2015年高考权威预测卷 理科数学 (全国新课标卷I)
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合为虚数单位,则下列选项正确的是(     )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则此几何体的体积是(      )


A

B

Cπ

D

正确答案

D

解析

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.设随机变量X服从正态分布,则成立的一个必要不充分条件是(    )

A或2

B或2

C

D

正确答案

B

解析

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是(     )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.函数的部分图象如图所示, +++的值为(      )

A0

B3

C6

D-

正确答案

A

解析

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.某校为了解本校高三学生学习心里状态,采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试,为此将题目随机编号,分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18,抽到的40人中,编号落入区间的人做试卷,编号落入区间的人做试卷,其余的人做试卷,则做试卷的人数为(     )

A10

B12

C18

D28

正确答案

B

解析

知识点

随机事件的关系
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.在递增的等比数列中,,且前n项和,则项数n等于(  )

A6

B5

C4

D3

正确答案

D

解析

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.已知函数()定义域为,则的图像不可能的是(     )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

知识点

函数的图象与图象变化
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

9.不等式的解集中的最小整数为()

正确答案

1

解析

知识点

不等式的性质
1
题型:填空题
|
分值: 5分

10. 若从区间内随机取两个数,则这两个数之积不小于的概率为()

正确答案

解析

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.在实数集R中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”。类似的,我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系,记为“”。定义如下:对于任意两个向量当且仅当“”或“”。按上述定义的关系“”,给出如下四个命题:

①若

②若,则

③若,则对于任意

④对于任意向量.

其中真命题的序号为()

正确答案

①②③

解析

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
|
分值: 5分

选做题:第14.15题为选做题,考生只选做其中一题.

14.直线l的参数方程是(其中t为参数),圆C的极坐标方程为,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是()

15.如图,⊙的外接圆,,延长到点,连结

交⊙于点,连结,若,则

的大小为()

正确答案

14.  15.

解析

略。

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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分值: 5分

11. 设等差数列满足其前项和为,若数列{}也为等差数列,则的最大值是()

正确答案

121

解析

设数列的公差为,依题意

,化简可得=2,所以

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:填空题
|
分值: 5分

12.若幂函数的图象经过点,则它在点A处的切线方程是()

正确答案

解析

知识点

函数的概念及其构成要素
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 14分

21.设函数,其中为实数,已知曲线轴切于坐标原点

(1)求的值

(2)当时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围

(3)求证:

正确答案

见解析。

解析

(1) 对求导得:

根据条件知,所以.                 ……………2分

(2)由(Ⅰ)得

          ……………3分

①当时,由于,有

于是上单调递减,从而,因此上单调递减,即而且仅有;不符合题意                  ……………4分

②当时,由于,有

于是上单调递增,从而,因此上单调递增,即而且仅有;符合题意                    ……………5分

③当时,令,即

时,,于是上单调递减,从而,因此上单调递减,即而且仅有.不符合题意……………6分

④当,即

时,,于是上单调递减,从而,因此上单调递减,即而且仅有.不符合题意                                                             ……………7分

综上可知,所求实数的取值范围是.                             ……………8分

(Ⅲ)对要证明的不等式等价变形如下:

     ……………9分

所以可以考虑证明:对于任意的正整数,不等式恒成立.  并且继续作如下等价变形

                                      ……………10分

对于相当于(Ⅱ)中的情形,有上单调递减,即而且仅有. 取,当时,成立;

时,.

从而对于任意正整数都有成立.                  ……………12分

对于相当于(Ⅱ)中的情形,对于任意,恒有而且仅有. 取,得:对于任意正整数都有成立.

因此对于任意正整数,不等式恒成立.

这样依据不等式,再令利用左边,令   利用右边,

即可得到成立.

……………14分

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 12分

17.某超市从2015年甲.乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,并按分组,得到频率分布直方图如下:

假设甲.乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立

(1)写出频率分布直方图(甲)中的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为,试比较的大小(只需写出结论)

(2)估计在未来的某一天里,甲.乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率;

(3)设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为概率, 求的数学期望

正确答案

见解析。

解析

(1);                                           …………2分

.                                               ………………4分

(2)设事件:在未来的某一天里,甲种酸奶的销售量不高于20箱;

事件:在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于20箱;

事件:在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个

不高于20箱. 则.          ………………4分

所以 .                    ………………6分

(3)由题意可知,的可能取值为0,1,2,3.                ………………7分

.

所以的分布列为

………………9分

所以 的数学期望.………………10分

另解:由题意可知.

所以 的数学期望.                             ………………12分

知识点

随机事件的关系
1
题型:简答题
|
分值: 14分

19.已知正项数列{}的前n项和为,对∈N﹡有.

(1)求数列{}的通项公式;。

(2)令,设{}的前n项和为,求T1,T2,T3,…,T100中有理数的个数.

正确答案

见解析。

解析

(1)当 时或0(舍去)…………1分

 时…………2分

两式相减得  ,…………4分

所以数列 是以1为首项,1为公差的等差数列  )…………6分

(2)

…………10分

…………12分

有理数 中有共9个。…………14分

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
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分值: 14分

20.已知椭圆:的上顶点为,且离心率为,.

(1) 求椭圆的方程;

(2)已知过椭圆:上一点的切线方程为,试用此结论解决以下问题:以圆上一点向椭圆引两条切线,切点分别为,当直线分别与轴.轴交于.两点时,求的最小值.

正确答案

见解析。

解析

(1)

椭圆方程为。     ……4分

(2)点为圆上一点是椭圆的切线,切点,过点的椭圆的切线为,过点的椭圆的切线为

两切线都过点,

切点弦所在直线方程为。    …………  6分

……………… 8分

。……………… 12分

当且仅当,即时取等号,……………… 13分

的最小值为.  ……………… 14分

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
|
分值: 12分

16. 已知在中,角所对的边分别为,且为钝角.

(1)求角的大小;

(2)若,求的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

(1)由 得,得

于是    又,∴  …………………4分

(2)∵为钝角,于是,又,∴

由正弦定理可知,

[来源:学优高考网]∴………12分

知识点

任意角的概念
1
题型:简答题
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分值: 14分

18.如图1,在直角梯形中,四边形是正方形,将正   方形沿折起到四边形的位置,使平面平面的中点,如图2.

(1)求证:

(2) 求与平面所成角的正弦值;

(3)判断直线的位置关系

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:因为 四边形为正方形,

所以 .

因为 平面平面,平面平面平面

所以 平面.                                  ………………2分

        因为 平面

所以 .  ………………4分

(2)解:如图,以点为坐标原点,分别以所在的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

,则.

所以 .     ………………6分

设平面的一个法向量为.

,得,所以 .                      ………………8分

与平面所成角为

.

所以 与平面所成角的正弦值为.                   ………………10分

(3)解:直线与直线平行. 理由如下:                    ………………11分

由题意得,.

所以 .

所以 .                                                ………………13分

因为 不重合,

所以 .                                               ………………14分

另解:直线与直线平行. 理由如下:

的中点的中点,连接.

所以 .

因为 的中点,四边形是正方形,

所以 .

所以 .

所以 为平行四边形.

所以 .

因为 四边形为梯形,

所以 .  所以 四边形为平行四边形.

所以 .   所以 .

所以 是平行四边形.所以 ,即.       ………………14分

知识点

空间几何体的结构特征

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