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1.已知集合,为虚数单位,则下列选项正确的是( )
正确答案
解析
略
知识点
2.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则此几何体的体积是( )
正确答案
解析
略
知识点
3.设随机变量X服从正态分布,则成立的一个必要不充分条件是( )
正确答案
解析
略
知识点
4.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )
正确答案
解析
略
知识点
5.函数的部分图象如图所示, +++的值为( )
正确答案
解析
略
知识点
7.某校为了解本校高三学生学习心里状态,采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试,为此将题目随机编号,分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18,抽到的40人中,编号落入区间的人做试卷,编号落入区间的人做试卷,其余的人做试卷,则做试卷的人数为( )
正确答案
解析
略
知识点
6.在递增的等比数列中,,且前n项和,则项数n等于( )
正确答案
解析
略
知识点
8.已知函数()定义域为,则的图像不可能的是( )
正确答案
解析
略
知识点
9.不等式的解集中的最小整数为()
正确答案
1
解析
略
知识点
10. 若从区间内随机取两个数,则这两个数之积不小于的概率为()
正确答案
解析
略
知识点
13.在实数集R中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”。类似的,我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系,记为“”。定义如下:对于任意两个向量当且仅当“”或“”。按上述定义的关系“”,给出如下四个命题:
①若;
②若,则;
③若,则对于任意;
④对于任意向量.
其中真命题的序号为()
正确答案
①②③
解析
略
知识点
选做题:第14.15题为选做题,考生只选做其中一题.
14.直线l的参数方程是(其中t为参数),圆C的极坐标方程为,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是()
15.如图,⊙是的外接圆,,延长到点,连结
交⊙于点,连结,若,则
的大小为()
正确答案
14. 15.
解析
略。
知识点
11. 设等差数列满足其前项和为,若数列{}也为等差数列,则的最大值是()
正确答案
121
解析
设数列的公差为,依题意,
即,化简可得=2,所以
知识点
12.若幂函数的图象经过点,则它在点A处的切线方程是()
正确答案
解析
略
知识点
21.设函数,其中为实数,已知曲线与轴切于坐标原点
(1)求的值
(2)当时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围
(3)求证:
正确答案
见解析。
解析
(1) 对求导得:,
根据条件知,所以. ……………2分
(2)由(Ⅰ)得,,
……………3分
①当时,由于,有,
于是在上单调递减,从而,因此在上单调递减,即而且仅有;不符合题意 ……………4分
②当时,由于,有,
于是在上单调递增,从而,因此在上单调递增,即而且仅有;符合题意 ……………5分
③当时,令,即时
当时,,于是在上单调递减,从而,因此在上单调递减,即而且仅有.不符合题意……………6分
④当且,即时
当时,,于是在上单调递减,从而,因此在上单调递减,即而且仅有.不符合题意 ……………7分
综上可知,所求实数的取值范围是. ……………8分
(Ⅲ)对要证明的不等式等价变形如下:
……………9分
所以可以考虑证明:对于任意的正整数,不等式恒成立. 并且继续作如下等价变形
……………10分
对于相当于(Ⅱ)中的情形,有在上单调递减,即而且仅有. 取,当时,成立;
当时,.
从而对于任意正整数都有成立. ……………12分
对于相当于(Ⅱ)中的情形,对于任意,恒有而且仅有. 取,得:对于任意正整数都有成立.
因此对于任意正整数,不等式恒成立.
这样依据不等式,再令利用左边,令 利用右边,
即可得到成立.
……………14分
知识点
17.某超市从2015年甲.乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,并按分组,得到频率分布直方图如下:
假设甲.乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立
(1)写出频率分布直方图(甲)中的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为,试比较的大小(只需写出结论)
(2)估计在未来的某一天里,甲.乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率;
(3)设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为概率, 求的数学期望
正确答案
见解析。
解析
(1); …………2分
. ………………4分
(2)设事件:在未来的某一天里,甲种酸奶的销售量不高于20箱;
事件:在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于20箱;
事件:在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个
不高于20箱. 则,. ………………4分
所以 . ………………6分
(3)由题意可知,的可能取值为0,1,2,3. ………………7分
,
,
,
.
所以的分布列为
………………9分
所以 的数学期望.………………10分
另解:由题意可知.
所以 的数学期望. ………………12分
知识点
19.已知正项数列{}的前n项和为,对∈N﹡有=.
(1)求数列{}的通项公式;。
(2)令,设{}的前n项和为,求T1,T2,T3,…,T100中有理数的个数.
正确答案
见解析。
解析
(1)当 时或0(舍去)…………1分
当 时…………2分
两式相减得 ,…………4分
所以数列 是以1为首项,1为公差的等差数列 )…………6分
(2)
…………10分
…………12分
在有理数 中有共9个。…………14分
知识点
20.已知椭圆:的上顶点为,且离心率为,.
(1) 求椭圆的方程;
(2)已知过椭圆:上一点的切线方程为,试用此结论解决以下问题:以圆上一点向椭圆引两条切线,切点分别为,当直线分别与轴.轴交于.两点时,求的最小值.
正确答案
见解析。
解析
(1),, ,
椭圆方程为。 ……4分
(2)点为圆上一点,是椭圆的切线,切点,过点的椭圆的切线为,过点的椭圆的切线为。
两切线都过点,。
切点弦所在直线方程为。 ………… 6分
,,
……………… 8分
。……………… 12分
当且仅当,即时取等号,……………… 13分
,的最小值为. ……………… 14分
知识点
16. 已知在中,角所对的边分别为,,且为钝角.
(1)求角的大小;
(2)若,求的取值范围.
正确答案
见解析。
解析
(1)由 得,得
于是 又,∴ …………………4分
(2)∵为钝角,于是,又,∴
由正弦定理可知,
又, [来源:学优高考网]∴………12分
知识点
18.如图1,在直角梯形中,四边形是正方形,将正 方形沿折起到四边形的位置,使平面平面,为的中点,如图2.
(1)求证:
(2) 求与平面所成角的正弦值;
(3)判断直线与的位置关系
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:因为 四边形为正方形,
所以 .
因为 平面平面,平面平面,平面,
所以 平面. ………………2分
因为 平面,
所以 . ………………4分
(2)解:如图,以点为坐标原点,分别以所在的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则.
所以 ,,. ………………6分
设平面的一个法向量为.
由得
令,得,所以 . ………………8分
设与平面所成角为,
则.
所以 与平面所成角的正弦值为. ………………10分
(3)解:直线与直线平行. 理由如下: ………………11分
由题意得,.
所以 .
所以 . ………………13分
因为 ,不重合,
所以 . ………………14分
另解:直线与直线平行. 理由如下:
取的中点,的中点,连接,,.
所以 且.
因为 为的中点,四边形是正方形,
所以 且.
所以 且.
所以 为平行四边形.
所以 且.
因为 四边形为梯形,,
所以 且. 所以 四边形为平行四边形.
所以 且. 所以 且.
所以 是平行四边形.所以 ,即. ………………14分