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2. 二项式展开式的常数项为_________.
正确答案
解析
的通项公式为
,令
,得二项式
展开式的常数项为
。
考查方向
解题思路
1.先写出二项式展开式的通项并化简;2.令,得二项式
展开式的常数项为
。
易错点
在写其展开式的通项时不注意的负号,导致结果写成20.
知识点
3. 焦点在轴上,焦距为
,且经过
的椭圆的标准方程为 .
正确答案
解析
由题意可设椭圆的方程为,设
,所以
,所以所求椭圆的方程为
考查方向
解题思路
1.先根据焦点在x轴上设出椭圆的标准方程;2.根据题中给出的条件带入求得a,b,进而求出椭圆的方程。
易错点
1.判断不出是椭圆的右焦点;2.不清楚概念焦距是c还是2c导致出错。
知识点
4. 若集合,集合
,则
.
正确答案
解析
由题意得,
,所以
。
考查方向
解题思路
1.先通过解不等式求出集合A,B;
2.利用数轴求出。
易错点
1.集合B解成,
2.不会利用数轴求集合间的运算。
知识点
8. 已知平面直角系中,曲线的参数方程为
,现以直角坐标系的原点为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线
的极坐标方程是__________.
正确答案
解析
消去参数得曲线C的普通方程为
,化为极坐标方程为
,即
。
考查方向
解题思路
1.先消去参数得曲线C的普通方程,
2.利用极坐标与直角坐标互化求出曲线c的极坐标方程为。
易错点
不会参数方程、普通方程和极坐标方程的互化。
知识点
5. 在中,
,
,
,则
_ _.
正确答案
解析
由正弦定理得,所以
,又
,所以
。
考查方向
解题思路
1.先利用正弦定理求出角C;2.利用大边对大角求出角C的准确值。
易错点
1.不知道应该用什么定理;2.不会根据大边对大角舍去一个角,导致结果出错。
知识点
6. 从3名男同学,2名女同学中任选2人参加体能测试,则选到的2名同学中至少有一名女同学的概率是 .
正确答案
解析
从3名男同学,2名女同学中任选2人参加体能测试的选法有种,其中选到的2名同学中至少有一名女同学的选法有
,所以所求的概率为
。
考查方向
解题思路
1.先利用排列组合求出从3名男同学,2名女同学中任选2人参加体能测试的选法有多少种;
2.利用间接法求出其中选到的2名同学中至少有一名女同学的选法有多少种;3.利用古典概型的概率公式求解。
易错点
1.在求选到的2名同学中至少有一名女同学时只考虑女同学由几个,没有考虑到男同学,导致结果出错;
2.不会间接考虑问题。
知识点
7. 若不等式对任意
都成立,则实数
的取值范围为 .
正确答案
解析
由基本不等式得,所以由题意得
(1)当其中一个为0时,
变成
恒成立,所以
;
(2)当时,
变成
,所以
; 而
,当且仅当
时取等号,所以
;
(3)当时,
变成
,所以
; 而
,当且仅当
时取等号,所以
;综上得实数k的取值范围为
。
考查方向
解题思路
1.先利用基本不等式将题中给出的不等式转化为;
2.利用分类讨论的思想求解出k的取值范围。
易错点
1.不知道分类的标准导致出现混乱;
2.不会分离常数求参数的取值范围。
知识点
10. 设函数的零点为
、
,函数
的零点为
、
,则
的值为 .
正确答案
解析
由函数的零点为
、
知道,
、
为函数
与
的交点的横坐标;同理
、
是为函数
与
的交点的横坐标。由反函数的知识知道:
与
的图像关于直线
对称,而
也关于直线
对称,而
与
的交点为(2.5,2.5),所以
、
与
、
关于
对称,所以
。
考查方向
解题思路
1.先将题中给出的函数的零点为
、
,函数
的零点为
、
,转化为两个函数图像交点的横坐标;2.利用反函数的知识发现
、
与
、
关于
对称,进而求出和。
易错点
1.误认为要求根导致无法入手;
2.注意不到指数函数和对数函数互为反函数,所以看不到对称关系。
知识点
9. 已知正方体的棱长为
,点
为棱
的中点,则点
到平面
的距离为 .
正确答案
解析
连接AC,交BD于点O,连接,
由四边形ABCD为正方形得,又
面ABCD,
面ABCD,所以
,又
,所以
,所以
,由题意易求
,所以
,所以
,又
,所以
,所以
即为点
到平面
的距离,所以点
到平面
的距离为
。
考查方向
解题思路
1.先根据题中的条件找到点到平面
的距离为
;
2.根据题中给出的数据求解出来。
易错点
1.无法从图形中找到点到平面的距离在哪?
2.对于空间线面的位置关系不熟练。
知识点
1. 若行列式,则
.
正确答案
2
解析
由题意得,即
考查方向
解题思路
直接带入行列式的公式求解即可。
易错点
不知道的计算公式。
13. 已知正四面体,点
、
、
、
、
、
分别是所在棱的中点,如图. 则当
,
,且
时,数量积
的不同数值的个数为 .
正确答案
9
解析
设正四面体的棱长为2;
(1)当直线直线
所在直线平行或重合时,
,
,
(2)当直线直线
所在直线相交时,
,
,
(3)当直线直线
所在直线异面时,
,
由以上情况可知,数量积的不同数值的个数为4+4+1=9.
考查方向
解题思路
1.先将题中给出的向量和所给的向量分类;
2.计算在不同类里数量积的不同值后即可得到答案。
易错点
1.不知如何分类导致结果多或者少;
2.无法理解题中的条件
知识点
11. 对于数列满足:
,
(
),其前
项和为
.记满足条件的所有数列
中,
的最大值为
, 最小值为
,则
.
正确答案
16
解析
由,
得,
,所以
,
,所以
,。。。要使得
的最小值为
只需
,所以数列
为等差数列,
,使得
的最大值为
只需
,所以数列
为等比列
,
,所以使得
的最大值为
只需
,所以数列
为等比列
,
。
考查方向
解题思路
1.先根据题中给出的条件求几项,后发现规律:若要使得的最小则数列
为等差数列,使得
的最大值则数列
为等比数列;
2.利用等差数列和等比数列的求和公式求出a,b后做差。
易错点
1.无法理解题中给出的条件;2.不会将题中条件转化到等差数列、等比数列的定义解决问题。
知识点
12. 定义在上的奇函数
在区间
上单调递减,且
,则不等式
的解集为 .
正确答案
解析
由奇函数在区间
上单调递减,所以函数
在区间
上也单调递减,且
。
(1)当即
时,不等式
可化为
,而
,所以
成立,
符合题意。
(2)当即
时,不等式
可化为
,所以
。
(3)当即
时,
①当时,不等式
可化为
,所以
。
②当时,不等式
可化为
,所以
符合题意。
③当时,不等式
可化为
,所以
与
取交集为
。
综上可知,的解集合为
。
考查方向
解题思路
1.先利用奇函数求出函数在对称的区间上的单调性;
2.根据x的范围不同分类求出x的解后取并集。
易错点
1.不会奇函数在对称的区间上单调性相同这个结论;
2.分类讨论时不全或重复。
知识点
14. 设函数的定义域为
,记
,
,若
,
,
且, 则
的取值范围是___________________.
正确答案
解析
由可以知:函数
可以取到最大值为2.由
知
,所以
又
,所以
。
考查方向
解题思路
1.先根据题中给出的符号转化出函数的最大值2;根据三角函数取最大值的解法得到
。
易错点
1.根本无法理解题中的符号是什么意思;
2.不会转化题中的条件导致无法解出正确答案。
知识点
16.设为两个随机事件,如果
为互斥事件,那么( ).
正确答案
解析
由为互斥事件知
,由集合的知识知道
。故选择A。
考查方向
解题思路
先利用集合间的关系找出其对立事件,后即可得到答案。
易错点
1.不会将为互斥事件转化为
;2.不会集合的补集的性质导致出错。
知识点
18. 我们称点到图形
上任意一点距离的最小值为点
到图形
的距离. 那么平面内到定圆
的距离与到定点
的距离相等的点的轨迹不可能是 ( ).
正确答案
解析
设圆C的半径为r,
(1)当点A在圆C外时,由题意得,所以点P的轨迹为以A,C为焦点的双曲线的一支;
(2当点A在圆C内且不是C点时,由题意得,所以点P的轨迹为以A,C为焦点的椭圆;
(3当点A在与点C重合时,由题意得点P的轨迹为C为圆心,为半径的圆;
(4)点A在圆C上时,由题意点P的轨迹为射线CA。故选D。
考查方向
解题思路
1.先根据题意将点A与圆的位置关系进行分类;2.利用圆锥曲线的定义分别确定各个类里的曲线类型。
易错点
1.不知道该如何分类解决,分类的标准如何;2.不会转化为各类圆锥曲线的定义。
知识点
17. 将参加夏令营的600名学生编号为:001,002,……600,采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495住在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为( ).
正确答案
解析
分段的间隔为,所以每隔12人抽取一个,现已知第一组抽取的号码为003,所以各个抽取的号码有003,,006,009,012,015,。。。,583.所以第Ⅰ营区共共有25组,每组抽取一人,共抽取25人,第Ⅱ营区的学生为从第26组第一个人开始到第42组第3人共计抽取41-25+1=17人,所以第Ⅲ营区共抽取50-25-17=8人,故选择B。
考查方向
解题思路
1.先确定分段的间隔,然后确定出第一营区被选出的人数;2.继续确定第二营区、第三营区被选出的人数即可。
易错点
1.无法确定第2营区的学生是由那些组的人组成,导致出错;2.在求解第二营区抽取人数时只用41-25求解出错。
知识点
15. 二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是( ).
正确答案
解析
若二元一次方程组存在唯一解,则直线
与
相交,而D选项是平行和重合,所以选D。
考查方向
解题思路
1.先求出二元一次方程组存在唯一解的充要条件;2.然后从选项上选择出必要非充分条件。
易错点
不知道二元一次方程组存在唯一解指的是两直线平行。
已知复数,
为虚数单位,
.
20.若为实数,求
的值;
21.若复数对应的向量分别是
,存在
使等式
成立,求实数
的取值范围.
正确答案
(1)-2,
解析
:因为为实数
所以
因为,所以
,
考查方向
解题思路
先根据复数的运算求出角;
易错点
不会利用求
的值;
正确答案
(2)
解析
(2)由已知
因为
所以,
因为,所以
,
进而,
解得 .
考查方向
解题思路
先根据向量的知识确定出函数关系
利用第(1)问的结论求函数的取值范围。
易错点
不会构建关于的函数,导致没有思路。
19.用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器,如图. 若圆锥的母线与底面所成的角为
,求制作该容器需要多少面积的铁皮. (铁皮衔接部分忽略不计,结果精确到
)
正确答案
解析
设圆锥的底面半径为,高为
,母线长为
因为母线与底面所成的角为,所以
,
又
所以,
,
进而得圆锥的侧面积
所以该容器所需铁皮的面积约为
考查方向
解题思路
1.先根据母线与底面所成的角为确定出
,2.带入体积公式求出
,
,最后带到侧面积的公式即可。
易错点
1.不会求底面半径和高之间的关系;2.圆锥的面积公式忘记乘。
知识点
已知表示不小于
的最小整数,例如
.
27.设,
,若
,求实数
的取值范围;
28.设,
在区间
上的值域为
,集合
中元素的个数为
,求证:
;
29.设(
),
,若对于
,都有
,求实数
的取值范围.
正确答案
(1),
解析
(1)因为在区间
上单调递增,
所以
进而的取值集合为
由已知可知在
上有解,因此,
考查方向
解题思路
根据函数的单调性求出的取值集合为
,进而可得到答案;
易错点
1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理;2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。
正确答案
(2)略;
解析
(2)当时,
,
所以的取值范围为区间
进而在
上函数值的个数为
个,
由于区间与
没有共同的元素,
所以中元素个数为
,得
因此,
考查方向
解题思路
先根据题意确定,然后带入求出极限;
易错点
1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理;2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。
正确答案
解析
(3)由于,
所以,并且当
时取等号,
进而时,
由题意对任意,
恒成立.
当,
恒成立,因为
,所以
当,
恒成立,因为
,所以
综上,实数的取值范围为
.
考查方向
解题思路
先求出 ,进而分类确定a的取值范围。
易错点
1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理;2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。
已知是等差数列,
,
,数列
满足
,
,且
是等比数列.
22.求数列和
的通项公式;、
23.设,求数列
的前
项和
,并判断是否存在正整数
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
正确答案
(1),
解析
(1)因为,所以
,得
所以
,
,且
,得
所以,进而
考查方向
解题思路
1.第(1)问根据等差数列、等比数列的基本量求出通项公式;2.根据第(1)问求出,然后求出其前n项和,通过判断其单调性得到答案。
易错点
1.不会将分段;2。不知道用什么方法求数列
的前
项和
正确答案
(1),
解析
(2),
,
所以,
,
(或 ,
因为,
,数列
是递增数列,且
,
所以,不存在正整数,使得
.
考查方向
解题思路
1.第(1)问根据等差数列、等比数列的基本量求出通项公式;2.根据第(1)问求出,然后求出其前n项和,通过判断其单调性得到答案。
易错点
1.不会将分段;2。不知道用什么方法求数列
的前
项和
已知抛物线,
为抛物线
上的点,若直线
经过点
且斜率为
,则称直线
为点
的“特征直线”. 设
、
为方程
(
)的两个实根,记
.
24.求点的“特征直线”
的方程;
25.已知点在抛物线
上,点
的“特征直线”与双曲线
经过二、四象限的渐进线垂直,且与
轴的交于点
,点
为线段
上的点. 求证:
;
26.已知、
是抛物线
上异于原点的两个不同的点,点
、
的“特征直线”分别为
、
,直线
、
相交于点
,且与
轴分别交于点
、
. 求证:点
在线段
上的充要条件为
(其中
为点
的横坐标).
正确答案
(1).;
解析
(1)由题意的斜率为1,
所以点的“特征直线”
的方程为
.
考查方向
解题思路
1根据题意直接求出“特征直线”的方程为
.
易错点
1.不理解特征直线的定义导致无法入手;2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。
正确答案
(1).;
解析
设点,由于双曲线
所求渐进线的斜率为
所以,进而得
线段的方程为
所以满足
所对应方程为:
,解得
,
因为,所以
,进而
考查方向
解题思路
线根据渐近线方程求出,进而得到点(a,b)满足的方程;
易错点
1.不理解特征直线的定义导致无法入手;2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。
正确答案
见解析
解析
(3)设,
,则
、
的方程分别为
,
,
解、
交点可得
,
,
所对应的方程为:
,
得
必要性:因为点在线段
上,所以
当时,
,得
,
当时,
,得
,
所以,进而
① 充分性:由,得
,
当时,
,得
,
当时,得
,得
,
所以点在线段
上.
综上,点在线段
上的充要条件为
考查方向
解题思路
先证明结论的充分性,后证明其必要性。
易错点
1.不理解特征直线的定义导致无法入手;2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。