• 理科数学 南京市2016年高三期末试卷
简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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22.(选修4—2:矩阵与变换)

设矩阵的一个特征值为,若曲线在矩阵变换下的方程为,求曲线的方程.

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15.设函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式;

(2)当时,求的取值范围.

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16.如图,已知直三棱柱的侧面是正方形,点是侧面的中心,是棱的中点.

(1)求证:平面

(2)求证:平面平面.

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17.如图所示,是两个垃圾中转站,的正东方向千米处,的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾,政府决定在的北面建一个垃圾发电厂. 垃圾发电厂的选址拟满足以下两个要求(可看成三个点):①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比,比例系数相同;②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大). 现估测得两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨,问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求?

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18.如图,在平面直角坐标系中,设点是椭圆上一点,从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点,直线的斜率分别记为.

(1)若圆轴相切于椭圆的右焦点,求圆的方程;

(2)若.

①求证:

②求的最大值.

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21.(选修4—1:几何证明选讲)

如图,为⊙的直径,直线与⊙相切于点为垂足,连接. 若,求的长.

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23.直三棱柱中,.

(1)若,求直线与平面所成角的正弦值;

(2)若二面角的大小为,求实数的值.

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24.设集合,记的含有三个元素的子集个数为,同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列,取出中间的数,所有这些中间的数的和记为.

(1)求的值;

(2)猜想的表达式,并证明之.

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19.已知函数处的切线方程为.

(1)求的值;

(2)若对任意的,都有成立,求的取值范围;

(3)若函数的两个零点为,试判断的正负,并说明理由.

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20.设数列共有项,记该数列前中的最大项为,该数列后中的最小项为.

(1)若数列的通项公式为,求数列的通项公式;

(2)若数列满足,求数列的通项公式;

(3)试构造一个数列,满足,其中是公差不为零的等差数列,是等比数列,使得对于任意给定的正整数,数列都是单调递增的,并说明理由.

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填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.已知集合,则=________.

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2.已知复数是虚数单位),则________.

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3.书架上有本数学书,本物理书,从中任意取出本,则取出的两本书都是数学书的概率为________.

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4.运行如图所示的伪代码,其结果为________.

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5.某校高一年级有学生人,高二年级有学生人,现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人,其中从高一年级学生中抽出人,则从高三年级学生中抽取的人数为    ________.

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6.在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴上,若曲线经过点,则其焦点到准线的距离为________.

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7.已知实数满足则目标函数的最小值为________.

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8.设一个正方体与底面边长为,侧棱长为的正四棱锥的体积相等,则该正方体的棱长为________.

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9.在中,设分别为角的对边,若,则边=    ________.

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10.设是等比数列的前项和,,若,则的最小值为    ________.

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11.如图,在中,,则的值为________.

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12.过点的直线与圆相交于两点,若点恰好是线段的中点,则直线的方程为________.

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13.设是定义在上的奇函数,且,设 若函数有且只有一个零点,则实数的取值范围是________.

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14.设函数的图象上存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形(其中为坐标原点),且斜边的中点恰好在轴上,则实数的取值范围是________.

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