• 理科数学 西城区2015年高三试卷
单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1.已知集合,则AB=(  )

A

B[-1,0)

C

D

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1

2.设复数是虚数单位),则复数在复平面上对应的点位于(    )

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

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1

3.已知 ,且,则向量与向量的夹角为(        )

A

B

C

D

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1

4.椭圆的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )

A

B

C

D

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1

5.函数的图象大致为 (     )

A

B

C

D

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1

6.以下四个命题中:

①已知命题,“命题为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件;

②若命题p:“∃x∈R,使得x2+x+1<0”,则:“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”;

③记正棱柱的集合为直棱柱的集合为,则

④命题“若,则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1,则”.

其中真命题的个数为(   )

A4

B3

C2

D1

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1

7.如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的体积为(     )

A

B

C

D

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1

8. 某校举行玩具机器人竞速比赛,要求参赛的机器人在规定的轨道中前行5秒钟,以运动的路程长短来决定比赛成绩.已知某同学参赛的玩具机器人的运动速度(单位:米/秒)和时间 (单位:秒)的满足关系大致如图所示,那么该玩具机器人运动5秒钟后,行驶的路程(单位:米)可以是(   )

A

B

C

D

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填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1

9.若圆的极坐标方程为,圆心为,点的极坐标为,则__________.

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1

10.在等差数列中,若,则正整数_________.

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1

11.设二项式的展开式的二项式系数的和为,各项系数的和为,且,则的值为__________ .

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1

12.若满足 的最大值为,则实数__________.

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1

13. 已知,则的最小值是_________.

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1

14.在平面直角坐标系中,已知集合,集合.则:

(1)点集所表示的区域的面积为________;

(2)点集所表示的区域的面积为________.

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简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

15.在中,角的对边分别为.

(1)求的值;

(2)若,求的值.

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1

16.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.

(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率.

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:

若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

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1

17.在四棱锥中,底面是正方形,的中点.

(1)求证:∥平面

(2)求证:

(3)若在线段上是否存在点,使?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.

分值: 14分 查看题目解析 >
1

18. 已知函数,其中

(Ⅰ)若的极值点,求的值;

(Ⅱ)求的单调区间;

(Ⅲ)若上的最大值是,求的取值范围.

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1

19.已知圆经过点,且与直线相切,记圆心的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)过点的直线交曲线两点.在直线上任取一点,记依次为直线的斜率,证明:成等差数列.

分值: 14分 查看题目解析 >
1

20.对于正整数,存在唯一一对整数,使得. 特别地,当时,称能整除,记作,已知.

(Ⅰ)存在,使得,试求的值;

(Ⅱ)求证:不存在这样的函数,使得对任意的整数,若,则

(Ⅲ)若指集合B 中的元素的个数),且存在,则称为“和谐集”. 求最大的,使含的集合的有12个元素的任意子集为“和谐集”,并说明理由.

分值: 13分 查看题目解析 >
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