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已知椭圆C:离心率
,短轴长为
25.求椭圆的标准方程;
26.设直线过椭圆C的右焦点,并与椭圆相交于E,F两点,截得的弦长为
,求直线
的方程;
27. 如图,椭圆左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重 合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点.试问:以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论.
正确答案
见解析
解析
由短轴长为,得
,
由,得
.
∴椭圆的标准方程为
.
考查方向
解题思路
利用椭圆的概念与所给的离心率,求出a和b的值,进而得到椭圆C的方程,
易错点
计算能力
正确答案
见解析
解析
1)当直线的斜率存在时,
设直线方程:
2)当直线的斜率不存在时,
不符合.
直线方程为
和
.
考查方向
解题思路
直线与椭圆建立关系,根据截取的弦长为桥梁,求解出直线的方程,
易错点
计算能力
正确答案
见解析
解析
以为直径的圆过定点
.
证明如下:
设,则
,且
,
即,
∵,
∴直线方程为:
,
∴ 直线
方程为:
,
∴, 以
为直径的圆为
【或通过求得圆心,
得到圆的方程】
即,
∵,
∴,
令
,则
,解得
.
∴以为直径的圆过定点
.
考查方向
解题思路
将直线方程和椭圆方程联立,求出圆的方程。然后判断其是否经过定点。
易错点
计算能力
已知函数
,
28.求曲线在
处的切线与直线
垂直,求
的值;
29.若关于x的不等式恒成立,求整数
的最小值;
30.若,
设
.且正实数
,
满足
,求证:
.
正确答案
见解析
解析
切线的斜率
考查方向
解题思路
确定函数的定义域,利用导数求函数的单调性区间,根据题意构造出恰当的函数,利用函数与不等式之间的关系,证明结论。
易错点
求导错误,没有构造出适合的函数
正确答案
见解析
解析
由题意,
设
①当时,因为
,
所以所以
在
上是单调递增函数,
,
所以关于x的不等式不能恒成立.
②当时,
.
令,
因为,得
,
所以当时,
;
当时,
.
因此函数在
是增函数,在
是减函数.
故函数的最大值为
.
令,
因为在
上是减函数,
又因为,
,
所以当时,
.
所以整数m的最小值为2.
考查方向
解题思路
确定函数的定义域,利用导数求函数的单调性区间,根据题意构造出恰当的函数,利用函数与不等式之间的关系,证明结论。
易错点
求导错误,没有构造出适合的函数
正确答案
见解析
解析
时,
由
,
得,即
,
整理得,
令,则由
得,
,
可知在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
所以,
所以,
解得,
因为为正数,
所以成立.
考查方向
解题思路
确定函数的定义域,利用导数求函数的单调性区间,根据题意构造出恰当的函数,利用函数与不等式之间的关系,证明结论。
易错点
求导错误,没有构造出适合的函数
已知函数
15.求函数的对称轴方程,并求在区间
上的最值;
16.设的内角
、
、
的对边分别为
、
、
,满足
,
,且
,求
、
的值.
正确答案
见解析
解析
,
对称轴方程为:
因为在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
所以,当时,
取最大值 1
又 ,
当时,
取最小值
考查方向
解题思路
第1问,根据条件化简整理成同名三角函数,然后根据其性质,确定对称轴和最值,第二问,利用正弦定理求a、b的值。
易错点
正弦定理、余弦定理的性质掌握不好
正确答案
见解析
解析
,
,
,
,
因为,
所以由正弦定理得
由余弦定理得,
即
解得:,
考查方向
解题思路
第1问,根据条件化简整理成同名三角函数,然后根据其性质,确定对称轴和最值,第二问,利用正弦定理求a、b的值。
易错点
正弦定理、余弦定理的性质掌握不好
A、B两袋中各装有大小相同的小球9个,其中A袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2,3,4,B袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,甲从A袋中取球,乙从B袋中取球.
17.若甲、乙各取一球,求两人中所取的球颜色不同的概率;
18.若甲、乙各取两球,称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法,记两人成功取法的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
正确答案
见解析
解析
设事件为“两人中所取的球颜色不同”, 则
.
考查方向
解题思路
第一问将所有可能的情况列举出来求解,第二问根据随机变量分布列的概念及特征,一次写出当随机变量取不同值时的情况。
易错点
考虑情况不全面
正确答案
见解析
解析
依题意,的可能取值为0,1,2.
甲所取的两球颜色相同的概率为,
乙所取的两球颜色相同的概率为,
,
,
,
所以X的分布列为:
.
考查方向
解题思路
第一问将所有可能的情况列举出来求解,第二问根据随机变量分布列的概念及特征,一次写出当随机变量取不同值时的情况。
易错点
考虑情况不全面
已知在四棱锥中,底面
是边长为4的正方形,
是正三角形,平面
平面
分别是
的中点.
19.求证:平面
;
线段PM的长度,若不存在,说明理由.
20.求平面与平面
所成锐二面角的大小;线段PM的长度,若不存在,说明理由.
21.线段上是否存在一个动点M,使得直线
与平面
所成角为
,若存在,求线段PM的长度,若不存在,说明理由.
正确答案
见解析
解析
证明:∵平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD 平面ABCD =AD,
AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD
又∵EF//AB
∴EF⊥平面PAD
考查方向
解题思路
通过线线垂直、面面垂直,证明线面垂直
易错点
找不到二面角,辅助线作不出来
正确答案
见解析
解析
取AD中点O,连结PO
∵平面PAD⊥平面ABCD PO⊥AD
∴PO⊥平面ABCD
如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系
∴O(0,0,0)A(0,-2,0)
B(4,-2,0) C(4,2,0)
D(0,2,0),G(4,0,0),
,E(0,-1,
)
设平面EFG的法向量为,
,
又平面ABCD的法向量为,
设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为
∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为.
考查方向
解题思路
建立空间直角坐标系,利用空间向量计算
易错点
找不到二面角,辅助线作不出来
正确答案
见解析
解析
设,
,
,
,
即,无解,
不存在这样的M.
考查方向
解题思路
第1问通过线线垂直、面面垂直,证明线面垂直
第2问建立空间直角坐标系,利用空间向量计算
第3问,利用余弦定理表示出平面角的值,然后整理成一元二次方程,判断其是否有根。
易错点
找不到二面角,辅助线作不出来
已知等比数列的公比
,首项
,
成等差数列.
22.求数列的通项公式;
23.求数列的前
项和
;
24.若,
为数列
的前
项和,求不超过
的最大的整数k.
正确答案
见解析
解析
成等差数列,
∴
,
∴
考查方向
解题思路
第1问,根据Sn求an,第2问,构造适当的数列,错位相消,得到前n项和Tn,第3问,根据数列公式,裂项相消,算出p2016的值。
易错点
相关公式记错,不会构造数列
正确答案
见解析
解析
由(1),
∴ ①
②
-②得,
考查方向
解题思路
第1问,根据Sn求an,第2问,构造适当的数列,错位相消,得到前n项和Tn,第3问,根据数列公式,裂项相消,算出p2016的值。
易错点
相关公式记错,不会构造数列
正确答案
见解析
解析
由,得
不超过
的最大的整数k是2016.
考查方向
解题思路
第1问,根据Sn求an,第2问,构造适当的数列,错位相消,得到前n项和Tn,第3问,根据数列公式,裂项相消,算出p2016的值。
易错点
相关公式记错,不会构造数列
3.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的的值是 ( )
正确答案
解析
k=0,s=0s=1,k=2,
不满足判断框中条件s=3,k=3,
不满足判断框中条件s=11,k=4,
不满足判断框中条件s=+11>100,
满足判断中条件,
直接输出k,此时k=4
所以选A.
考查方向
解题思路
顺序结构,循环结构,判断结构
易错点
循环语句理解错误,判断条件看错
知识点
4.下列说法错误的是( )
正确答案
解析
A B C都正确,D选项中,若p且q为假命题,则p为假命题或q为假命题,所以此题选D
考查方向
解题思路
根据选项依次判断
易错点
相关概念混淆
知识点
5.在的二项展开式中,含
的系数为( )
正确答案
解析
该二次项展开为,
即,
展开式中的系数,
可令,
所以,
所以的系数为
=
,
所以选B
考查方向
解题思路
根据二项式展开式,求得
易错点
二项式展开后,忽略某几项乘积为时的系数
知识点
1.设是虚数单位,复数
=( )
正确答案
解析
根据题意得:,所以选D
考查方向
解题思路
分子分母同时乘以,化简整理,得出正确选项
易错点
忽略这一等式
知识点
8.定义在R上的奇函数,当
时,
,则关于
的函数
的所有零点之和为 ( )
正确答案
解析
通过图象大致情况,可以求出零点,并可以判断出零点的和为,所以选C
考查方向
解题思路
先根据奇函数的性质求f(x)图像,利用数列求和
易错点
根据零点的位置 推导出规律求零点的和
知识点
2.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+3y的最小值为( )
正确答案
解析
由题意可知,可行域为下图红色区域部分,所以可知,当目标函数经过C(1,1)时候,目标函数有最小值,为4,所以选C
考查方向
解题思路
先根据约束条件作出可行域,然后根据目标函数求最值
易错点
可行域作错,目标函数最值找不到
知识点
6.已知双曲线与抛物线
的一个交点为
,
为抛物线的焦点,若
,则双曲线的渐近线方程( )
正确答案
解析
因为P在抛物线上,
,
所以满足
,
所以,
解得,因为点P在双曲线上,
将P点坐标带入,可得m=3,
所以渐近线方程为,
所以选C.
考查方向
解题思路
以PF等于5为突破口,建立方程,求出m的值,进而求出双曲线的渐近线方程
易错点
建立方程后,解方程错误
知识点
7.如图,菱形的边长为2,
,
为
的中点, 若
为菱形内任意一点(含边界),则
的最大值为( )
正确答案
解析
以点A坐标为原点建立如图所示的直角坐标系,因为菱形的边长为2,可以得到A(0,0),B(2,0),CD
,M
,所以可得
,结合图象可得当目标函数经过C点时,Z取最大值为9.所以选D
考查方向
解题思路
建立适当的坐标系,利用线性规划理论,求目标函数最大值
易错点
没能正确建立坐标系
知识点
9.为了解某校高中学生的近视眼发病率,在该校学生中进行分层抽样调查,已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名,若高三学生共抽取14名,则高一学生共抽取___________名.
正确答案
15
解析
三个年级一共840人,根据比例,高三学生抽取5%,则高一也该抽取5%,所以为15名。
考查方向
解题思路
根据比例计算
易错点
没有按比例抽取学生人数
知识点
10.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是____________.
正确答案
解析
因为三棱锥的表面积是.
由题意易知,
.
又因为平面
,
所以,
又因,
所以.
故.
考查方向
解题思路
根据主视图和左视图判断俯视图的相关线段的大小
易错点
从三视图还原成空间几何体错误
知识点
12.由不等式组确定的平面区域为A,曲线xy=1和直线y=x以及直线
围成的封闭区域为B ,在A中随机取一点,则该点恰好在B内的概率为___________.
正确答案
解析
做出区域A和B的位置,如下图,B为图中绿色部分,易得,A的面积为9,求B的面积应用积分,,所以所求概率为
考查方向
解题思路
根据题意做出图形,然后求出区域A和区域B的面积,进而求出概率
易错点
求不出区域B的面积
知识点
14.已知U=R,关于的不等式
的解集是
,且
,则
,实数
的的取值集合为A. 集合
,则
__________.
正确答案
解析
根据题意,可得,根据基本不等式可以得到A的取值范围,同理可以利用函数求最值的性质,得到集合B的取值范围,进而求解
,所以填
考查方向
解题思路
根据所给条件,分别求出集合A和集合B的代表元素的取值范围,然后求集合间的运算
易错点
化简集合
知识点
11.在直角坐标系中,直线
的参数方程为
为参数),以该直角坐标系的原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,曲线
的方程
.曲线
上任意一点到直线
距离的最小值为___________.
正确答案
解析
由C1的参数方程消去参数t得普通方程,,
C2的直角坐标方程为:,
作图可知,圆上点(-2,2)到直线的距离最小,
最小值为:
考查方向
解题思路
先根据所给条件得到普通方程,然后利用点到直线的距离公式求得
易错点
坐标转换出错,计算错误
知识点
13.如图,为圆
的直径,
为圆
上一点,
和过
的切线互相垂直,垂足为
,过
的切线交过
的切线于
,
交圆
于
,若
,
,则
__________.
正确答案
3
解析
由题意可得,圆的半径为2,
设PT与AB交于点M,因为角BTC=120度,
所以角COB等于角BTM等于60度。
角BMT等于30度,
,
,
所以可知,,
因为,
所以
所以,
由切割线定理可知
考查方向
解题思路
先求出MC的值,然后利用切割线定理求PQ和PB的乘积
易错点
相关性质混淆