• 理科数学 2013年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.已知集合A=,B=,且,则实数a的值是(    )

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2.已知复数满足(其中i为虚数单位),则复数的模是(     )

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3.已知命题:“为真命题,则的取值范围是(    )

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4.在中,,则(    )

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5.已知向量夹角为 ,且,则(     )

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6.各项均为正数的等比数列满足,函数,则(    )     

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7.设实数,若不等式对任意都成立,则的最小值为(    )          

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8.如图,在矩形中,的中点,点在边上,若,则的值是(      )           

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10.已知,若,则的范围是(      )

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11.函数的最大值为(    )                 

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12.已知数列的通项公式是,若对于,都有成立,则实数k的取值范围是(    )               

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13.设函数,为坐标原点,为函数图像上横坐标为 的点,向量 ,设轴的夹角,则=(    )          

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14.如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(∠ACB=,AC=2)沿x轴滚动,设顶点A(x,y)的轨迹方程是y=,则在其相邻两个零点间的图象与x轴所围区域的面积为(    )    

         

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9.是定义在上的非负可导函数,且满足,对任意正数,若,则的大小关系为(      )

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简答题(综合题) 本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.已知a=(sinx,-cosx),b=(cosx,cosx),函数f(x)=a·b+

(1)求f(x)的最小正周期,并求其图像对称中心的坐标;

(2)当0≤x≤时,求函数f(x)的值域。

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16.在中,

(1)求证:

(2)若求A的值。

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17.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且

(1)求a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式;

(2)解不等式

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19.某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b人,以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套,其中需要换掉的旧设备占了一半。学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备,同时每年换掉x套的旧设备。

(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套?

(2)依照(1)的更换速度,共需多少年能更换所有需要更换的旧设备?

下列数据供计算时参考:

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18.已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x。

(1) 求函数M(x)=的最大值;

(2) 如果对f(x2)f()>kg(x)中的任意x∈[1,4],不等式恒成立,求实数k的取值范围。

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20.已知函数(x>0)

(1)若a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求b的取值范围;

(2)若a≥2,b=1,求方程在(0,1]上解的个数。

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