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复数满足,则=( )
正确答案
5. 函数的部分图象如图所示,则( )
正确答案
已知双曲线:的左、右焦点分别为,,是双曲线右支上一点,且,若直线与圆相切,则双曲线的离心率为( )
正确答案
设集合,,若,则实数取值的集合是( )
正确答案
设为所在平面内一点,,则( )
正确答案
函数的图象大致为( )
正确答案
宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的分别为5,2,则输出的为( )
正确答案
如图,过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、,交其准线于点,若,且,则此抛物线的方程为( )
正确答案
8. 如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
正确答案
在中,,边上的高等于,则( )
正确答案
已知函数 ,若,则的最小值是( )
正确答案
已知函数为定义在上的可导函数,是的导函数,且恒有成立则( )
正确答案
某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(2)设为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列和数学期望.
正确答案
在公差不为零的等差数列{}中,,成等比数列.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设数列{}的前项和为,记. 求数列的前项和.
正确答案
答案:
(1)设{}的公差为,因为,成等比数列,
所以. 即,
而,解得:,所以 6分
(2)由(1)知:
所以,
所以. 12分
已知点为椭圆的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线与椭圆有且仅有一个交点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与轴交于,过点的直线与椭圆交于不同的两点.若,求实数的取值范围.
正确答案
答案:
(1)由题意,得a=2c,b=c,则椭圆E为+=1.
由,得x2-2x+4-3c2=0.
∵直线+=1与椭圆E有且仅有一个交点M,
∴Δ=4-4(4-3c2)=0?c2=1, ∴椭圆E的方程为+=1. 5分
(2)由(1)得,
∵直线+=1与y轴交于P(0,2), ∴|PM|2=,
当直线l与x轴垂直时,
|PA|·|PB|=(2+)×(2-)=1, ∴λ|PM|2=|PA|·|PB|?λ=,
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
由?(3+4k2)x2+16kx+4=0,
依题意得,x1x2=,且Δ=48(4k2-1)>0,
∴|PA|·|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)·=1+=λ,
∴λ=(1+), ∵k2>,∴<λ<1. 综上所述,λ的取值范围是[,1).
12分
已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线 在点处的切线与轴平行.
(1)求的值;
(2)求的单调区间;
(3)设,其中是的导函数.证明:对任意,
.
正确答案
答案:
(1),依题意,为所求. 3分
(2)此时
记,,
所以在,单减,又,
所以,当时,,,单增;
当 时,,,单减.
所以,增区间为(0,1) 减区间为(1,. 7分
(3),先研究,再研究.
① 记,,令,得,
当,时,,单增;
当,时,,单减 .[:]
所以,,即.
② 记,,所以在,单减,
所以,,即
综①②知,. 12分
已知曲线的极坐标方程为,直线:,直线:.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求直线,的直角坐标方程以及曲线的参数方程;
(2)已知直线与曲线交于,两点,直线与曲线交于,两点,求的面积.
正确答案
答案:
(1)依题意,直线的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为.
因为,故,故,故,故曲线的参数方程为(为参数). 5分
(2)联立得到,同理.
又,所以
即的面积为. 10分
正确答案
已知函数,则 .
正确答案
已知过点的直线被圆所截得的弦长为8,那么直线的方程为________.
正确答案
或
16. 如图所示,在同一个平面内,向量,,的模分别为,,,与的夹角为,且,与的夹角为.若, 则 .
正确答案
3
在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球,若,,,则的最大值是 .