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3.已知函数,则方程
的解
=____________.
正确答案
1
解析
∵∴
由反函数的性质可得方程
存在唯一解为
.
考查方向
本题主要考查了反函数的性质,考查学生分析问题的能力以及计算能力,属于容易题.
解题思路
先求出函数的反函数
的表达式,再解方程
.
易错点
求函数的反函数
的表达式的过程容易出错,而利用反函数的性质
解决本题,可以大大减少计算量,减少出错的几率.
知识点
4.某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具,该球表面用白布包裹,则至少需要白布____________平方米.
正确答案
解析
由题意知球的半径(米),代入球的表面积公式
,得
(平方米).
考查方向
本题主要考查了球的表面积公式,考查学生的基础知识掌握能力,属于容易题.
解题思路
先求出球的半径,然后直接代入球的表面积公式
计算即可,本题不需要求近似值.
易错点
错把直径当球半径代入公式计算,或者混淆球的表面积公式与球的体积公式.
知识点
7.执行如右图所示的流程图,则输出的S的值为____________.
正确答案
解析
由题意可知
又∵(
)
∴
考查方向
本题主要考查了程序框图,属于中档题,是高考的热点,常与数列的递推公式、数列的前项的和、分段函数等知识点交汇命题.
解题思路
先写出的表达式,然后用裂项求和法求
的值.
易错点
1.最终输出的的表达式中包含的项数有多少项,以及在整个循环中
有过哪些符合要求的取值;
2.用裂项求和法求的值,如何裂项需要技巧.
知识点
8.学校有两个食堂,现有3名学生前往就餐,则三个人不在同一个食堂就餐的概率是____________.
正确答案
解析
由于学校有两个食堂,不妨令它们分别为食堂A、食堂B,三名学生选择每一个食堂的概率均为,则他们同时选中A食堂的概率为:
,他们同时选中B食堂的概率也为:
,故他们在同一个食堂用餐的概率为
,故他们不在同一个食堂用餐的概率为
.
考查方向
本题考查了互斥事件以及相互独立事件的概率,考查学生分析问题的能力.
解题思路
由于学校有两个食堂,不妨令它们分别为食堂A、食堂B,则三名学生选择每一个食堂的概率均为,代入相互独立事件的概率乘法公式,即可求出他们同在食堂A用餐的概率,同理,可求出他们同在食堂B用餐的概率,然后结合互斥事件概率加法公式,即可得到三人同在一个食堂就餐的概率,从而得到三人不在同一食堂就餐的概率.
易错点
混淆互斥事件与相互独立事件.
知识点
9.展开式的二项式系数之和为
,则展开式中
的系数为____________.
正确答案
解析
由题意知∴
∴
令
,即
则
∴
展开式中
的系数为
.
考查方向
本题考查了二项式定理.
解题思路
先由二项式系数之和求,再利用通项
确定含
的项.
易错点
混淆二项式系数与系数.
知识点
10.若数的标准差为
,则数
的方差为____________.
正确答案
36
解析
∵数的标准差为
,∴数
的方差为
,∴数
的方差为
,∴数
的方差为
考查方向
本题考查了概率与统计中的方差与标准差.
解题思路
先求数的方差,再求数
的方差,从而得到
的方差.
易错点
直接利用方差与标准差的公式计算,计算量大并且容易出错,如果利用新旧两组数据方差之间的关系,可以减少错误.
知识点
1.已知矩阵,
,则
_____________.
正确答案
解析
∵∴
.
考查方向
本题主要考查了矩阵运算,考查学生基础知识的掌握能力,属于容易题.
解题思路
矩阵的加法运算只需要将两个矩阵对应位置上的元素相加即可.
易错点
容易与行列式运算混淆.
知识点
2.已知全集U=R,集合,则集合
____________.
正确答案
解析
∵∴
∴
或
即
.
考查方向
本题主要考查了集合的补集运算以及分式不等式的解法,考查学生基础知识的掌握能力,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、指数不等式、对数不等式的求解等知识点交汇命题.属于容易题,也属于易错题.
解题思路
先化简集合,将集合
中的分式不等式
转化为等价的不等式组
进行求解,然后求集合
的补集.
易错点
1.分式不等式转化为整式不等式求解时要考虑分母不为零的情况;
2.求一个集合的补集时,要注意“”的否定是“>”,“<”的否定是“
”.
知识点
5.无穷等比数列(
)的前
项的和是
,且
,则首项
的取值范围是____________.
正确答案
解析
设无穷等比数列(
)的公比为
,由题意知
且
而
∴
.
考查方向
本题主要考查了无穷等比数列各项和,考查学生的基础知识掌握能力,属于容易题.
解题思路
先确定公比的范围,注意
就是无穷等比数列的各项和
,所以可以对各项和公式变形,将
表示成的
函数
,再根据公比
的范围,可求得
的取值范围.
易错点
对前项的和的极限存在的无穷等比数列
(
)的公比
的取值范围的确定出错,容易忽略条件
.
知识点
6.已知虚数满足
,则
____________.
正确答案
解析
设虚数,则
∴
由复数相等的充要条件可得
∴
∴
.
考查方向
本题主要考查了复数运算,涉及共轭复数的概念,复数的简单运算,复数相等以及复数的模的运算,考查学生的基础知识掌握能力,属于容易题.
解题思路
用复数的代数形式设虚数,则
,将
,
代入到方程
中,利用复数相等的充要条件(实部和实部相等,虚部和虚部相等)求得
的值,然后利用复数模的公式
求得
的值.
易错点
对共轭复数的概念理解错误.
知识点
12.已知,当
时不等式
恒成立,则实数
的最大值是____________.
正确答案
解析
作出函数的图像如下:
由图可知函数在整个定义域
上单调递减.
∴当时,
不等式恒成立
在
上恒成立
在
上恒成立
在
上恒成立
在
上的最大值
∴实数的最大值为
.
考查方向
本题考查了函数的基本性质以及恒成立问题,属于中档题.恒成立问题转化为求最值问题,在近几年的各省高考题出现的频率较高.
解题思路
作出函数的图像,得到函数的单调性,利用单调性,将当
时不等式
恒成立转化为
在
上恒成立,然后转化为
在
上的最大值,从而求得符合要求的实数
的最大值.
易错点
1.利用函数的单调性,将当时不等式
恒成立转化为
在
上恒成立问题,不容易理解;函数单调递减,不等号方向要发生改变容易遗忘;2.
在
上恒成立转化为
在
上的最大值,不容易理解.
知识点
14.已知是定义在
上的奇函数,当
时,
,当
时,
,若直线
与函数
的图象恰有11个不同的公共点,则实数
的取值范围为____________.
正确答案
(,
)
解析
由题意知
∴当时,
又∵是定义在
上的奇函数,
∴可得函数如下图所示其中当
时,
当
时,
当
时,
……若直线
与函数
的图象恰有11个不同的公共点显然
,
且满足直线与函数
在
时有两个交点;
直线与函数
在
时没有公共点.
于是方程
即在
上有两不同解,
方程
即在
上无解.
∴解之得
.
考查方向
本题考查函数的性质,考查数形结合的能力,属于中档题,在近几年的各省高考题中出现的频率非常高,常以分段函数的形式出现,并与函数的奇偶性、单调性、周期性、零点、对称性等知识点结合,研究函数的性质,从而得到对应的函数图像,有时也用函数与方程的思想方法来解决问题.
解题思路
先由题目所给条件画出函数的图像,然后数形结合,用方程的思想解决问题.
易错点
对的不理解,或者不能正确画出函数的图像,从而无法正确用方程的思想来求解.
知识点
11.如图,在矩形OABC中,点E、F分别在线段AB、BC上,且满足,
,若
(
),则
____________.
正确答案
解析
以为坐标原点,如图建立直角坐标系.
设,则
∵,
,
∴.
∵(
),
∴,
∴即
两式相加,
得
解得.
考查方向
本题考查了向量的坐标运算及平面向量分解定理,属于容易题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与直线、圆锥曲线、数列、函数等知识点交汇命题.
解题思路
用坐标法求解;恰当选择新的基向量,寻找与基向量的关系,从而求得
的值.
易错点
题中所选的基向量不垂直,学生不容易找到相互之间的关系.
知识点
13.抛物线的顶点为原点
,焦点
在
轴正半轴,过焦点且倾斜角为
的直线
交抛物线于点
,若
中点的横坐标为3,则抛物线
的方程为_______________.
正确答案
解析
设抛物线方程为:
,
则
∵直线过焦点
且倾斜角为
,
∴可设直线方程为:
设点
联立直线与抛物线方程
,
消整理得
由韦达定理可知
又∵中点的横坐标为3,
∴,
∴抛物线方程为.
考查方向
本题考查抛物线的简单性质,考查数形结合能力,注意解题方法的积累,属于中档题
解题思路
通过设抛物线的方程为
,
可得直线的方程为
,
联立直线方程和抛物线方程,
消可得并结合韦达定理即中点坐标公式计算即得结论.
易错点
无
知识点
20.某农场规划将果树种在正方形的场地内.为了保护果树不被风吹,决定在果树的周围种松树.在下图里,你可以看到规划种植果树的列数()、果树数量及松树数量的规律:
(1)按此规律,时果树数量及松树数量分别为多少;并写出果树数量
,及松树数量
关于
的表达式.
(2)定义:(
)为
增加的速度.现农场想扩大种植面积,问:哪种树增加的速度会更快?并说明理由.
正确答案
(1)时果树25棵,松树40棵;
;
.
(2)当时松树增加的速度快;当
时果树增加的速度快.
解析
(1)时果树25棵,松树40棵
(2)
当时,2
+1 < 8 ,
松树增加的速度快,
当时,2
+1 > 8 ,
果树增加的速度快.
考查方向
本题主要考查归纳法求数列的通项公式,考查观察能力、归纳能力和即时学习能力.
解题思路
对题(1),可以通过观察、归纳得到通项公式;
对题(2),后项与前项作差比大小即可.
易错点
寻找各图中增加树木之间的关联容易出错,对新定义的概念不容易理解.
知识点
21.如图,在一条景观道的一端有一个半径为米的圆形摩天轮O,逆时针
分钟转一圈,从
处进入摩天轮的座舱,
垂直于地面
,在距离
处
米处设置了一个望远镜
.
(1)同学甲打算独自乘坐摩天轮,但是其母亲不放心,于是约定在登上摩天轮座舱分钟后,在座舱内向其母亲挥手致意,而其母亲则在望远镜
中仔细观看.问望远镜
的仰角
应调整为多少度?(精确到1度)
(2)在同学甲向其母亲挥手致意的同时,同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带,发现取景的视角
恰为
,求绿化带
的长度(精确到1米).
正确答案
(1);
(2)94米.
解析
(1)逆时针
分钟转一圈,
∴分钟转过
过点作
于点
,
则
∴,
∴
答:望远镜的仰角设置为
(2)在中,
,
∴
∴由正弦定理得
∴
答:绿化带的长度为94米.
考查方向
本题主要考查利用正弦定理解三角形,是一道有实际问题背景的应用题.应用题的考查在近几年的各省高考题中出现的频率非常高,通常与函数、不等式、三角、数列、解析几何、立体几何、向量、概率统计等知识点相结合进行命题,是高考的热点问题.
解题思路
题(1),摩天轮做匀速转动,逆时针15分钟转一圈,可得5分钟转过120°,过点C作CH⊥AB于点H,解三角形可得望远镜的仰角;
(2)由题意可求CD,利用正弦定理即可解得BD的长度.
易错点
面对题设条件,无法确定什么时候用正弦定理什么时候用余弦定理或其它相关知识求解三角形的边与角.
知识点
22.如图,
曲线由两个椭圆
:
和椭圆
:
组成,
当成等比数列时,称曲线
为“猫眼曲线”.
(1)若猫眼曲线过点
,且
的公比为
,求猫眼曲线
的方程;
(2)对于题(1)中的求猫眼曲线,任作斜率为
且不过原点的直线与该曲线相交,交椭圆
所得弦的中点为
,交椭圆
所得弦的中点为
,求证:
为与
无关的定值;
(3)若斜率为的直线
为椭圆
的切线,且交椭圆
于点
,
为椭圆
上的任意一点(点
与点
不重合),求
面积的最大值.
正确答案
(1),
;
(2)略;
(3).
解析
(1),
,
,
;
(2)设斜率为的直线交椭圆
于点
,
线段中点
由
,
得
存在且
,
,
且 ,
即
同理, 得证
(3)设直线的方程为
联立方程
,
化简得
,
联立方程,
化简得
,
两平行线间距离:
的面积最大值
注:若用第一小题结论,
算得:
的面积最大值为
考查方向
本题主要考查椭圆的标准方程与性质,考查椭圆与直线的位置关系,考查化简运算能力与对新定力的概念的即时学习能力.
解题思路
(1)根据定义求得猫眼曲线Γ的方程;
(2)设交点,由中点公式可得
,联立方程,化简可得
,同理可得
,两式相除消去
,即证
为与
无关的定值
;
(3)设直线的方程为
,联立方程,化简,从而可得
的方程,同理可得
的方程,再利用两平行线间距离表示三角形的高,再求|AB|,从而求得最大面积.
易错点
1.对新定义的“猫眼曲线”的概念的不理解,即时学习能力不够;
2.解析几何中繁琐的化简容易出错,特别是带字母的化简运算.
知识点
23.已知函数,若存在常数T(T>0),对任意
都有
,则称函数
为T倍周期函数.
(1)判断是否是T倍周期函数,并说明理由;
(2)证明:是T倍周期函数,且T的值是唯一的;
(3)若是2倍周期函数,
,
,
表示
的前n项和,
,若
恒成立,求a的取值范围.
正确答案
(1)不是;
(2)略;
(3)或
.
解析
(1) 设:
则 对任意x恒成立
无解
不是T倍周期函数
(2) 设:则
对任意x恒成立
下证唯一性:
若,
矛盾
若,
矛盾
是唯一的
(3)
同理:
同理:
显然:
且
即单调递减
恒成立,
①
时
解得 : ②
时
解得 :
或
考查方向
本题考查函数性质、数列求和、数列的单调性、恒成立问题,考查了分类讨论的思想,考查学生综合分析问题的能力,既是新定义的学习型题,又是函数与数列相结合的综合题,属于中档题,在近几年各省市高考中出现的频率很高,常以压轴题的形式出现,整合函数、数列、解析几何、三角、向量等知识,体现数学多种思想方法.
解题思路
(1)假设h(x+T)=T•h(x),进而得出结论;
(2)通过设g(x+T)=T•g(x)并令x=0可知,分
、
两种情况证明唯一性即可;
(3)利用f(n+2)=2•f(n)及f(1)=1、f(2)=-4分别计算出n为奇数、偶数时的值,进而利用等比数列的求和公式计算可知S2n=-3(2n-1)、S2n-1=-2n+3,计算即得,再将恒成立问题转化为
的最大值问题,分类讨论求得a的取值范围.
易错点
1.对新定义的概念T倍周期函数的不理解;
2.恒成立问题转化为求最值问题,不知道如何转化;
3.不知道如何求得的最大值.
知识点
17.对于两个平面和两条直线
,下列命题中真命题是( )
正确答案
解析
选项A:符合题设条件的直线也可能在平面
上,如下右图所示,故选项A错;
选项B:符合题设条件的直线可能垂直于在平面
,可能在平面
上,可能平行于平面
,也可能与平面
斜交,故选项B错;
选项C:由图可知直线与直线
可能平行,也可能成相交,也可能异面,所成的角的取值范围为
,故选项C错误;从而可得选项D正确.
考查方向
本题考查了空间直线与平面的位置关系,考查了空间想象能力,是容易题.
解题思路
假命题举反例即可.
易错点
符合条件的空间直线和平面的位置关系有时候并不是只有结论的这一种,空间想象能力弱的话有时候未必能想得到.
知识点
18.下列函数中,既是偶函数,又在上递增的函数的个数是( )
①
②
③
④
正确答案
解析
由图可知,符合要求的函数只有一个,所以选A.
考查方向
本题主要考查简单三角函数的图像与性质以及函数图像的变换,属于中档题.
解题思路
根据图像变换,先画出、
、
、
四个函数的图像,然后根据题设条件之间判断即可.
易错点
与
图像的变换极易混淆.
知识点
15.下列四个命题中,为真命题的是( )
正确答案
解析
选项A:当时,若
,则
,故选项A错;
选项B:当时,满足条件
,
,但
,故选项B错;
选项C:若,而
,由不等式的传递性可得
两边平方,可得
,所以
,故选项C正确;
选项D:当时,满足条件
,但
,故选项D错.
考查方向
本题主要考查不等式的基本性质,属于容易题,在近几年的各省高考题中出现的频率较高.
解题思路
对照不等式的八个基本性质,逐项判断每个选项的真假,错误的选项举出反例即可.
易错点
不等式的八个基本性质中每个性质需要的前提条件容易混淆.
知识点
16.设是两个单位向量,其夹角为
,则“
”是“
”的( )
正确答案
解析
由已知得
∴.
设,
∵∴“
”是“
”的充分不必要条件。
即“”是“
”的充分不必要条件.
考查方向
本题主要考查了充分必要条件中的子集与推出关系以及向量的运算,考查学生分析问题的能力与计算能力,属于容易题,也是易错题.充分必要条件的问题在近几年的各省高考题中出现的频率非常高,可以与高中数学每一个章节每一个知识点相结合进行命题,是高考的热点问题.
解题思路
先利用向量的知识求出“”的等价命题“
”,然后利用子集和推出关系判断充分性与必要性.
易错点
1.在向量的运算中,模运算可以转化为数量积的运算(),容易与复数运算混淆;
2.利用子集与推出关系来解决充分必要条件问题时,对子集与推出关系的不理解;
3.在充分必要条件问题中,容易混淆条件与结论.
知识点
19. 如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充.已知金字塔的每一条棱和边都相等.
(1)求证:直线垂直于直线
.
(2)若搭边框共使用木料24米,则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?
正确答案
(1)略;
(2)需要立方米填充材料.
解析
(1)如图,
连接交于点
,
则为线段
中点,
在正方形中,
对角线
在中,
,
∴
又,
∴平面
∴
(2)边长为3米,
棱锥的底面积为
棱锥的高
∴立方米
答:需要立方米填充材料.
考查方向
本题主要考查立体几何中两直线相互垂直的判定以及简单多面体的体积公式,考查逻辑推理能力以及计算能力.
解题思路
题(1)的证明,先由线面垂直的判定定理证得线面垂直,再由线面垂直的性质定理证得线线垂直.
题(2)的求解,先求得四棱锥的底面积以及高,然后利用四棱锥的体积公式求解即得.
易错点
线线垂直与线面垂直的相互转化,条件缺一不可.题(1)的证明,在证明线面垂直时,必须是平面外的直线分别垂直于平面上的两条相交直线,才能得到线面垂直.