性质判断出方程f(x)=1000整数解的个数,即所求实数a的个数.
易错点
读不懂题意,不能体会导数与函数的关系、二分法思想.
14.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
,
,
,则
.
正确答案
解析
因为,
,所以
,
,所以
=
=
;由正弦定理得
=
.
考查方向
解题思路
由同角三角函数的基本关系、诱导公式、和角公式求得;再由正弦定理求得b.
易错点
三角形中常用的结论:.
16.给定定义:若(其中
为整数),则
叫离实数
最近的整数,记作“
”,即
,在此基础上给出下列函数
的五个命题中,真命题序号是_____________.
①当时,
; ②函数
定义域为
,值域为
;
③函数周期为1; ④函数
在
上是增函数;
⑤函数的图像关于直线
(
)对称.
正确答案
②③⑤
解析
由题意得=
;当
时,
,
;当
时,
,
;当
时,
,
;
,画出函数
的草图,如图所示;很明显,①④错误,②③⑤正确.
考查方向
解题思路
画出函数的草图,结合图像可得函数的性质.
易错点
不理解题意,函数的图像画不出来.
13.已知平面向量,
,
与
垂直,则
.
正确答案
-1
解析
由题意得;因为
与
垂直,所以
=
=0,解得
.
考查方向
解题思路
先求得的坐标,再由
与
垂直得
0,解得
.
易错点
等价于
;
等价于
.
15. 执行如图所示的程序框图,若输出的,则输入整数
的最小值是 .
正确答案
8
解析
起初:n=1,S=0;循环1次:S=1, n=2;循环2次:S=3, n=3;循环3次:S=7, n=4;循环4次:S=15, n=5,不满足条件,结束循环,输出的,所以输入整数
的最小值是8.
考查方向
解题思路
模拟流程图的运行过程,逐步运行,可求得整数的最小值.
易错点
流程图中循环控制条件不理解.
已知是等差数列,满足
,
,数列
满足
,
,且
是等比数列.
17.求数列和
的通项公式;
18.若,都有
成立,求正整数
的值.
正确答案
,
.
解析
设的公差为
,则
所以,故
的通项公式为
(
).
设,则
为等比数列.
,
设的公比为
,则
,故
.则
,即
所以(
).
考查方向
解题思路
由等差、等比数列的通项公式与性质即可求得数列和
的通项公式.
易错点
计算细心认真.
正确答案
或
解析
由题意,应为数列
的最大项.
由(
)
当时,
,
,即
;
当时,
,即
;
当时,
,
,即
综上所述,数列中的最大项为
和
.
故存在或
,使
,都有
成立.
考查方向
解题思路
将不等式转化,再分类讨论,进行比较,求得数列中的最大项为
和
,即存在
或
.
易错点
分类讨论不充分.
甲、乙、丙三人参加了三个大学的自主招生面试,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是
,且面试是否合格互不影响.求:
19.至少有1人面试合格的概率;
20.签约人数的分布列和数学期望.
正确答案
解析
用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.
由题意知A,B,C相互独立,且P(A)=P(B)=P(C)=.
至少有1人面试合格的概率是
考查方向
解题思路
先求出事件A,B,C对应的概率,再由概率的性质求得概率.
易错点
“至少”、“至多”的理解.
正确答案
的分布列:
解析
的可能取值为0,1,2,3.
=
=
=
=
所以的分布列是
的期望
考查方向
解题思路
先求得的取值,求出对应各自的概率,再列出分布列,求得数学期望.
易错点
的取值与其对应的概率.
如图,四棱锥底面为菱形,
是
中点.
若
.
21.证明:平面
;
22.求二面角的余弦值.
正确答案
证:连结,连接
;
∵四棱锥的底面为菱形,∴为
中点;
又∵是
中点,∴在
中,
是中位线,∴
;
又∵平面
,而
平面
,∴
平面
.
考查方向
解题思路
线线平行=>线面平行;在三角形中,有中点找中位线.
易错点
中点、中位线的寻找,找线线平行.
正确答案
解析
(2)取的中点
,连结
、
;
∵菱形,且
,∴正
,∴
;
∵,
,∴
,
且等腰直角,即
.∴
平面
,
且,∴
,∴
.
如图,建立空间直角坐标系:以点为原点,
所在的直线为
轴,
所在的直线为
轴,
所在的直线为
轴,则
平面上,
,
;设平面
的法向量为
,则有
,即
;
设平面的法向量为
,
因为,则有
,可取
.
∴,∴ 二面角
的余弦值为
.
考查方向
解题思路
找三条相互垂直的线,建立恰当的空间直角坐标系,求出两个面的法向量,求得法向量夹角的余弦值.
易错点
空间直角坐标系的建立,法向量的求解.
已知椭圆的离心率为
, 以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
23.求椭圆的方程.
24.设,过点
作与
轴不重合的直线
交椭圆于
、
两点,连结
、
分别交直线
于
、
两点.试问直线
、
的斜率之积是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
正确答案
.
解析
,故
.
考查方向
解题思路
由d=r求得b,由离心率求得,可得椭圆
的方程.
易错点
点到直线的距离公式:.
正确答案
解析
设;
若直线与纵轴垂直,则
中有一点与
重合,与题意不符,
故可设直线. 将其与椭圆方程联立,消去
得:
,
。
由三点共线知
,
,同理
;
而
所以
故直线、
的斜率为定值
.
考查方向
解题思路
联立方程,套用根与系数的关系,可得直线、
的斜率为定值
.
易错点
分情况讨论:直线斜率存在与否.
选修4—5:不等式选讲
已知:,
.
29.求证:.
30.求证:.
正确答案
证明: ;
而,所以
(当且仅当
时取“=”).
考查方向
解题思路
套用三维的基本不等式即可证得.
易错点
三维基本不等式.
正确答案
由柯西不等式得;
由知,当且仅当
时取“=”.
考查方向
解题思路
由柯西不等式证得:左边中间;由(1)知中间
右边;所以左边
右边,问题得证.
易错点
三维形式的柯西不等式.
设,函数
.
25.当时,求函数
的单调增区间;
26.若时,不等式
恒成立,实数
的取值范围.
正确答案
函数的单调增区间为
.
解析
当时,
当时,
,
在
内单调递增;
当时,
恒成立,故
在
内单调递增;
的单调增区间为
.
考查方向
解题思路
先去绝对值,分段求导,得的单调增区间为
.
易错点
分段求导.
正确答案
解析
①当时,
,
,
恒成立,
在
上增函数.
故当
时,
.
② 当时,
,
(i)当,即
时,
在
时为正数,所以
在
上为增函数;
故当时,
,且此时
.
(ii)当,即
时,
在
时为负数,在
时为正数;
所以在区间
上为减函数,在
上为增函数.
故当时,
,且此时
.
(iii)当,即
时,
在
进为负数,所以
在
上为减函数;
故当时,
.
所以函数的最小值为
.
由条件得此时
;或
,此时
;或
,此时无解.
综上,.
考查方向
解题思路
当时,求导得
在
上增函数,即
. 当
时,求导分类讨论得
.
易错点
分类讨论不充分.
选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
27.写出直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
28.直线与曲线
交于
两点,求
.
正确答案
:
,
:
.
解析
(Ⅰ)将参数t削去,可得的普通方程为
.
,所以
,即
,即
.
曲线的直角坐标方程为
.
考查方向
解题思路
削去参数可得直线的普通方程;将
代入,求得曲线
的直角坐标方程.
易错点
.
正确答案
解析
解法一、曲线:
是以点(0,2)为圆心,2为半径的圆;
圆心(0,2)到直线的距离
;
则.
解法二、由可解得A,B两点的坐标为
;
由两点间距离公式可得.
解法三、设两点所对应的参数分别为
;
将 代入
,
化简整理可得,从而
;
因此.
考查方向
解题思路
由点到线的距离公式求得,由勾股定理得
.
易错点
点到直线的距离公式:.