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2015年高考真题 理科数学 (天津卷)
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
2、填空题
9
10
11
12
13
14
3、简答题
15
16
17
18
19
20
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单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合

A

B

C

D

正确答案

A

解析

,所以，故选A.

考查方向

集合运算。

解题思路

直接计算。

易错点

粗心算错。

知识点

交集及其运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为

A

B6

C14

D18

正确答案

B

解析

试题分析：模拟法：输入；

不成立；[来源:学+科+网Z+X+X+K]

不成立

成立

输出,故选B.

考查方向

程序框图.

解题思路

直接按步骤求解。

易错点

粗心算错。

知识点

排序问题与算法的多样性
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7．已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为

A

B

C

D

正确答案

C

解析

因为函数为偶函数，所以，即，所以

所以，故选C.

考查方向

1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.

解题思路

分别求出其值，再比较大小。

易错点

计算失误。

知识点

偶函数
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2．设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为

A3

B4

C18

D40

正确答案

C

解析

画出不等式组所表示的平面区域，当直线经过点B(0，3)时Z有最大值18.

考查方向

线性规划.

解题思路

画图然后找到最值点代入计算即可。

易错点

最值点找错。

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5．如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦 分别经过点 .若 ，则线段 的长为

A

B3

C

D

正确答案

A

解析

试题分析：由相交弦定理可知，，又因为是弦的三等分点，所以，所以，故选A.

考查方向

相交弦定理.

解题思路

根据相交弦定理来解答。

易错点

定理使用不熟练。

知识点

点与圆的位置关系
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意知渐近线的方程为，由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上所以，由此可以解得，所以双曲线的方程为。

考查方向

1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.

解题思路

根据已知条件构造方程组解出即可。

易错点

不会转化已知条件。

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4．设 ，则“ ”是“ ”的

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

， ，所以 “ ”是“ ”的充分而不必要条件。

考查方向

充分条件与必要条件.

解题思路

直接按充分条件与必要条件的方法去判断。

易错点

判断失误。

知识点

充要条件的应用
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8．已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由得，

所以，

即

,所以恰有4个零点等价于方程

有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.

考查方向

1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.

解题思路

数形结合法来解答。

易错点

不知道怎么做。

知识点

函数零点的判断和求解
填空题 本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

9． 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为             .

正确答案

解析

是纯度数，所以，即.

考查方向

1.复数相关定义；2.复数运算.

解题思路

根据纯虚数构造方程即可。

易错点

计算失误。

知识点

复数代数形式的加减运算
1
题型：填空题
|
分值: 5分

10．一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为             .

正确答案

解析

由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，所以该几何体的体积.

考查方向

1.三视图；2.旋转体体积.

解题思路

还原直观图后计算其体积。

易错点

不知道直观图是个什么图形。

知识点

由三视图还原实物图
1
题型：填空题
|
分值: 5分

11.曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为              .

正确答案

解析

两曲线的交点坐标为，所以它们所围成的封闭图形的面积

.

考查方向

定积分几何意义.

解题思路

直接根据定积分去求解面积。

易错点

公式不记得。

知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型：填空题
|
分值: 5分

12.在 的展开式中，的系数为        .

正确答案

解析

 的展开式的通项为，由6-2r=2得r=2,所以，所以的系数为。

考查方向

二项式定理及二项展开式的通项.

解题思路

根据展开式再去构造方程解出r的值代入即可解出。

易错点

项数搞错。

知识点

二项式系数的和或各项系数的和问题
1
题型：填空题
|
分值: 5分

14．在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为                      .

正确答案

解析

因为，，

，，

当且仅当即时的最小值为.

考查方向

1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式.

解题思路

根据已知条件按步骤来解答。

易错点

没有想到用基本不等式来解答。

知识点

相等向量与相反向量
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为            .

正确答案

8

解析

因为，所以，

又，解方程组得，由余弦定理得

，所以.

考查方向

1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.

解题思路

根据1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.结合已知条件构造方程组解出即可。

易错点

定理不熟悉。

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算
简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 14分

已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，.

24. 求直线FM的斜率；

25. 求椭圆的方程；

26. 设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(I) ；

解析

(I) 由已知有，又由，可得，，

设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有

，解得.

考查方向

1.椭圆的标准方程和几何性质；

解题思路

(I) 由椭圆知识先求出的关系，设直线直线的方程为，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率的值；

易错点

粗心出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(II)  ；

解析

(II)由(I)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得

，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为

考查方向

直线和圆的位置关系；

解题思路

(II)由(I)设椭圆方程为，直线与椭圆方程联立，求出点的坐标，由可求出，从而可求椭圆方程.

易错点

不会转化。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(III) .

解析

(III)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得

或，

设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.

①当时，有，因此，于是，得

②当时，有，因此，于是，得

综上，直线的斜率的取值范围是

考查方向

一元二次不等式.

解题思路

(III)设出直线：，与椭圆方程联立，求得，求出的范围，即可求直线的斜率的取值范围.

易错点

不会进行分类。

1
题型：简答题
|
分值: 13分

已知函数，

15. 求最小正周期；

16. 求在区间上的最大值和最小值.、

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(I);

解析

（I）解：由已知，有

=

所以，的最小正周期T=

考查方向

1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；

解题思路

先用降幂公式化简再用辅助角公式合二为一再来解答。

易错点

辅助角公式不会用。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(II) ,.[来源:

解析

(II)解：因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，.所以，在区间上的最大值为，最小值为.

考查方向

三角函数的图象与性质.

解题思路

直接利用图像及结合单调性解出最值；。

易错点

粗心算错。

1
题型：简答题
|
分值: 13分

为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

17. 设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；

18. 设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(I) ;

解析

(I)由已知，有

所以事件发生的概率为.

考查方向

1.古典概型；2.互斥事件；

解题思路

(I)由古典概型计算公式直接计算即可；

易错点

公式记错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(II) 随机变量的分布列为

解析

(II)随机变量的所有可能取值为

所以随机变量的分布列为

所以随机变量的数学期望

考查方向

离散型随机变量的分布列与数学期望.

解题思路

(II)先写出随机变量的所有可能值，求出其相应的概率，即可求概率分布列及期望.

易错点

计算粗心。

1
题型：简答题
|
分值: 13分

如图，在四棱柱中，侧棱,,,

,且点M和N分别为的中点.

19. 求证：；

20. 求二面角的正弦值；

21. 设E为棱上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段的长

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(I)见解析；

解析

如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，

，又因为分别为和的中点，得.

(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，

由此可得，，又因为直线平面，所以平面

考查方向

1.直线和平面平行和垂直的判定与性质；

解题思路

以为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线的方向向量与平面的法向量，两个向量的乘积等于即可；

易错点

不会建坐标系去解答。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(II) ；

解析

(II)，设为平面的法向量，则

，即，不妨设，可得，

设为平面的一个法向量，则，又，得

，不妨设，可得

因此有，于是，

所以二面角的正弦值为.

考查方向

二面角、直线与平面所成的角；

解题思路

(II)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；

易错点

向量的坐标计算出现错误。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(III) .

解析

(III)依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得

，整理得，

又因为，解得，

所以线段的长为.

考查方向

空间向量的应用.

解题思路

(III) 设，代入线面角公式计算可解出的值，即可求出的长.

易错点

坐标算错。

1
题型：简答题
|
分值: 13分

已知数列满足，且

成等差数列.

22. 求q的值和的通项公式；

23. 设，求数列的前n项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(I) ;

解析

(I) 由已知，有，即，

所以，又因为，故，由，得，

当时，，

当时，，

所以的通项公式为

考查方向

1.等差中项定义；

解题思路

(I)由得 先求出，分为奇数与偶数讨论即可；

易错点

不会讨论来解答。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(II) .

解析

（II）解：由（I）得.设的前n项和为，则

 ，

，

上述两式相减，得

，

整理得，.

所以，数列的前n项和为，.

考查方向

1.等比数列及前项和公式.2.错位相减法.

解题思路

(II)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.

易错点

没有掌握求和方法。

1
题型：简答题
|
分值: 14分

已知函数，其中.

27. 讨论的单调性；

28. 设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；

29. 若关于的方程有两个正实根，求证：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.

解析

（I）解：由=，可得==，其中，且.

下面分两种情况讨论：

（1）当为奇数时.

令=0，解得，或.

当变化时，，的变化情况如下表：

-

+

-

所以，在，上单调递减，在内单调递增。（2）当为偶数时.

当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减.

所以，在上单调递增，在上单调递减.

考查方向

1.导数的运算；

解题思路

利用导数的运算、导数的几何意义解答。

易错点

不会分类讨论。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(II)见解析；

解析

（II）证明：设点的坐标为，则，.曲线在点处的切线方程为，即.令，即，则.

由于在上单调递减，故在上单调递减.又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有.

考查方向

导数的几何意义；

解题思路

利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法.

易错点

不会利用导数的几何意义来解答。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(III)见解析.

解析

（III）证明：不妨设.由（II）知.设方程的根为，可得，当时，在上单调递减.又由（II）知，可得.

类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对于任意的，.

设方程的根为，可得.因为在上单调递增，且，因此.

由此可得.

因为，所以，故.

所以，.

考查方向

利用导数研究函数性质、证明不等式.

解题思路

分类讨论思想、函数思想和划归思想，综合分析问题和解决问题的能力。

易错点

难度大做不出来。

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