理科数学 杨浦区2016年高三第一次联合考试
精品
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填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

2. 二项式展开式的常数项为_________.

正确答案

解析

的通项公式为,令,得二项式展开式的常数项为

考查方向

本题主要考查二项式定理的特定项的求法,意在考查学生运算求解能力。

解题思路

1.先写出二项式展开式的通项并化简;2.令,得二项式展开式的常数项为

易错点

在写其展开式的通项时不注意的负号,导致结果写成20.

知识点

求二项展开式的指定项或指定项的系数
1
题型:填空题
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分值: 5分

3. 焦点在轴上,焦距为,且经过的椭圆的标准方程为       .

正确答案

解析

由题意可设椭圆的方程为,设,所以,所以所求椭圆的方程为

考查方向

本题主要考查椭圆的定义、方程和几何性质等知识,意在考查考生对于椭圆基础知识的理解和掌握程度。

解题思路

1.先根据焦点在x轴上设出椭圆的标准方程;2.根据题中给出的条件带入求得a,b,进而求出椭圆的方程。

易错点

1.判断不出是椭圆的右焦点;2.不清楚概念焦距是c还是2c导致出错。

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:填空题
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分值: 5分

4. 若集合,集合,则     .

正确答案

解析

由题意得,所以

考查方向

本题主要考查集合的运算,分式不等式的解法、绝对值不等式的解法等知识,意在考查考生的运算求解能力和数形结合的能力。

解题思路

1.先通过解不等式求出集合A,B;

2.利用数轴求出

易错点

1.集合B解成

2.不会利用数轴求集合间的运算。

知识点

交集及其运算
1
题型:填空题
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分值: 5分

8. 已知平面直角系中,曲线的参数方程为,现以直角坐标系的原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线的极坐标方程是__________.

正确答案

解析

消去参数得曲线C的普通方程为,化为极坐标方程为,即

考查方向

本题主要考查圆的参数方程、普通方程和极坐标方程的互化,意在考查考生的转化与划归的能力。

解题思路

1.先消去参数得曲线C的普通方程,

2.利用极坐标与直角坐标互化求出曲线c的极坐标方程为

易错点

不会参数方程、普通方程和极坐标方程的互化。

知识点

点的极坐标和直角坐标的互化
1
题型:填空题
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分值: 5分

5. 在中,,则_     _.

正确答案

解析

由正弦定理得,所以,又,所以

考查方向

本题主要考查利用正余弦定理解三角形,意在考查考生对于正余弦定理的基本理解和运算。

解题思路

1.先利用正弦定理求出角C;2.利用大边对大角求出角C的准确值。

易错点

1.不知道应该用什么定理;2.不会根据大边对大角舍去一个角,导致结果出错。

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算
1
题型:填空题
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分值: 5分

6. 从3名男同学,2名女同学中任选2人参加体能测试,则选到的2名同学中至少有一名女同学的概率是             .

正确答案

解析

从3名男同学,2名女同学中任选2人参加体能测试的选法有种,其中选到的2名同学中至少有一名女同学的选法有,所以所求的概率为

考查方向

本题主要考查古典概型的概率和间接法,意在考查考生逆向思维的能力和运算求解能力。

解题思路

1.先利用排列组合求出从3名男同学,2名女同学中任选2人参加体能测试的选法有多少种;

2.利用间接法求出其中选到的2名同学中至少有一名女同学的选法有多少种;3.利用古典概型的概率公式求解。

易错点

1.在求选到的2名同学中至少有一名女同学时只考虑女同学由几个,没有考虑到男同学,导致结果出错;

2.不会间接考虑问题。

知识点

随机事件的频率与概率
1
题型:填空题
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分值: 5分

7. 若不等式对任意都成立,则实数的取值范围为          .

正确答案

解析

由基本不等式得,所以由题意得

(1)当其中一个为0时,变成恒成立,所以

(2)当时,变成,所以; 而,当且仅当时取等号,所以

(3)当时,变成,所以; 而,当且仅当时取等号,所以;综上得实数k的取值范围为

考查方向

本题主要考查基本不等式的应用,意在考查考生分类讨论的思想和恒成立问题的求解方法。

解题思路

1.先利用基本不等式将题中给出的不等式转化为

2.利用分类讨论的思想求解出k的取值范围。

易错点

1.不知道分类的标准导致出现混乱;

2.不会分离常数求参数的取值范围。

知识点

利用基本不等式求最值
1
题型:填空题
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分值: 5分

10. 设函数的零点为,函数的零点为,则的值为       .

正确答案

解析

由函数的零点为知道, 为函数的交点的横坐标;同理是为函数的交点的横坐标。由反函数的知识知道:的图像关于直线对称,而也关于直线对称,而的交点为(2.5,2.5),所以关于对称,所以

考查方向

本题主要考查函数与方程、反函数、对称等知识,意在考查考生转化与划归、树形结合的能力。

解题思路

1.先将题中给出的函数的零点为,函数的零点为,转化为两个函数图像交点的横坐标;2.利用反函数的知识发现关于对称,进而求出和。

易错点

1.误认为要求根导致无法入手;

2.注意不到指数函数和对数函数互为反函数,所以看不到对称关系。

知识点

函数零点的判断和求解
1
题型:填空题
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分值: 5分

9. 已知正方体的棱长为,点为棱的中点,则点到平面的距离为          .

正确答案

解析

连接AC,交BD于点O,连接,

由四边形ABCD为正方形得,又面ABCD,面ABCD,所以,又,所以,所以,由题意易求,所以,所以,又,所以,所以即为点到平面的距离,所以点到平面的距离为

考查方向

本题主要考查空间点线面的位置关系,点到

解题思路

1.先根据题中的条件找到点到平面的距离为

2.根据题中给出的数据求解出来。

易错点

1.无法从图形中找到点到平面的距离在哪?

2.对于空间线面的位置关系不熟练。

知识点

平面的法向量
1
题型:填空题
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分值: 5分

1. 若行列式,则          .

正确答案

2

解析

由题意得,即

考查方向

本题主要考查行列式的基本运算,主要考查考生的基本运算能力和运算求解能力。

解题思路

直接带入行列式的公式求解即可。

易错点

不知道的计算公式。

1
题型:填空题
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分值: 5分

13. 已知正四面体,点分别是所在棱的中点,如图. 则当,且时,数量积的不同数值的个数为       .

正确答案

9

解析

设正四面体的棱长为2;

(1)当直线直线所在直线平行或重合时,

(2)当直线直线所在直线相交时,

(3)当直线直线所在直线异面时,

由以上情况可知,数量积的不同数值的个数为4+4+1=9.

考查方向

本题主要考查空间两条直线的位置关系,向量的数量积等知识,意在考查考生的空间想象能力和分类讨论的能力。

解题思路

1.先将题中给出的向量和所给的向量分类;

2.计算在不同类里数量积的不同值后即可得到答案。

易错点

1.不知如何分类导致结果多或者少;

2.无法理解题中的条件

知识点

空间几何体的结构特征排列与组合的综合
1
题型:填空题
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分值: 5分

11. 对于数列满足:),其前项和为.记满足条件的所有数列中,的最大值为, 最小值为,则      .

正确答案

16

解析

得,,所以,所以,。。。要使得的最小值为只需,所以数列为等差数列, ,使得的最大值为只需,所以数列为等比列,所以使得的最大值为只需,所以数列为等比列

考查方向

本题主要考查等差数列、等比数列的定义,前n项和的求法等知识,意在考查考生理解题意,转化与化归的能力。

解题思路

1.先根据题中给出的条件求几项,后发现规律:若要使得的最小则数列为等差数列,使得的最大值则数列为等比数列;

2.利用等差数列和等比数列的求和公式求出a,b后做差。

易错点

1.无法理解题中给出的条件;2.不会将题中条件转化到等差数列、等比数列的定义解决问题。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与其它知识的综合问题
1
题型:填空题
|
分值: 5分

12. 定义在上的奇函数在区间上单调递减,且,则不等式的解集为         .

正确答案

解析

由奇函数在区间上单调递减,所以函数在区间上也单调递减,且

(1)当时,不等式可化为,而,所以成立,符合题意。

(2)当时,不等式可化为,所以

(3)当时,

①当时,不等式可化为,所以

②当时,不等式可化为,所以符合题意。

③当时,不等式可化为,所以取交集为

综上可知,的解集合为

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性,抽象函数的图像等知识,意在考查考生分类讨论的思想。

解题思路

1.先利用奇函数求出函数在对称的区间上的单调性;

2.根据x的范围不同分类求出x的解后取并集。

易错点

1.不会奇函数在对称的区间上单调性相同这个结论;

2.分类讨论时不全或重复。

知识点

函数奇偶性的性质函数性质的综合应用不等式与函数的综合问题
1
题型:填空题
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分值: 5分

14. 设函数的定义域为,记

,若,

, 则的取值范围是___________________.

正确答案

解析

可以知:函数可以取到最大值为2.由,所以,所以

考查方向

本题主要考查函数的定义域、值域的有关知识,三角函数的定义域和值域等知识,意在考查考生对于函数符号的理解能力和转化能力。

解题思路

1.先根据题中给出的符号转化出函数的最大值2;根据三角函数取最大值的解法得到

易错点

1.根本无法理解题中的符号是什么意思;

2.不会转化题中的条件导致无法解出正确答案。

知识点

函数性质的综合应用
单选题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

16.设为两个随机事件,如果为互斥事件,那么(    ).

A是必然事件.

B是必然事件.

C是互斥事件.

D不是互斥事件.

正确答案

A

解析

为互斥事件知,由集合的知识知道。故选择A。

考查方向

本题主要考查事件间的关系,对立事件的概念等知识,意在考查考生对于概念的理解和知识间的联系。

解题思路

先利用集合间的关系找出其对立事件,后即可得到答案。

易错点

1.不会将为互斥事件转化为;2.不会集合的补集的性质导致出错。

知识点

随机事件的关系互斥事件、对立事件的概率
1
题型: 单选题
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分值: 5分

18. 我们称点到图形上任意一点距离的最小值为点到图形的距离. 那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是 (   ).

A圆.

B椭圆.

C双曲线的一支.

D直线.

正确答案

D

解析

设圆C的半径为r,

(1)当点A在圆C外时,由题意得,所以点P的轨迹为以A,C为焦点的双曲线的一支;

(2当点A在圆C内且不是C点时,由题意得,所以点P的轨迹为以A,C为焦点的椭圆;

(3当点A在与点C重合时,由题意得点P的轨迹为C为圆心,为半径的圆;

(4)点A在圆C上时,由题意点P的轨迹为射线CA。故选D。

考查方向

本题主要考查圆、椭圆、双曲线的定义等知识,意在考查考生的分类讨论思想和逻辑推理能力。

解题思路

1.先根据题意将点A与圆的位置关系进行分类;2.利用圆锥曲线的定义分别确定各个类里的曲线类型。

易错点

1.不知道该如何分类解决,分类的标准如何;2.不会转化为各类圆锥曲线的定义。

知识点

用其它方法求轨迹方程
1
题型: 单选题
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分值: 5分

17. 将参加夏令营的600名学生编号为:001,002,……600,采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495住在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为(   ).

A26, 16, 8.

B25,17,8.

C25,16,9.

D24,17,9.

正确答案

B

解析

分段的间隔为,所以每隔12人抽取一个,现已知第一组抽取的号码为003,所以各个抽取的号码有003,,006,009,012,015,。。。,583.所以第Ⅰ营区共共有25组,每组抽取一人,共抽取25人,第Ⅱ营区的学生为从第26组第一个人开始到第42组第3人共计抽取41-25+1=17人,所以第Ⅲ营区共抽取50-25-17=8人,故选择B。

考查方向

本题主要考查统计中的系统抽样知识,意在考查考生对于系统抽样的理解程度。

解题思路

1.先确定分段的间隔,然后确定出第一营区被选出的人数;2.继续确定第二营区、第三营区被选出的人数即可。

易错点

1.无法确定第2营区的学生是由那些组的人组成,导致出错;2.在求解第二营区抽取人数时只用41-25求解出错。

知识点

系统抽样方法
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

15.  二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是( ).

A系数行列式.

B比例式.

C向量不平行.

D直线不平行.

正确答案

D

解析

若二元一次方程组存在唯一解,则直线相交,而D选项是平行和重合,所以选D。

考查方向

本题主要考查充分必要条件,直线间的位置关系等知识,意在考查考生逻辑推理能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先求出二元一次方程组存在唯一解的充要条件;2.然后从选项上选择出必要非充分条件。

易错点

不知道二元一次方程组存在唯一解指的是两直线平行。

简答题(综合题) 本大题共60分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

已知复数为虚数单位,.

20.若为实数,求的值;

21.若复数对应的向量分别是,存在使等式成立,求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)-2,

解析

:因为为实数

所以

因为,所以

考查方向

本题主要考查复数的运算,三角函数的化简与求值,向量的坐标运算等知识,意在考查考生运算求解能力和转化能力。

解题思路

先根据复数的运算求出角

易错点

不会利用的值;

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)

解析

(2)由已知

因为

所以

因为,所以

进而

解得 .

考查方向

本题主要考查复数的运算,三角函数的化简与求值,向量的坐标运算等知识,意在考查考生运算求解能力和转化能力。

解题思路

先根据向量的知识确定出函数关系

利用第(1)问的结论求函数的取值范围。

易错点

不会构建关于的函数,导致没有思路。

1
题型:简答题
|
分值: 5分

19.用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器,如图. 若圆锥的母线与底面所成的角为,求制作该容器需要多少面积的铁皮. (铁皮衔接部分忽略不计,结果精确到)

正确答案

解析

设圆锥的底面半径为,高为,母线长为

因为母线与底面所成的角为,所以

所以

进而得圆锥的侧面积

所以该容器所需铁皮的面积约为

考查方向

本题主要考查圆锥的几何性质、体积公式等知识,意在考查考生空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

1.先根据母线与底面所成的角为确定出,2.带入体积公式求出,最后带到侧面积的公式即可。

易错点

1.不会求底面半径和高之间的关系;2.圆锥的面积公式忘记乘

知识点

旋转体(圆柱、圆锥、圆台)多面体和旋转体表面上的最短距离问题
1
题型:简答题
|
分值: 14分

已知表示不小于的最小整数,例如.

27.设,,若,求实数的取值范围;

28.设在区间上的值域为,集合中元素的个数为,求证:

29.设),,若对于,都有,求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)

解析

(1)因为在区间上单调递增,

所以

进而的取值集合为

由已知可知上有解,因此,

考查方向

本题主要考查函数的性质,能成立问题、极限的求法等知识,意在考查考生的分析问题、解决问题,转化与划归的能力。

解题思路

根据函数的单调性求出的取值集合为,进而可得到答案;

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理;2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)略;

解析

(2)当时,

所以的取值范围为区间

进而上函数值的个数为个,

由于区间没有共同的元素,

所以中元素个数为,得

因此,

考查方向

本题主要考查函数的性质,能成立问题、极限的求法等知识,意在考查考生的分析问题、解决问题,转化与划归的能力。

解题思路

先根据题意确定,然后带入求出极限;

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理;2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(3)由于

所以,并且当时取等号,

进而时,

由题意对任意恒成立.

恒成立,因为,所以

恒成立,因为,所以

综上,实数的取值范围为 .

考查方向

本题主要考查函数的性质,能成立问题、极限的求法等知识,意在考查考生的分析问题、解决问题,转化与划归的能力。

解题思路

先求出   ,进而分类确定a的取值范围。

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理;2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知是等差数列,,数列满足,且是等比数列.

22.求数列的通项公式;、

23.设,求数列的前项和,并判断是否存在正整数,使得?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)

解析

(1)因为,所以,得

所以

,且,得

所以,进而

考查方向

本题主要考查等差数列、等比数列的基本性质,求和公式等知识,意在考查考生分类讨论的思想和运算求解能力。

解题思路

1.第(1)问根据等差数列、等比数列的基本量求出通项公式;2.根据第(1)问求出,然后求出其前n项和,通过判断其单调性得到答案。

易错点

1.不会将分段;2。不知道用什么方法求数列的前项和

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)

解析

(2)

所以

(或 ,

因为,数列是递增数列,且

所以,不存在正整数,使得.

考查方向

本题主要考查等差数列、等比数列的基本性质,求和公式等知识,意在考查考生分类讨论的思想和运算求解能力。

解题思路

1.第(1)问根据等差数列、等比数列的基本量求出通项公式;2.根据第(1)问求出,然后求出其前n项和,通过判断其单调性得到答案。

易错点

1.不会将分段;2。不知道用什么方法求数列的前项和

1
题型:简答题
|
分值: 16分

已知抛物线为抛物线上的点,若直线经过点且斜率为,则称直线为点的“特征直线”. 设为方程)的两个实根,记.

24.求点的“特征直线”的方程;

25.已知点在抛物线上,点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直,且与轴的交于点,点为线段上的点. 求证:

26.已知是抛物线上异于原点的两个不同的点,点的“特征直线”分别为,直线相交于点,且与轴分别交于点. 求证:点在线段上的充要条件为(其中为点的横坐标).

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1).;

解析

(1)由题意的斜率为1,

所以点的“特征直线”的方程为.

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识,意在考查考生的理解能力,转化与划归的能力。

解题思路

1根据题意直接求出“特征直线”的方程为.

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手;2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1).;

解析

设点,由于双曲线所求渐进线的斜率为

所以,进而得

线段的方程为

所以满足

所对应方程为:,解得

因为,所以,进而

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识,意在考查考生的理解能力,转化与划归的能力。

解题思路

线根据渐近线方程求出,进而得到点(a,b)满足的方程;

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手;2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

(3)设,则的方程分别为

交点可得

所对应的方程为:

必要性:因为点在线段上,所以

时,,得

时,,得

所以,进而

① 充分性:由,得

时,,得

时,得,得

所以点在线段上.

综上,点在线段上的充要条件为

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识,意在考查考生的理解能力,转化与划归的能力。

解题思路

先证明结论的充分性,后证明其必要性。

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手;2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

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