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2017年高考真题 理科数学 (全国III卷)
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、填空题
13
14
15
16
3、简答题
17
18
19
20
21
22
23
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为(          )

A3

B2

C1

D0

正确答案

B

解析

由题意可得：圆与直线相交于两点，，则中

有2个元素.故选B.

考查方向

（1）交集的运算；（2）集合中的表示方法.

解题思路

由题意知：圆与直线相交于两点，故很容易得出答案

易错点

交集定义的合理运用

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=(    )

A

B

C

D2

正确答案

C

解析

由题意可得，由复数求模的法则可得，则.故选C.

考查方向

复数的基本概念\复数代数形式的乘除运算

解题思路

由题意可得，再由复数求模的法则 直接计算求得结果

易错点

复数求模的法则

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是(    )

A月接待游客量逐月增加

B年接待游客量逐年增加

C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

正确答案

A

解析

由折线图，每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项A说法错误.故选A.

考查方向

方差与标准差\数列与统计的综合

解题思路

由折线图可知，很容易看出答案

易错点

折线图的运用

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4．的展开式中的系数为(         )

A

B

C40

D80

正确答案

C

解析

由展开式的通项公式可得：当时，展开式的系数为，

当时，展开式的系数为，

则的系数为80－40＝40，故选C.

考查方向

二项式展开式的通项公式

解题思路

由，再由展开式的通项公式，分别令，算出系数

易错点

二项式展开式的通项公式的合理运用

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5．已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为(        )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

双曲线C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 ，

椭圆中： ，椭圆，双曲线的焦点为 ，

据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，

则双曲线 的方程为 .

考查方向

双曲线与椭圆的几何性质

解题思路

椭圆中：，再由双曲线的渐近线，焦点，关系列出三个方程，解得出答案

易错点

共焦点双曲线与椭圆问题的灵活求解

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6．设函数，则下列结论错误的是(       )

A的一个周期为

B的图像关于直线对称

C的一个零点为

D在(,)单调递减

正确答案

D

解析

当 时， ，函数在该区间内不单调.故选D.

考查方向

复合型三角函数的性质

解题思路

根据的性质，一一对选项分析得出当 时， ，函数在该区间内不单调.

易错点

余弦型函数的性质灵活运用

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为(        )

A5

B4

C3

D2

正确答案

D

解析

阅读程序框图，程序运行如下：

首先初始化数值：，然后进入循环体：

此时应满足，执行循环语句：；

此时应满足，执行循环语句：；

此时满足，可以跳出循环，则输入的正整数N的最小值为2.

故选D.

考查方向

循环结构

解题思路

通过程序框图的要求，写出每次循环的结果得到输出的值．

易错点

循环结构的条件判断

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(      )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，

结合勾股定理，底面半径，

由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.

考查方向

球与圆柱的组合体\体积

解题思路

画出圆柱的轴截面，由题意直接求出，再利用圆柱的体积公式直接求出

易错点

用轴截面解外接球

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为(       )

A

B

C3

D8

正确答案

A

解析

设等差数列的公差为，且，，，又，所以，，故选A.

考查方向

等差数列\等比数列的性质与应用

解题思路

设等差数列的公差为，由题知，转化为关于d的方程，解出，再代入求数列的和

易错点

基本量的计算，方程的思想

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为(       )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即 ，，故选A.

考查方向

椭圆的离心率\直线与圆的位置关系

解题思路

以线段为直径的圆是，由题意得，整理得出，再由椭圆中的关系，得出，进而得出离心率

易错点

椭圆的几何性质

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11．已知函数有唯一零点，则a=(        )

A

B

C

D1

正确答案

C

解析

函数的零点满足，

设，则，

当时，，当时，，函数 单调递减，

当时，，函数 单调递增，

当时，函数取得最小值，

设 ，当时，函数取得最小值 ，

若，函数与函数没有交点，

当，时，此时函数与函数有一个交点，

即，解得，故选C.

考查方向

函数的零点与单调性

解题思路

函数的零点满足，令，求导求出的单调性及最值，再设，求出最值，再讨论的范围得出结论而求得

易错点

求函数零点，转化为两个函数的相等的根

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为(         )

A3

B2

C

D2

正确答案

A

解析

如图，建立平面直角坐标系.

设,

易得圆的半径，即圆C的方程是，

，若满足，

则 ，，所以，

设，即，点在圆上，

所以圆心到直线的距离，即，解得，

所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.

考查方向

向量的线性运算性质及几何意义/平面向量坐标表示的应用

解题思路

建立平面直角坐标系.设,而圆C的方程是，，若满足，所以，转化为圆心到直线的距离，解出其范围.

易错点

转化的思想

填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13．若，满足约束条件，则的最小值为__________.

正确答案

解析

作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.

目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，为.

考查方向

线性规划 /求线性目标函数的最值

解题思路

作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

易错点

z的几何意义

1
题型：填空题
|
分值: 5分

14．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.

正确答案

解析

由题意可得： ，解得： ，则

考查方向

等比数列的性质

解题思路

设等比数列的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意列出方程组：求出 ，，再由等比数列的通项公式可得结果 .

易错点

等比数列的有关公式并能灵活运用

1
题型：填空题
|
分值: 5分

15．设函数，则满足的x的取值范围是_________.

正确答案

解析

由题意：  ，函数 在区间 三段区间内均单调递增，且 ，

可知x的取值范围是： .

考查方向

分段函数/指数函数/函数性质的综合应用

解题思路

由题意：，函数 在区间 三段区间内均单调递增，求出最小值即可求得结果

易错点

求分段函数的函数值，先确定区域，再代入

1
题型：填空题
|
分值: 5分

16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）

正确答案

②③.

解析

由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由，即AC垂直底面，在底面内可以过点B，作，交底面圆C于D，如图，连结DE，则，所以，连接AD，等腰△ABD中，，当直线AB与a成60º时，∠ABD＝60º，故，又在Rt△BDE中，BE＝2，，过点B作BF//DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF＝DE＝，所以△ABF为等边三角形，∠ABF＝60º，即②正确，①错误，由最小角定理可知③正确，很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线AB与a成的最大角为90º，④错误

考查方向

空间中直线与直线之间的位置关系

解题思路

AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由，即AC垂直底面，当直线AB与a成60º时，作图分析得直线AB与b也成60º，再由最小角定理知最小角为45º，最大角为90º，可选出答案

易错点

点、直线、平面的位置关系的判定

简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

17．（12分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，a=2,b=2.

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.

正确答案

(1)    (2)

解析

（1）由已知得   ，所以 .

在 △ABC中，由余弦定理得  ，即 .

解得： (舍去)， .

（2）有题设可得

故△ABD面积与△ACD面积的比值为

又△ABC的面积为

考查方向

正弦定理/余弦定理/三角形的面积

解题思路

(1)由题意首先求得，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得 ；

(2)利用题意首先求得△ABD面积与△ACD面积的比值，然后结合△ABC的面积可求得△ABD的面积为 .

易错点

解决三角形问题中合理利用正余弦定理

1
题型：简答题
|
分值: 12分

18．（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

正确答案

(1)分布列略；(2) n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.

解析

（1）由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知

，，.

因此的分布列为

（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑.

当时，

若最高气温不低于25，则；

若最高气温位于区间，则；

若最高气温低于20，则；

因此.

当时，

若最高气温不低于20，则；

若最高气温低于20，则；

因此.

所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.

考查方向

离散型随机变量的分布列及其数学期望

解题思路

(1) 所有的可能取值为200,300,500，利用题意求得概率即可得到随机变量的分布列；

(2)由题中所给条件分类讨论可得n=300时，Y的数学期望达到最大值520元.

易错点

离散型随机变量的分布列

1
题型：简答题
|
分值: 12分

19．（12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

正确答案

(1)证明略；(2) .

解析

（1）由题设可得，，从而.

又是直角三角形，所以.

取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.

又由于是正三角形，故.

所以为二面角的平面角.

在中，.

又，所以，

故.

所以平面ACD⊥平面ABC.

（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.

故.

设是平面DAE的法向量，则即

可取.

设是平面AEC的法向量，则同理可取.

则.

所以二面角D-AE-C的余弦值为.

考查方向

直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质\二面角的求法

解题思路

(1)利用题意证二面角的平面角为90º，则可得面面垂直；（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用公式二面角的夹角公式可求得二面的余弦值

易错点

求两个半平面的法向量

1
题型：简答题
|
分值: 12分

20．（12分）

已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.

正确答案

(1)证明略；(2)见解析

解析

（1）设

由可得

又=4

因此OA的斜率与OB的斜率之积为

所以OA⊥OB，

故坐标原点O在圆M上.

（2）由（1）可得.

故圆心的坐标为，圆的半径.

由于圆过点，因此，故，

即，

由（1）可得.

所以，解得或.

当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.

当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.

考查方向

点与圆、直线与圆、直线与抛物线的位置关系

解题思路

（1）设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率乘积为-1，可得OA⊥OB，即得结论；（2）结合（1）的结论求得实数m的值，分类讨论即可求得直线l的方程和圆M的方程

易错点

用根与系数的关系研究直线与圆锥曲线和关系

1
题型：简答题
|
分值: 12分

21．（12分）

已知函数.

（1）若，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.

正确答案

(1)a=1；   (2) 3

解析

（1）的定义域为.

①若，因为，所以不满足题意；

②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.

由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1.

（2）由（1）知当时，.

令得.从而

.

故.

而，所以的最小值为.

考查方向

导数的运算、利用导数研究函数的单调性

解题思路

(1)由原函数与导函数的关系可得是在的唯一最小值点，列方程解得 ；(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得，结合可知实数 的最小值为

易错点

利用导数研究函数的性质

1
题型：简答题
|
分值: 10分

22．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修44：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.

正确答案

（1）；（2）

解析

（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.

设,由题设得，消去k得.

所以C的普通方程为.

（2）C的极坐标方程为.

联立得.

故，从而.

代入得，所以交点M的极径为.

考查方向

直线的参数方程、曲线的极坐标方程、点的极坐标

解题思路

（1）消去参数t得l1普通方程，消去参数m得l2的普通方程，两方程联立消去k得出结果；（2）C的极坐标方程与直线的极坐标方程联立，求出，从而.得出，即可得M的极径

易错点

参数方程化为普通方程的消参

1
题型：简答题
|
分值: 10分

23．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修45：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.

正确答案

（1）；（2）

解析

（1）

当时，无解；

当时，由得，，解得

当时，由解得.

所以的解集为.

（2）由得，而

且当时，.

故m的取值范围为

考查方向

绝对值不等式的解法、绝对值函数与不等式的综合应用

解题思路

（1）对的范围分段讨论得到不同区间的表达式，每段分别求解不等式后对各段取并集，帮可得到解集；（2）依题意转化为求函数的最大值，只要m小于等于函数的最大值即可，进行放缩得到最大值，即可求得m的取值范围

易错点

绝对值不等式的分段讨论

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