理科数学 热门试卷

（Ⅰ）解：因为,所以.         

（Ⅱ）证明：假设存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.

设，，，，由已知,

由于，所以，.

不妨令，，这里，且，

同理，，且，

因为只有三个元素，所以.

即，但是，与已知矛盾.

因此假设不成立，即不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.               

（Ⅲ）当时,记,.记，

则，显然对任意，不存在，使得成立. 故是非“和谐集”，此时.同样的，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.

因此.

下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.

设，

若1，14，21中之一为集合的元素，显然为“和谐集”.

现考虑1，14，21都不属于集合，构造集合，，，，，.

以上每个集合中的元素都是倍数关系.考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系.

综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7.                                 

（1）因为，

所以          

.       

（2）在中，因为，所以， 

因为，所以，  

根据正弦定理，       

所以，

又，所以.          

解：（1）依题意，，

，

由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

（2）记水电站年总利润为Y(单位：万元)．

①安装1台发电机的情形．

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，

对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.             

②安装2台发电机的情形．

依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝ p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)＝4200×0.2＋10 000×0.8＝8840.

③安装3台发电机的情形．

依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.由此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15 000×0.1＝8620. 

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．

解：

（1）连接.

由是正方形可知,点为中点.

又为的中点，

所以∥

又

所以∥平面

（2） 证明：由

所以

由是正方形可知, 

又所以

又所以

（3）解法一：

在线段上存在点，使.理由如下：

如图，取中点，连接.

四棱锥中，，所以

由（2）可知，而

所以，

因为

所以

故在线段上存在点，使.

由为中点，得

解法二：

由且底面是正方形，如图，

建立空间直角坐标系

由已知设，

则

设为线段上一点，且，

则

由题意，若线段上存在点，使，则，.

所以，，

故在线段上存在点，使，且

（I）解：，

依题意，令，解得．经检验，时，符合题意．

（II）令得

当时，与的变化情况入下表：

所以的单增区间是，单减区间是和；

当时，的单减区间是；

当时，，与的变化情况入下表：

所以的单增区间是，单减区间是和；

综上，当时，的单增区间是，单减区间是和；

当时，的单减区间是；

当时，的单增区间是，单减区间是和．

(III) 当时，在的最大值是，

由知不合题意；

当时，在上单减，可得在的最大值是，符合题意.