理科数学 热门试卷

试题分析：有矩阵的特征值求出a的值，再通过矩阵的运算，矩阵的变换得出曲线C的方程。

由题意，矩阵的特征多项式，

因矩阵有一个特征值为2，，所以.

所以，即，

代入方程，得，即曲线的方程为.

试题分析：本题属于三角函数图像的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照求A、ω、φ步骤来求（2）转化成求函数的最值，要结合图像，要特别注意函数的定义域。

（1）由图象知，，

又，，所以，得.

所以，将点代入，得，

即，又，所以.

所以.

（2）当时，，

所以，即.

试题分析：本题属于解三角形应用题，题目的理解有一定难度，要注意读懂题意，选择函数模型来解决是本题的关键。

解法一：由条件①，得.

设，

则，

所以点到直的距离

，

所以当，即时，取得最大值15千米.

即选址应满足千米，千米.

解法二：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.

则.

由条件①，得.

设，则，

化简得，，

即点的轨迹是以点（）为圆心、为半径的圆位于轴上方的半圆.

则当时，点到直线的距离最大，最大值为千米.

所以点的选址应满足在上述坐标系中其坐标为即可

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合问题，题目的难度较大，（1）直接求圆心和半径（2）证明定值问题时，要先表示出来，再通过计算化简得到（3）的最大值涉及到基本不等式，要能正确地使用基本不等式。

（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为，

从而圆的方程为.

（2）①因为圆与直线相切，所以，

即，

同理，有，

所以是方程的两根，

从而.

②设点，联立，

解得，

同理，，

所以

， 当且仅当时取等号. 所以的最大值为.

试题分析：本题属于平面几何中的基本问题，通过三角形相似得到角相等，再由全等三角形的性质得到边相等，进而求出BD.

因为与相切于，所以，

又因为为的直径，所以.

又，所以，所以，所以.

又，，所以.

所以，所以，

又，所以.

试题分析：本题是空间中平行与垂直的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，证明的关键是按照线面平行、面面垂直的判定，找到使定理成立的条件，所以空间中的读图能力，熟练把握空间中垂直关系的判定与性质是解题的突破口。

证明：（1）在中，因为是的中点，是的中点，

所以.

又平面，平面，所以平面.

（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，

又，即，而面，且，

所以面.

而面，所以，

又是正方形，所以，而面，且，

所以面.

又面，所以面面.

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论（3）涉及恒成立问题，转化成求函数的最值，这种思路是一般解法，往往要利用“分离参数法”．涉及对数函数，要特别注意函数的定义域．

（1）由题意得，因函数在处的切线方程为，

所以，得.

（2）由（1）知对任意都成立，

所以，即对任意都成立，从而.

又不等式整理可得，令，

所以，得，

当时，，函数在上单调递增，

同理，函数在上单调递减，所以，

综上所述，实数的取值范围是.

（3）结论是.

证明：由题意知函数，所以，

易得函数在单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可.

因为是函数的两个零点，所以，相减得，

不妨令，则，则，所以，，

即证，即证，

因为，所以在上单调递增，所以，

综上所述，函数总满足成立.

试题分析：本题属于数列综合问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）（2）直接按照单调数列定义来求（3）构造新数列时，要把握问题的本质。

（1）因为单调递增，所以，，

所以，.

（2）根据题意可知，，，因为，所以

可得即，又因为，所以单调递增，

则，，所以，即，，

所以是公差为2的等差数列，，.

（3）构造，其中，.

下证数列满足题意.

证明：因为，所以数列单调递增，

所以，，

所以，，

因为，

所以数列单调递增，满足题意.

试题分析：本题属于空间向量中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照求直线与平面所成角的步骤来求（2）根据求二面角的步骤，列出关于实数的方程来求解。

分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，

（1）当时，为的中点，所以，，，，设平面的法向量为

则，所以取，又，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2），，，，

设平面的法向量为，则，

所以取.

又平面的一个法向量为，由题意得，

所以，解得或（不合题意，舍去），

所以实数的值为.