理科数学杨浦区2016年高三第一次联合考试

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试卷目录

1、填空题

2、单选题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

2. 二项式展开式的常数项为_________.

正确答案

解析

的通项公式为，令，得二项式展开式的常数项为。

考查方向

本题主要考查二项式定理的特定项的求法，意在考查学生运算求解能力。

解题思路

1.先写出二项式展开式的通项并化简；2.令，得二项式展开式的常数项为。

易错点

在写其展开式的通项时不注意的负号，导致结果写成20.

知识点

求二项展开式的指定项或指定项的系数

题型：填空题

分值: 5分

3. 焦点在轴上，焦距为，且经过的椭圆的标准方程为 .

正确答案

解析

由题意可设椭圆的方程为，设，所以，所以所求椭圆的方程为

考查方向

本题主要考查椭圆的定义、方程和几何性质等知识，意在考查考生对于椭圆基础知识的理解和掌握程度。

解题思路

1.先根据焦点在x轴上设出椭圆的标准方程；2.根据题中给出的条件带入求得a,b,进而求出椭圆的方程。

易错点

1.判断不出是椭圆的右焦点；2.不清楚概念焦距是c还是2c导致出错。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：填空题

分值: 5分

4. 若集合，集合，则 .

正确答案

解析

由题意得，，所以。

考查方向

本题主要考查集合的运算，分式不等式的解法、绝对值不等式的解法等知识，意在考查考生的运算求解能力和数形结合的能力。

解题思路

1.先通过解不等式求出集合A，B；

2.利用数轴求出。

易错点

1.集合B解成，

2.不会利用数轴求集合间的运算。

知识点

交集及其运算

题型：填空题

分值: 5分

8. 已知平面直角系中，曲线的参数方程为，现以直角坐标系的原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线的极坐标方程是__________.

正确答案

解析

消去参数得曲线C的普通方程为，化为极坐标方程为，即。

考查方向

本题主要考查圆的参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，意在考查考生的转化与划归的能力。

解题思路

1.先消去参数得曲线C的普通方程，

2.利用极坐标与直角坐标互化求出曲线c的极坐标方程为。

易错点

不会参数方程、普通方程和极坐标方程的互化。

知识点

点的极坐标和直角坐标的互化

题型：填空题

分值: 5分

5. 在中，，，，则_ _.

正确答案

解析

由正弦定理得，所以，又，所以。

考查方向

本题主要考查利用正余弦定理解三角形，意在考查考生对于正余弦定理的基本理解和运算。

解题思路

1.先利用正弦定理求出角C；2.利用大边对大角求出角C的准确值。

易错点

1.不知道应该用什么定理；2.不会根据大边对大角舍去一个角，导致结果出错。

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

题型：填空题

分值: 5分

6. 从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名女同学的概率是 .

正确答案

解析

从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试的选法有种，其中选到的2名同学中至少有一名女同学的选法有，所以所求的概率为。

考查方向

本题主要考查古典概型的概率和间接法，意在考查考生逆向思维的能力和运算求解能力。

解题思路

1.先利用排列组合求出从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试的选法有多少种；

2.利用间接法求出其中选到的2名同学中至少有一名女同学的选法有多少种；3.利用古典概型的概率公式求解。

易错点

1.在求选到的2名同学中至少有一名女同学时只考虑女同学由几个，没有考虑到男同学，导致结果出错；

2.不会间接考虑问题。

知识点

随机事件的频率与概率

题型：填空题

分值: 5分

7. 若不等式对任意都成立，则实数的取值范围为 .

正确答案

解析

由基本不等式得，所以由题意得

（1）当其中一个为0时，变成恒成立，所以；

（2）当时，变成，所以；而，当且仅当时取等号，所以；

（3）当时，变成，所以；而，当且仅当时取等号，所以；综上得实数k的取值范围为。

考查方向

本题主要考查基本不等式的应用，意在考查考生分类讨论的思想和恒成立问题的求解方法。

解题思路

1.先利用基本不等式将题中给出的不等式转化为；

2.利用分类讨论的思想求解出k的取值范围。

易错点

1.不知道分类的标准导致出现混乱；

2.不会分离常数求参数的取值范围。

知识点

利用基本不等式求最值

题型：填空题

分值: 5分

10. 设函数的零点为、，函数的零点为、，则的值为 .

正确答案

解析

由函数的零点为、知道，、为函数与的交点的横坐标；同理、是为函数与的交点的横坐标。由反函数的知识知道：与的图像关于直线对称，而也关于直线对称，而与的交点为（2.5，2.5），所以、与、关于对称，所以。

考查方向

本题主要考查函数与方程、反函数、对称等知识，意在考查考生转化与划归、树形结合的能力。

解题思路

1.先将题中给出的函数的零点为、，函数的零点为、，转化为两个函数图像交点的横坐标；2.利用反函数的知识发现、与、关于对称，进而求出和。

易错点

1.误认为要求根导致无法入手；

2.注意不到指数函数和对数函数互为反函数，所以看不到对称关系。

知识点

函数零点的判断和求解

题型：填空题

分值: 5分

9. 已知正方体的棱长为，点为棱的中点，则点到平面的距离为 .

正确答案

解析

连接AC，交BD于点O，连接,

由四边形ABCD为正方形得，又面ABCD，面ABCD，所以，又，所以,所以,由题意易求,所以，所以，又,所以,所以即为点到平面的距离，所以点到平面的距离为。

考查方向

本题主要考查空间点线面的位置关系，点到

解题思路

1.先根据题中的条件找到点到平面的距离为；

2.根据题中给出的数据求解出来。

易错点

1.无法从图形中找到点到平面的距离在哪？

2.对于空间线面的位置关系不熟练。

知识点

平面的法向量

题型：填空题

分值: 5分

1. 若行列式，则 .

正确答案

解析

由题意得，即

考查方向

本题主要考查行列式的基本运算，主要考查考生的基本运算能力和运算求解能力。

解题思路

直接带入行列式的公式求解即可。

易错点

不知道的计算公式。

题型：填空题

分值: 5分

13. 已知正四面体，点、、、、、分别是所在棱的中点，如图. 则当，，且时，数量积的不同数值的个数为 .

正确答案

解析

设正四面体的棱长为2；

（1）当直线直线所在直线平行或重合时，，，

（2）当直线直线所在直线相交时，，，

（3）当直线直线所在直线异面时，，

由以上情况可知，数量积的不同数值的个数为4+4+1=9.

考查方向

本题主要考查空间两条直线的位置关系，向量的数量积等知识，意在考查考生的空间想象能力和分类讨论的能力。

解题思路

1.先将题中给出的向量和所给的向量分类；

2.计算在不同类里数量积的不同值后即可得到答案。

易错点

1.不知如何分类导致结果多或者少；

2.无法理解题中的条件

知识点

空间几何体的结构特征排列与组合的综合

题型：填空题

分值: 5分

11. 对于数列满足：，（）,其前项和为.记满足条件的所有数列中，的最大值为, 最小值为,则 .

正确答案

解析

由，得，，所以，，所以，。。。要使得的最小值为只需，所以数列为等差数列，，使得的最大值为只需，所以数列为等比列，，所以使得的最大值为只需，所以数列为等比列，。

考查方向

本题主要考查等差数列、等比数列的定义，前n项和的求法等知识，意在考查考生理解题意，转化与化归的能力。

解题思路

1.先根据题中给出的条件求几项，后发现规律：若要使得的最小则数列为等差数列，使得的最大值则数列为等比数列；

2.利用等差数列和等比数列的求和公式求出a，b后做差。

易错点

1.无法理解题中给出的条件；2.不会将题中条件转化到等差数列、等比数列的定义解决问题。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与其它知识的综合问题

题型：填空题

分值: 5分

12. 定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为 .

正确答案

解析

由奇函数在区间上单调递减，所以函数在区间上也单调递减，且。

（1）当即时，不等式可化为，而，所以成立，符合题意。

（2）当即时，不等式可化为，所以。

（3）当即时，

①当时，不等式可化为，所以。

②当时，不等式可化为，所以符合题意。

③当时，不等式可化为，所以与取交集为。

综上可知，的解集合为。

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性，抽象函数的图像等知识，意在考查考生分类讨论的思想。

解题思路

1.先利用奇函数求出函数在对称的区间上的单调性；

2.根据x的范围不同分类求出x的解后取并集。

易错点

1.不会奇函数在对称的区间上单调性相同这个结论；

2.分类讨论时不全或重复。

知识点

函数奇偶性的性质函数性质的综合应用不等式与函数的综合问题

题型：填空题

分值: 5分

14. 设函数的定义域为，记，

，若，,

且, 则的取值范围是___________________.

正确答案

解析

由可以知:函数可以取到最大值为2.由知，所以又，所以。

考查方向

本题主要考查函数的定义域、值域的有关知识，三角函数的定义域和值域等知识，意在考查考生对于函数符号的理解能力和转化能力。

解题思路

1.先根据题中给出的符号转化出函数的最大值2；根据三角函数取最大值的解法得到。

易错点

1.根本无法理解题中的符号是什么意思；

2.不会转化题中的条件导致无法解出正确答案。

知识点

函数性质的综合应用

单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

16．设为两个随机事件，如果为互斥事件，那么（）.

A是必然事件.

B是必然事件.

C与是互斥事件.

D与不是互斥事件.

正确答案

解析

由为互斥事件知，由集合的知识知道。故选择A。

考查方向

本题主要考查事件间的关系，对立事件的概念等知识，意在考查考生对于概念的理解和知识间的联系。

解题思路

先利用集合间的关系找出其对立事件，后即可得到答案。

易错点

1.不会将为互斥事件转化为；2.不会集合的补集的性质导致出错。

知识点

随机事件的关系互斥事件、对立事件的概率

题型：单选题

分值: 5分

18. 我们称点到图形上任意一点距离的最小值为点到图形的距离. 那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是 ( ).

A圆.

B椭圆.

C双曲线的一支.

D直线.

正确答案

解析

设圆C的半径为r,

(1)当点A在圆C外时，由题意得，所以点P的轨迹为以A,C为焦点的双曲线的一支；

(2当点A在圆C内且不是C点时，由题意得，所以点P的轨迹为以A,C为焦点的椭圆；

(3当点A在与点C重合时，由题意得点P的轨迹为C为圆心，为半径的圆；

(4)点A在圆C上时，由题意点P的轨迹为射线CA。故选D。

考查方向

本题主要考查圆、椭圆、双曲线的定义等知识，意在考查考生的分类讨论思想和逻辑推理能力。

解题思路

1.先根据题意将点A与圆的位置关系进行分类；2.利用圆锥曲线的定义分别确定各个类里的曲线类型。

易错点

1.不知道该如何分类解决，分类的标准如何；2.不会转化为各类圆锥曲线的定义。

知识点

用其它方法求轨迹方程

题型：单选题

分值: 5分

17. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）.

A26, 16, 8.

B25，17，8.

C25，16，9.

D24，17，9.

正确答案

解析

分段的间隔为，所以每隔12人抽取一个，现已知第一组抽取的号码为003，所以各个抽取的号码有003，,006,009,012,015，。。。，583.所以第Ⅰ营区共共有25组，每组抽取一人，共抽取25人，第Ⅱ营区的学生为从第26组第一个人开始到第42组第3人共计抽取41-25+1=17人，所以第Ⅲ营区共抽取50-25-17=8人，故选择B。

考查方向

本题主要考查统计中的系统抽样知识，意在考查考生对于系统抽样的理解程度。

解题思路

1.先确定分段的间隔，然后确定出第一营区被选出的人数；2.继续确定第二营区、第三营区被选出的人数即可。

易错点

1.无法确定第2营区的学生是由那些组的人组成，导致出错；2.在求解第二营区抽取人数时只用41-25求解出错。

知识点

系统抽样方法

题型：单选题

分值: 5分

15. 二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）.

A系数行列式.

B比例式.

C向量与不平行.

D直线与不平行.

正确答案

解析

若二元一次方程组存在唯一解，则直线与相交，而D选项是平行和重合，所以选D。

考查方向

本题主要考查充分必要条件，直线间的位置关系等知识，意在考查考生逻辑推理能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先求出二元一次方程组存在唯一解的充要条件；2.然后从选项上选择出必要非充分条件。

易错点

不知道二元一次方程组存在唯一解指的是两直线平行。

简答题（综合题）本大题共60分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 13分

已知复数，为虚数单位，.

20.若为实数，求的值；

21.若复数对应的向量分别是，存在使等式成立，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）-2，

解析

：因为为实数

所以

因为，所以，

考查方向

本题主要考查复数的运算，三角函数的化简与求值，向量的坐标运算等知识，意在考查考生运算求解能力和转化能力。

解题思路

先根据复数的运算求出角；

易错点

不会利用求的值；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）由已知

因为

所以，

因为，所以，

进而，

解得 .

考查方向

本题主要考查复数的运算，三角函数的化简与求值，向量的坐标运算等知识，意在考查考生运算求解能力和转化能力。

解题思路

先根据向量的知识确定出函数关系

利用第（1）问的结论求函数的取值范围。

易错点

不会构建关于的函数，导致没有思路。

题型：简答题

分值: 5分

19.用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器，如图. 若圆锥的母线与底面所成的角为，求制作该容器需要多少面积的铁皮. (铁皮衔接部分忽略不计,结果精确到)

正确答案

解析

设圆锥的底面半径为，高为，母线长为

因为母线与底面所成的角为，所以，

又

所以，，

进而得圆锥的侧面积

所以该容器所需铁皮的面积约为

考查方向

本题主要考查圆锥的几何性质、体积公式等知识，意在考查考生空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

1.先根据母线与底面所成的角为确定出，2.带入体积公式求出，，最后带到侧面积的公式即可。

易错点

1.不会求底面半径和高之间的关系；2.圆锥的面积公式忘记乘。

知识点

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）多面体和旋转体表面上的最短距离问题

题型：简答题

分值: 14分

已知表示不小于的最小整数，例如.

27.设,,若，求实数的取值范围；

28.设，在区间上的值域为，集合中元素的个数为，求证：；

29.设（），，若对于，都有，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），

解析

（1）因为在区间上单调递增，

所以

进而的取值集合为

由已知可知在上有解，因此，

考查方向

本题主要考查函数的性质，能成立问题、极限的求法等知识，意在考查考生的分析问题、解决问题，转化与划归的能力。

解题思路

根据函数的单调性求出的取值集合为，进而可得到答案；

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理；2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）略；

解析

（2）当时，，

所以的取值范围为区间

进而在上函数值的个数为个，

由于区间与没有共同的元素，

所以中元素个数为，得

因此，

考查方向

本题主要考查函数的性质，能成立问题、极限的求法等知识，意在考查考生的分析问题、解决问题，转化与划归的能力。

解题思路

先根据题意确定，然后带入求出极限；

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理；2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（3）由于，

所以，并且当时取等号，

进而时，

由题意对任意，恒成立.

当，恒成立，因为，所以

综上，实数的取值范围为 .

考查方向

本题主要考查函数的性质，能成立问题、极限的求法等知识，意在考查考生的分析问题、解决问题，转化与划归的能力。

解题思路

先求出，进而分类确定a的取值范围。

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理；2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

题型：简答题

分值: 12分

已知是等差数列，，，数列满足，，且是等比数列.

22.求数列和的通项公式；、

23.设，求数列的前项和，并判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），

解析

（1）因为，所以，得

所以

，，且，得

所以，进而

考查方向

本题主要考查等差数列、等比数列的基本性质，求和公式等知识，意在考查考生分类讨论的思想和运算求解能力。

解题思路

1.第（1）问根据等差数列、等比数列的基本量求出通项公式；2.根据第（1）问求出，然后求出其前n项和，通过判断其单调性得到答案。

易错点

1.不会将分段；2。不知道用什么方法求数列的前项和

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），

解析

（2），

，

所以，

，

(或，

因为，，数列是递增数列，且，

所以，不存在正整数，使得.

考查方向

本题主要考查等差数列、等比数列的基本性质，求和公式等知识，意在考查考生分类讨论的思想和运算求解能力。

解题思路

1.第（1）问根据等差数列、等比数列的基本量求出通项公式；2.根据第（1）问求出，然后求出其前n项和，通过判断其单调性得到答案。

易错点

1.不会将分段；2。不知道用什么方法求数列的前项和

题型：简答题

分值: 16分

已知抛物线，为抛物线上的点，若直线经过点且斜率为，则称直线为点的“特征直线”. 设、为方程（）的两个实根，记.

24.求点的“特征直线”的方程；

25.已知点在抛物线上，点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与轴的交于点，点为线段上的点. 求证：；

26.已知、是抛物线上异于原点的两个不同的点，点、的“特征直线”分别为、，直线、相交于点，且与轴分别交于点、. 求证：点在线段上的充要条件为（其中为点的横坐标）.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）.；

解析

（1）由题意的斜率为1，

所以点的“特征直线”的方程为.

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

1根据题意直接求出“特征直线”的方程为.

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）.；

解析

设点，由于双曲线所求渐进线的斜率为

所以，进而得

线段的方程为

所以满足

所对应方程为：，解得，

因为，所以，进而

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

线根据渐近线方程求出，进而得到点（a,b）满足的方程；

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

(3)设，，则、的方程分别为

，，

解、交点可得，，

所对应的方程为：，

得

必要性：因为点在线段上，所以

当时，，得，

所以，进而

① 充分性：由，得，

当时，，得，

当时，得，得，

所以点在线段上.

综上，点在线段上的充要条件为

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

先证明结论的充分性，后证明其必要性。

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

理科数学 热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

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