理科数学 郑州市2017年高三第一次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合,则(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

考查方向

本题主要考查了不等式的解法,集合的表示,交集运算.

解题思路

①利用一元二次不等式的解法化简,利用指数不等式的解法化简.

②借助交集的定义,求集合的交集即可.A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所有选B选项。

易错点

指数不等式的运算.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.命题“”的否定是(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

特称命题的否定是全称命题:故选A

考查方向

本题主要考查了全称命题与特称命题的互化.

解题思路

特称命题的否定是:把改为,其它条件不变,然后否定结论,变为一个全称命题.即B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所有选A选项。

易错点

写含量词的命题的否定时.只要将“任意”与“存在”互换.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.函数的图像大致为(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意,定义域为

上的奇函数

,故错误

.答案为:C

考查方向

本题主要考查了函数的图像与奇偶性.

解题思路

首先知函数为奇函数,排除,然后利用特殊值排除.所有选C选项。

易错点

函数奇偶性的判断

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.已知数列满足,且对任意都有,则实数的取值范围为(    )

A

B[)

C

D

正确答案

D

解析

由题意,

两式相除得

也满足

综上所述,答案:D

考查方向

本题主要考查了等比数列的前和公式和不等式的放缩问题.

解题思路

A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所有选D选项.

易错点

不等式的放缩问题.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.设正实数满足,不等式恒成立,则的最大值为(    )

A

B

C8

D16

正确答案

C

解析

由题意,设

当且仅当,即时,取等号.

的最大值为8.答案为:C

考查方向

本题主要考查了不等式的基本性质.

解题思路

首先用构造满足均值不等式的特征然后使用均值不等式.排除,D.所有选C选项。

易错点

构造均值不等式成立的形式.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.若复数满足为虚数单位),则的共轭复数为(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

令复数

的共轭复数为:

综上所述,答案选为:D

考查方向

本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,共轭复数的概念.

解题思路

由.,化简后可求共轭复数.A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所有选D选项。

易错点

复数代数形式的乘除运算.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.《张丘建算经》卷上第22 题为:“今有女善织,日益功疾,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第一天织5尺布,现在一月(按30天计),共织390尺布”,则该女最后一天织多少尺布?(    )

A18

B20

C21

D25

正确答案

C

解析

设该女织布每天增加尺,

由题意知,

解得,故该女最后一天织布尺.

考查方向

本题主要考查了等差数列的前项和公式和等差数列的通项公式.

解题思路

由题设从第2天开始,每天多织尺布,由等差数列前项和公式结合已知条件求出公差,由等差数列的通项公式求出该女第30天所织的布的尺数.A选项不正确,B选项不正确,D选项不正确,所有选C选项。

易错点

数学史与数学知识的结合.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.我们可以用随机数法估计的值,下面程序框图表示其基本步骤(函数是产生随机数的函数,它能随机产生内的任何一个实数),若输出的结果为521,则由此可估计的近似值为(    )

A3.119

B3.126

C3.132

D3.151

正确答案

B

解析

发生的概率

当输出结果为521时,

发生的概率

,即,综上所述答案选择:B

考查方向

本题主要考查了函数随机数和几何概型.

解题思路

根据已知中的函数是产生随机数的,它能随机产生内的任何一个实数及已知中的程序框图,我们可分析出程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取上的3个数.求的概率.分析计算满足的体积代入几何概型公式得,A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所有B选项。

易错点

几何概型中对应比.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(    )

A80

B160

C240

D480

正确答案

B

解析

由三视图知,该几何体为三棱柱截去一个三棱锥剩余的部分,几何体的体积为.所以答案为:B

考查方向

本题主要考查了三视图和组合体的体积结合.

解题思路

由三视图还原成直观图后为三棱柱截去一个三棱锥剩余部分.A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所有选B选项。

易错点

由三视图到直观图的转换.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.设,则的展开式中常数项是(    )

A-160

B160

C-20

D20

正确答案

A

解析

由题意,所以二项式

,展开式的通项为:

所以时得到常数项为.答案为:A

考查方向

本题主要考查了微积分基本定理.

解题思路

首先利用定积分求出,然后写出二项展开式的通项,确定常数项的取值.B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所有选A选项。

易错点

定积分和微积分公式的使用.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.已知直线与双曲线相切于点与双曲线两条渐近线交于两点,则的值为(    )

A3

B4

C5

D的位置有关

正确答案

A

解析

不存在时,直线,将代入得到,;当存在时,设直线的方程为,.答案为:A

考查方向

本题主要考查了不等式的基本性质.

解题思路

首先用构造满足均值不等式的特征然后使用均值不等式.排除,D.所有选C选项。

易错点

构造均值不等式成立的形式.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.已知函数,若,且对任意的恒成立,则的最大值为(    )

A2

B3

C4

D5

正确答案

B

解析

因为所以对任意恒成立,

,因为,也就是对任意恒成立.

,则,

,则

所以函数上单调递增.

因为

所以方程上存在唯一实根,且满足

时,,即

,即

所以函数上单调递减,在上单调递增.

所以

所以.故整数的最大值是3因为答案为:B

考查方向

本题主要考查了导数的应用.

解题思路

把函数的解析式代入,整理后得,问题转化为对任意,恒成立,求正整数的值.设函数,求其导函数,得到其导函数的零点位于内,且知此零点为函数的最小值点,经求解知,从而得到,则正整数的最大值可求.排除,D.所有选B选项。

易错点

函数求导.

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.在平面直角坐标系中,已知角的顶点和点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边上一点坐标为,则         

正确答案

解析

因为终边上一点的坐标为,所以,

考查方向

本题主要考查了任意角的三角函数的定义和两角和与差的正切函数。

解题思路

本题考查由已知点求正切值,然后代入正切的和角公式,得到结果.

易错点

本题必须熟悉特殊角的正切值,正切的和交换公式。

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知实数满足不等式组,则的最小值为         

正确答案

解析

有约束条件作出可行域可得满足条件的区域在三角形内,因为,由,得,,由,得,,由,得,,所以的最小值为-13

考查方向

本题主要考查了线性约束条件。

解题思路

本题考查由线性约束条件画出可行域,转化目标函数为分段函数,根据角点法,求出目标函数的最小值.

易错点

本题注意可行域的找法。

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.若函数满足都有,且,则         

正确答案

解析

,得,

,得

所以,猜想

下面用数学归纳法证明:

显然当时,命题成立

假设当时,命题都成立

所以

所以当时,命题也成立

所以

所以,综上所述,答案:4033

考查方向

本题主要考查数学归纳法.

解题思路

本题先领特殊值求出,由前四项猜想,然后使用数学归纳法证明出结果,最后求出结果.

易错点

本题由前几个猜想通式.

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.过抛物线的焦点作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于两点,则         

正确答案

解析

,,所以焦点,设直线的方程为,将直线方程代入抛物线方程,化简得,,所以

可求

考查方向

本题主要考查了抛物线中的焦点弦的求法。

解题思路

本题先设出两点坐标,将直线方程代入抛物线化简求得,然后求出,得到.

易错点

本题注意弦长公式。

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分
false

20.求二面角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

如图建立空间直角坐标系,,

……………8分

设平面的法向量,

, .…10分

设平面的法向量,

,令 ,

,二面角的余弦值为 ……………12分

考查方向

本题主要考查了面面垂直的证明和求二面角的余弦值.

解题思路

空间直角坐标系构造空间向量,利用公式求最后结果.

易错点

空间直角坐标系的建立.

1
题型:简答题
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分值: 12分

北京时间3月15日下午,谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量,获得本场比赛胜利,最终人机大战总比分定格在1:4.人机大战也引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.

21.根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关?

22.将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列,期望和方差.

附:,其中.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

因为,所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关

解析

由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“围棋迷”有25人,…1分

从而列联表如下:

……………3分

列联表中的数据代入公式计算,得

因为,所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关. ……………6分

考查方向

本题主要考查了二联列表和,和的分布列以及期望方差.

解题思路

本题先列出列联表如下:

然后求出

易错点

值的化简

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0. 25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为.由题意,从而的分布列为

……………10分

 ……………12分

考查方向

本题主要考查了二联列表和,和的分布列以及期望方差.

解题思路

求出x的分布为

易错点

值的化简

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知外接圆直径为,角所对的边分别为.

17.求的值;

18.若,求的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由正弦定理可得:,……2分

所以

.       ……6分

考查方向

本题主要考查了正余弦定理的应用和三角形的面积公式.

解题思路

本题先用正弦定理求出

易错点

正余弦定理

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,得……………8分

由余弦定理得,即

,所以,解得(舍去).……10分

所以.……………12分

考查方向

本题主要考查了正余弦定理的应用和三角形的面积公式.

解题思路

使用余弦定理求出结果.利用面积公式求出.

易错点

正余弦定理

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知圆与直线相切,设点为圆上一动点,轴于,且动点满足,设动点的轨迹为曲线.

23.求曲线的方程;

24.直线与直线垂直且与曲线交于两点,求面积的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设动点因为轴于,所以,……1分

设圆的方程为

由题意得

所以圆的程为.……………3分

由题意, ,所以,所以,即

代入圆,得动点的轨迹方程 ,……………5分

考查方向

本题考查了椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系和求三角形面积.

易错点

椭圆的轨迹方程和求面积.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

面积的最大值为.

解析

由题意设直线l设直线与椭圆交于

,联立方程

,解得

又因为点到直线的距离 ……………10分.

面积的最大值为.……………12分

考查方向

本题考查了椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系和求三角形面积.

解题思路

本题先求出,然后求出

易错点

椭圆的轨迹方程和求面积.

1
题型:简答题
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分值: 12分

设函数.

25.若当时,函数的图像恒在直线上方,求实数的取值范围;

26.求证:.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

上单调递增,即

解析

,则……………2分

①当时,由于,有

于是上单调递增,从而,因此上单调递增,即;……………3分

②当时,由于,有

于是上单调递减,从而

因此上单调递减,即不符;……………4分

③当时,令,当时,

,于是上单调递减,

从而,因此上单调递减,

而且仅有不符.

综上可知,所求实数的取值范围是.……………6分

考查方向

导数的应用,利用导数解决不等式证明问题

解题思路

本题先求导数然后讨论求单调区间,求出实数的取值范围是.

易错点

函数求导,

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

对要证明的不等式等价变形如下:

对于任意的正整数,不等式恒成立,等价变形

相当于(2)中的情形,……………8分

上单调递减,即;……………10分

,得:都有成立;

得证. ……………12分

考查方向

导数的应用,利用导数解决不等式证明问题

解题思路

利用不等式构造求出 n=1000

易错点

函数求导,

1
题型:简答题
|
分值: 10分

已知,函数的最小值为4.

29.求的值;

30.求的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

4

解析

因为,

所以,当且仅当时,等号成立,又

所以,所以的最小值为,所以..………………5分

考查方向

绝对值不等式

解题思路

本题先,然后求出.

易错点

绝对值不等式放缩公式

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由上题知

,

当且仅当时,的最小值为.………………10分

考查方向

绝对值不等式

解题思路

利用上一题的结论构造求出的最小值为.

易错点

绝对值不等式放缩公式

1
题型:简答题
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分值: 10分

在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线是圆心为,半径为1的圆.

27.求曲线的直角坐标方程;

28.设为曲线上的点,为曲线上的点,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

消去参数可得的直角坐标方程为.

曲线的圆心的直角坐标为

的直角坐标方程为……………4分

考查方向

参数方程与极坐标方程的互化,点到线之间的距离

解题思路

本题先求出,然后求出

易错点

参数方程与极坐标方程的互化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

.

.

根据题意可得

的取值范围是.………………10分

考查方向

参数方程与极坐标方程的互化,点到线之间的距离

解题思路

设出点求出得出结果

易错点

参数方程与极坐标方程的互化

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