理科数学 2013年高三试卷

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填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分。把答案填写在题中横线上。

1．已知集合A＝，B＝，且，则实数a的值是（）

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2．已知复数满足（其中i为虚数单位），则复数的模是（）

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3．已知命题：“”为真命题，则的取值范围是（）

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4．在中,，则（）

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5．已知向量夹角为 ,且，则（）

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6．各项均为正数的等比数列满足，函数，则（）

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7．设实数，若不等式对任意都成立，则的最小值为（）

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8．如图,在矩形中,点为的中点，点在边上，若,则的值是（）

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10.已知，若，，则的范围是（）

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11．函数的最大值为（）

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12．已知数列的通项公式是，若对于，都有成立，则实数k的取值范围是（）

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13．设函数,为坐标原点,为函数图像上横坐标为的点,向量 ,设为与轴的夹角,则=（）

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14．如图放置的等腰直角三角形ABC薄片（∠ACB＝，AC＝2）沿x轴滚动，设顶点A（x，y）的轨迹方程是y＝，则在其相邻两个零点间的图象与x轴所围区域的面积为（）

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9．是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则，的大小关系为（）

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简答题（综合题）本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．已知a＝（sinx，－cosx），b＝（cosx，cosx），函数f（x）＝a·b＋。

（1）求f（x）的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；

（2）当0≤x≤时，求函数f（x）的值域。

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16．在中,已知。

（1）求证:；

（2）若求A的值。

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17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且。

（1）求a2，a3的值，并求数列{an}的通项公式；

（2）解不等式。

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19．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰．该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半。学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备。

（1）如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？

（2）依照（1）的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？

下列数据供计算时参考：

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18．已知函数f（x）＝3－2log2x，g（x）＝log2x。

（1）求函数M（x）＝的最大值；

（2）如果对f（x2）f（）>kg（x）中的任意x∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围。

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20．已知函数（x＞0）

（1）若a＝1，f（x）在（0，＋∞）上是单调增函数，求b的取值范围；

（2）若a≥2，b＝1，求方程在（0，1]上解的个数。

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