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理科数学 宁波市2016年高三第一次联合考试
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
2、简答题
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
3、填空题
20
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单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7．已知为三角形内一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（  ）

A

B    

C

D

正确答案

A

解析

因为的面积与的面积比值为，过B，C作垂线BP，CH,所以BP：CH=BE:EC=1：3， 由，得,以OB,OC为邻边作平行四边形BOCG,所以OG//AC，且F为BC的中点，所以,，所以选A

考查方向

考查向量的有关计算

解题思路

先确定O 所在的直线，通过面积比等于1:3，可E分必须的比1:3，所以O在AE上，再将所给的向量关系式进行化简，可知O在AE的1：2位置上，F为BC的中点，且OF//AC ，结合平面几何的知识，可得.

易错点

不能正确“翻译”题中的向量关系

知识点

线段的定比分点
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.已知函数,.若图象上存在两个不同的点与图象上两点关于轴对称，则的取值范围为（  ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

设，由题意可知，设在上必有两个负根，，设上不可能有两个负A根，可排除A,B, 上为增函数，(-1,0)上为减函数，F(-1)是极大值，F(-1)=-1<0, 不可能有两个负根排除答案C，所以选择D.

考查方向

考察函数图像的对称性，构造函数及用导数解决函数和零点问题

解题思路

先设点，后转化方程，得到一个方程有两个负根的问题，然后再构造一个新函数，运用导数来判断函数的有关零点问题

易错点

不能正确理解题目中的对称问题，进而在问题转化过程中进行不下去，对不同情况进行分类讨论不全

知识点

函数性质的综合应用函数图象的应用
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为

A

B    

C

D

正确答案

C

解析

多面体的直观图如图所示，根据多面体的特点，最长的棱长为

考查方向

本题考查三视图的有关性质，锥体的性质

解题思路

直接画出直观图，有直观图求出最长的棱

易错点

识图不准，画错直观图

知识点

由三视图还原实物图
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5．已知命题：函数的最小正周期为；命题：若函数为奇函数，则关于对称.则下列命题是真命题的是（   ）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

为奇函数，则关于对称.q为真命题，显然本题选择B.

考查方向

考查复合命题及命题的真值表

解题思路

分别判断命题p,q的真假, 再分析复合命题的真假

易错点

复合命题的真值判断易出错

知识点

充要条件的判定充要条件的应用含有逻辑联结词命题的真假判断
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1．设,则“”是“”                               

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

若“”,当a=0不能得出“”；反之，若“”，则a>0,所以两边同时乘以a,得“”，所以必要性成立，所以本题选项为B.

考查方向

本题考查不等式的基本性质，充分条件与必要条件.

解题思路

结合不等式的性质，按照充分条件与必要条件的关系直接推导.

易错点

应用不等式的性质易忽略条件.

知识点

四种命题及真假判断充要条件的判定
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2. 已知集合，，则集合且为（ ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

考查方向

本题考查，集合补集运算及集合性质

解题思路

化简M，N，再计算补集

易错点

集合的代表元素属性，N集合易出化为

知识点

元素与集合关系的判断
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），若直线的倾斜角为，则等于（   ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

考查方向

考查抛物线的性质，抛物线的焦半径公式

解题思路

根据题意, 直接用焦半径表示AF与BF的长度.

易错点

忽略直线过焦点，导致AF与BF的长度无法用3表示, 忽略焦点的位置，容易把焦半径公式写成

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6. 设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是

A若，则数列有最大项

B若数列有最大项，则

C若数列是递增数列，则对任意，均有

D若对任意，均有，则数列是递增数列

正确答案

C

解析

通过对考察，画出对应的二次函数的图象，易得A,B,D都正确，C不正确

考查方向

考查等差数列的综合性质

解题思路

根据，抓住函数图象，通过图象进行分

易错点

对等差数列的前n项和公式的函数性质没有掌握

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用等比数列的基本运算等比数列的性质及应用
简答题（综合题） 本大题共104分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 6分

10. 已知单调递减的等比数列满足：，且是的等差中项，

则公比  ▲  ，通项公式为  ▲  .

正确答案

，

解析

因为是的等差中项， 又，

考查方向

考查等差数列，等比数列的通项及前n项和

解题思路

根据等比数列的特点，利用方程的思想解出，q

易错点

忽略题中的单调递减条件

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用
1
题型：简答题
|
分值: 6分

11. 已知函数，则函数的最小值为  ▲  ， 函数的递增区间为  ▲  .

正确答案

，

解析

，所以最小值为-2，函数的单调增区间应满足不等式

考查方向

考查三角函数的综合性质，具体涉及到三角函数的单调区间及最

解题思路

先用二倍角转化，然后再用辅助角公式，做成正弦型函数，从而求得函数的最小值，直接代入原函数的单调区间，求出原函数的单调增区间

易错点

本题意在三角恒等变换中出错，对函数图像的应用不熟

知识点

三角函数中的恒等变换应用
1
题型：简答题
|
分值: 6分

12. 已知实数，且点在不等式组表示的平面区域内，

则的取值范围为  ▲  ，的取值范围为  ▲  .

正确答案

，

解析

因为点在不等式组表示的平面区域内，,作出(m,n)的可行域，如图，设

题意可知，最小的半径为1，最大半径为2，所以的取值范围为

考查方向

考查线性规划，不等式的性质

解题思路

易错点

不能正确的画出线性规划可行域，不能正确地识图和用图

知识点

其它不等式的解法
1
题型：简答题
|
分值: 4分

15.如图，正四面体的棱在平面上，为棱的中点.当正四面体

绕旋转时，直线与平面所成最大角的正弦值为  ▲  . 

正确答案

解析

过A作于O，取BD的中点，延长AE交于G,连接AF并延长交于H,连接GO,所以∠AGO直线与平面所成的角，且EF//GH,在三角形AEF中，易解得，根据三余弦公式可得，当

考查方向

考查直线与平面的位置关系考查正四体的性质

解题思路

结合正四面体的性质，利用三余弦公式可求解，

易错点

找不到解决问题的几何模型易了出错。

知识点

线面角和二面角的求法
1
题型：简答题
|
分值: 14分

在中，角的对边分别是，且向量与向量共线.

16.求；

17.若，且，求的长度.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解： 与共线，

在三角形中，

……………………………………………………7分

考查方向

考查向量的共线，考查三角函数的恒等变换，考查解三角形余玄定理的应用

解题思路

先通过共线，列出方程，然后用正弦定理，将边转成角，用利用和角公式，先用余弦定量得到a的方程，为求BD的模，可以通过平方再开方的办法间接的模。

易错点

对向量共线掌握不准，对三角恒等变换及正余定理的应用不熟练

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解： 且

即

解得（舍）……………………………………………9分

将和代入得：

……………………………………………14分

考查方向

考查向量的共线，考查三角函数的恒等变换，考查解三角形余玄定理的应用

解题思路

先通过共线，列出方程，然后用正弦定理，将边转成角，用利用和角公式，先用余弦定量得到a的方程，为求BD的模，可以通过平方再开方的办法间接的模。

易错点

对向量共线掌握不准，对三角恒等变换及正余定理的应用不熟练

1
题型：简答题
|
分值: 15分

已知椭圆的左右顶点，椭圆上不同于的点, ,两直线的斜率之积为，面积最大值为.

20.求椭圆的方程；

21.若椭圆的所有弦都不能被直线垂直平分，求的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：由已知得,，

,两直线的斜率之积为

的面积最大值为

所以所以椭圆的方程为：…………………………6分

考查方向

本题考查圆锥曲线中的椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系，对学生的解题能力和逻辑能力提出较高的要求

解题思路

将“斜率之积为，面积最大值为”结合图形，转化成a,b的方程

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错误，再就是直线与曲线联系以后，曲线与直线有两个交点的条件易得忽略，寻求变量之间的联系时，易出现转化和计算、代数整理上的错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

解：假设存在曲线的弦能被直线垂直平分

当显然符合题                                   …………8分

当时，设，中点为可设：

与曲线联立得：，

所以得……（1）式…………………………10分

由韦达定理得：，

所以，代入得

在直线上，得……（2）式…………………12分

将（2）式代入（1）式得：，得，即且……14分

综上所述，的取值范围为.

考查方向

本题考查圆锥曲线中的椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系，对学生的解题能力和逻辑能力提出较高的要求

解题思路

从反面入手，假设存在曲线的弦能被直线垂直平分，采用设而不求的方法，设出： ，当然对CD的特殊情况要进行讨论，联立方程组，得到关于x的一元二次方程，利用判别式，得到k,m的不等式，再结合根与系数关系，将CD的中点表示出来，代入直线上，得，通过上面的不等式及等式关系即可求出k的范围

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错误，再就是直线与曲线联系以后，曲线与直线有两个交点的条件易得忽略，寻求变量之间的联系时，易出现转化和计算、代数整理上的错误。

1
题型：简答题
|
分值: 4分

13. 已知，且有，，则  ▲  .

正确答案

解析

已知，sinx,cosx,tanx,siny,cosy,tany>0, 将原式两边相除，得 ,分别将两式两边平方，相加消去y,得，解

考查方向

考查同角三角函数关系及其转化

解题思路

首先讲题中两个等式相除，得到x和y的余弦函数的关系，再将y的正弦值余弦值，用x的正弦值余弦值表示，用平方关系消去y得到x的三角函数等式，进而求出余弦值

易错点

不能正确的应用同角三角函数关系

知识点

任意角的三角函数的定义三角函数的化简求值
1
题型：简答题
|
分值: 15分

如图，三棱柱中，分别为和的中点，，

侧面为菱形且，，．

18.证明：直线平面；

19.求二面角的余弦值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

【见解析】

解析

解：∵，且为中点，，

∴ ，

又 ，∴ ，

又 ，∴平面，

取中点，则，即两两互相垂直，

以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系如图，

∴5分

（Ⅰ）设平面的法向量为 ，则，

，取， ∵ ，，

∴ ，又平面， ∴直线∥平面．  …… 9分

考查方向

本小题主要考查立体几何的相关知识，二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.

解题思路

先计算必要棱长，证出，平面，

以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，利用法向量垂直已知直线，证出直线∥平面

易错点

在证明线面平行时，没有严格按照定理的三个条件去证，重点是线线平行。易在过程的严密性上扣分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：∵，且为中点，，

∴ ，

又 ，∴ ，

又 ，∴平面，

取中点，则，即两两互相垂直，

以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系如图，

∴5分

（Ⅱ）设平面的法向量为，，

，， 取，

又由（Ⅰ）知平面的法向量为，设二面角为，

∵ 二面角为锐角，∴，

∴ 二面角的余弦值为． ………… 15分

考查方向

本小题主要考查立体几何的相关知识，二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.

解题思路

直接按步计算，先求法向量，再求法向量夹角，最后确定二面角余弦值与法向量夹角的余弦值之间的关系

易错点

建立合理的坐标系，正确求点坐标

1
题型：简答题
|
分值: 15分

对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．

已知函数.

18.是“可等域函数”，求函数的“可等域区间”；

若区间的“可等域区间”，求 的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：（Ⅱ）

因为区间为的“可等域区间，所以

考查方向

考察函数的新信息题，具体涉及到函数的定义域，值域，图像等性质

解题思路

先确定函数的值域，利用“可等域函数”， 结合函数的图象，可得函数        的“可等域区间”为

易错点

对新信息理解到位易出错，对函数的综合性质应用不熟练易出现，分类与解题逻辑上的错误，数形结合应用易出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

考查方向

考察函数的新信息题，具体涉及到函数的定义域，值域，图像等性质

解题思路

利用“可等域区间”的定义，得出a>0,结合图象，利用区间与对称轴的关系及函数的单调性求出a,b

易错点

对新信息理解到位易出错，对函数的综合性质应用不熟练易出现，分类与解题逻辑上的错误，数形结合应用易出错

1
题型：简答题
|
分值: 4分

14. 已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则该双曲线的离心率为  ▲  .

正确答案

解析

设双曲线的离心率为e，在三角 化简并整理得，

考查方向

考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率

解题思路

先由题意及双曲线的定义，可得，再利用焦半径公式，，由余弦定可求得a,b,c的等式关系，再从中求离心率

易错点

利用焦半径公式易出错，寻找a,b,c关系时找不到突破口

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型：简答题
|
分值: 15分

设各项均为正数的数列的前项和满足.

22.若，求数列的通项公式；

23.在22的条件下，设，数列的前项和为,

求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

解：令，得，所以，              ……………1分

则，所以，

两式相减，得，                     ……………3分

所以，化简得，

所以，                               ……………6分

又适合，所以.       ……………7分

（构造常数列等方法酌情给分）

考查方向

本题考查利用数列的前n项和，求数列的通项公式，构造新数列的方法及不等式的有关缩放问题

解题思路

用特殊情况解出r,再利用与的关系求递推关系式，利用累积法求通项

易错点

不解r,没有对n=1进行讨论

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

解：由22知，所以，

不等式成立

……………………………………10分

（仅在时取等号）

即结论成立………………………………15分

考查方向

本题考查利用数列的前n项和，求数列的通项公式，构造新数列的方法及不等式的有关缩放问题

解题思路

先将分解开来， ，再将进行转化，利用倒序相加的方法，将其缩放（仅在时取等号）

即结论成立

易错点

在求和过程中找不到恰当的解题方法，不等式合理的放缩易出错

填空题 本大题共1小题，每小题6分，共6分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 6分

9.已知圆，则圆心坐标为  ▲  ；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为  ▲  .

正确答案

，

解析

如图，，所以圆心坐标为，半径R=3 ，根据平面几何的知识可知，当弦所在的直线AB,与连心线OP垂直时最短，易得直线的倾斜角为15，该弦所在的直线方程为

考查方向

考察圆的方程及基本性质，直线与圆的位置关系

解题思路

化为标准方程，

易错点

容易将方程的圆心坐标弄错，对图形的识别不准

知识点

圆的标准方程直线与圆相交的性质与圆有关的最值问题

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知道啦