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1.已知集合,则
( )
正确答案
解析
考查方向
解题思路
①利用一元二次不等式的解法化简,利用指数不等式的解法化简
.
②借助交集的定义,求集合,
的交集即可.A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所有选B选项。
易错点
指数不等式的运算.
3.命题“”的否定是( )
正确答案
解析
特称命题的否定是全称命题:
故选A
考查方向
解题思路
特称命题的否定是:把
改为
,其它条件不变,然后否定结论,变为一个全称命题.即
B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所有选A选项。
易错点
写含量词的命题的否定时.只要将“任意”与“存在”互换.
8.函数的图像大致为( )
正确答案
解析
由题意,定义域为
,
为
上的奇函数
,故
与
错误
.答案为:C
考查方向
解题思路
首先知函数为奇函数,排除,然后利用特殊值排除
.所有选C选项。
易错点
函数奇偶性的判断
9.已知数列满足
,且对任意
都有
,则实数
的取值范围为( )
正确答案
解析
由题意,
两式相除得
也满足
综上所述,答案:D
考查方向
解题思路
A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所有选D选项.
易错点
不等式的放缩问题.
10.设正实数满足
,不等式
恒成立,则
的最大值为( )
正确答案
解析
由题意,设
且
则
当且仅当,即
时,取等号.
即
的最大值为8.答案为:C
考查方向
解题思路
首先用构造满足均值不等式的特征然后使用均值不等式.排除
,D.所有选C选项。
易错点
构造均值不等式成立的形式.
2.若复数满足
(
为虚数单位),则
的共轭复数为( )
正确答案
解析
令复数
的共轭复数为:
综上所述,答案选为:D
考查方向
解题思路
由.,化简后可求共轭复数.A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所有选D选项。
易错点
复数代数形式的乘除运算.
4.《张丘建算经》卷上第22 题为:“今有女善织,日益功疾,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第一天织5尺布,现在一月(按30天计),共织390尺布”,则该女最后一天织多少尺布?( )
正确答案
解析
设该女织布每天增加尺,
由题意知,
解得,
故该女最后一天织布
尺.
考查方向
解题思路
由题设从第2天开始,每天多织尺布,由等差数列前
项和公式结合已知条件求出公差,由等差数列的通项公式求出该女第30天所织的布的尺数.A选项不正确,B选项不正确,D选项不正确,所有选C选项。
易错点
数学史与数学知识的结合.
5.我们可以用随机数法估计的值,下面程序框图表示其基本步骤(函数
是产生随机数的函数,它能随机产生
内的任何一个实数),若输出的结果为521,则由此可估计
的近似值为( )
正确答案
解析
发生的概率
当输出结果为521时,
发生的概率
,即
,综上所述答案选择:B
考查方向
解题思路
根据已知中的函数是产生随机数的,它能随机产生
内的任何一个实数及已知中的程序框图,我们可分析出程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取
上的3个数
.求
的概率.分析计算满足
和
的体积代入几何概型公式得,A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所有B选项。
易错点
几何概型中对应比.
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
正确答案
解析
由三视图知,该几何体为三棱柱截去一个三棱锥剩余的部分,几何体的体积为.所以答案为:B
考查方向
解题思路
由三视图还原成直观图后为三棱柱截去一个三棱锥剩余部分.A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所有选B选项。
易错点
由三视图到直观图的转换.
7.设,则
的展开式中常数项是( )
正确答案
解析
由题意,所以二项式
,展开式的通项为:
所以时得到常数项为
.答案为:A
考查方向
解题思路
首先利用定积分求出,然后写出二项展开式的通项,确定常数项的取值.B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所有选A选项。
易错点
定积分和微积分公式的使用.
11.已知直线与双曲线
相切于点
与双曲线两条渐近线交于
两点,则
的值为( )
正确答案
解析
当不存在时,直线
为
,将
代入
和
得到
,
;当
存在时,设直线
的方程为
,.答案为:A
考查方向
解题思路
首先用构造满足均值不等式的特征然后使用均值不等式.排除
,D.所有选C选项。
易错点
构造均值不等式成立的形式.
12.已知函数,若
,且
对任意的
恒成立,则
的最大值为( )
正确答案
解析
因为所以
对任意
恒成立,
即,因为
,也就是
对任意
恒成立.
令,则
,
令,则
所以函数在
上单调递增.
因为
所以方程在
上存在唯一实根
,且满足
当时,
,即
当时
,即
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增.
所以
所以,
.故整数
的最大值是3因为答案为:B
考查方向
解题思路
把函数的解析式代入
,整理后得
,问题转化为对任意
,
恒成立,求正整数
的值.设函数
,求其导函数,得到其导函数的零点
位于
内,且知此零点为函数
的最小值点,经求解知
,从而得到
,则正整数
的最大值可求.排除
,D.所有选B选项。
易错点
函数求导.
13.在平面直角坐标系中,已知角
的顶点和点
重合,始边与
轴的非负半轴重合,终边上一点
坐标为
,则
.
正确答案
解析
因为终边上一点
的坐标为
,所以
,
考查方向
解题思路
本题考查由已知点求正切值,然后代入正切的和角公式,得到结果.
易错点
本题必须熟悉特殊角的正切值,正切的和交换公式。
14.已知实数满足不等式组
,则
的最小值为 .
正确答案
解析
有约束条件作出可行域可得满足条件的区域在三角形内,因为
,由
,得
,
,由
,得
,
,由
,得
,
,所以
的最小值为-13
考查方向
解题思路
本题考查由线性约束条件画出可行域,转化目标函数为分段函数,根据角点法,求出目标函数的最小值.
易错点
本题注意可行域的找法。
16.若函数满足
都有
,且
,则
.
正确答案
解析
在中
令,得
,
令,得
所以,猜想
下面用数学归纳法证明:
显然当时,命题成立
假设当时,命题都成立
令得
所以
所以当时,命题也成立
所以
所以,综上所述,答案:4033
考查方向
解题思路
本题先领特殊值求出,由前四项猜想
,然后使用数学归纳法证明出结果
,最后求出结果.
易错点
本题由前几个猜想通式.
15.过抛物线的焦点
作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于
两点,则
.
正确答案
解析
设
,
,所以焦点
,设直线的方程为
,将直线方程代入抛物线方程,化简得,
,所以
可求
考查方向
解题思路
本题先设出两点坐标,将直线方程代入抛物线化简求得
,然后求出
,得到
.
易错点
本题注意弦长公式。
20.求二面角的余弦值.
正确答案
解析
如图建立空间直角坐标系,
,
,
……………8分
设平面的法向量
,
由
令,
.…10分
设平面的法向量
,
由,令
,
,
二面角
的余弦值为
……………12分
考查方向
解题思路
空间直角坐标系构造空间向量,利用公式求最后结果.
易错点
空间直角坐标系的建立.
北京时间3月15日下午,谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量,
获得本场比赛胜利,最终人机大战总比分定格在1:4.人机大战也引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
21.根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关?
22.将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求
的分布列,期望
和方差
.
附:,其中
.
正确答案
因为,所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关
解析
由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“围棋迷”有25人,…1分
从而列联表如下:
……………3分
将列联表中的数据代入公式计算,得
因为,所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关. ……………6分
考查方向
解题思路
本题先列出列联表如下:
然后求出
易错点
值的化简
正确答案
.
解析
由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0. 25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为.由题意
,从而
的分布列为
……………10分
.
……………12分
考查方向
解题思路
求出x的分布为
.
易错点
值的化简
已知外接圆直径为
,角
所对的边分别为
.
17.求的值;
18.若,求
的面积.
正确答案
解析
由正弦定理可得:,……2分
所以,
,
. ……6分
考查方向
解题思路
本题先用正弦定理求出,
,
易错点
正余弦定理
正确答案
解析
由,得
……………8分
由余弦定理得,即
,
又,所以
,解得
或
(舍去).……10分
所以.……………12分
考查方向
解题思路
使用余弦定理求出结果.利用面积公式求出.
易错点
正余弦定理
已知圆与直线
相切,设点
为圆上一动点,
轴于
,且动点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
.
23.求曲线的方程;
24.直线与直线
垂直且与曲线
交于
两点,求
面积的最大值.
正确答案
解析
设动点,
因为
轴于
,所以
,……1分
设圆的方程为
由题意得,
所以圆的程为
.……………3分
由题意, ,所以
,所以,即
将
代入圆,得动点
的轨迹方程
,……………5分
考查方向
易错点
椭圆的轨迹方程和求面积.
正确答案
面积的最大值为
.
解析
由题意设直线l设直线
与椭圆交于
,联立方程
得
,
,解得
,
,
又因为点到直线
的距离
,
……………10分
.
面积的最大值为
.……………12分
考查方向
解题思路
本题先求出,然后求出
易错点
椭圆的轨迹方程和求面积.
设函数.
25.若当时,函数
的图像恒在直线
上方,求实数
的取值范围;
26.求证:.
正确答案
在
上单调递增,即
解析
令,则
,
,
……………2分
①当时,由于
,有
,
于是在
上单调递增,从而
,因此
在
上单调递增,即
;……………3分
②当时,由于
,有
,
于是在
上单调递减,从而
,
因此在
上单调递减,即
不符;……………4分
③当时,令
,当
时,
,于是
在
上单调递减,
从而,因此
在
上单调递减,
即而且仅有
不符.
综上可知,所求实数的取值范围是
.……………6分
考查方向
解题思路
本题先求导数,
,
然后讨论求单调区间,求出实数
的取值范围是
.
易错点
函数求导,
正确答案
略
解析
对要证明的不等式等价变形如下:
对于任意的正整数,不等式
恒成立,等价变形
相当于(2)中
,
的情形,……………8分
在
上单调递减,即
;……………10分
取,得:都有
成立;
令得证. ……………12分
考查方向
解题思路
利用不等式构造求出 n=1000
易错点
函数求导,
已知,函数
的最小值为4.
29.求的值;
30.求的最小值.
正确答案
4
解析
因为,,
所以,当且仅当
时,等号成立,又
,
所以,所以
的最小值为
,所以
..………………5分
考查方向
解题思路
本题先,然后求出
.
易错点
绝对值不等式放缩公式
正确答案
解析
由上题知,
,
当且仅当时,
的最小值为
.………………10分
考查方向
解题思路
利用上一题的结论构造求出的最小值为
.
易错点
绝对值不等式放缩公式
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
是圆心为
,半径为1的圆.
27.求曲线的直角坐标方程;
28.设为曲线
上的点,
为曲线
上的点,求
的取值范围.
正确答案
解析
消去参数可得
的直角坐标方程为
.
曲线的圆心的直角坐标为
,
∴的直角坐标方程为
……………4分
考查方向
解题思路
本题先求出,然后求出
易错点
参数方程与极坐标方程的互化
正确答案
解析
设
则
.
,
,
.
根据题意可得,
即的取值范围是
.………………10分
考查方向
解题思路
设出点求出
,
得出结果
易错点
参数方程与极坐标方程的互化