• 理科数学 南京市2014年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.在复平面内,复数-3+i和1-i对应的点间的距离为(    )

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2.命题:“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数是(    )

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5.为了调查高中学生眼睛高度近视的原因,某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的高度近视眼患者中,抽取若干人组成样本进行深入研究,有关数据见右表(单位:人):若从高一与高三抽取的人选中选2人进行跟踪式家访调研,则这2人都来自高三年级的概率是(    )

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3.如图是一个算法流程图,则输出的S的值是(    )

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6.双曲线的渐近线被圆x2+y2-6x-2y+1=0所截得的弦长为(     )

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7.在共有2013项的等差数列{an}中,有等式(a1+a3+…+a2013)-(a2+a4+…+a2012)=a1007成立;类比上述性质,在共有2011项的等比数列{bn}中,相应的有等式(    )成立。

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8.已知向量p的模是,向量q的模为1,pq的夹角为a=3p+2qbpq,则以ab为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是(     )

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10.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且对任意恒成立,则的值为(    )

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9.若x,y满足不等式组且z=2x+4y的最小值为-6,则k的值为(     )

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11.已知A={x|1≤x≤2},B={x|x2+2x+a≥0},A,B的交集不是空集,则实数a的取值范围是   (    )

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13.平面四边形ABCD中,AB=,AD=DC=CB=1,△ABD和△BCD的面积分别为S,T,则S2+T2的最大值是(    )

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14.在直角坐标系xOy中,点P(xP,yP)和点Q(xQ,yQ)满足,按此规则由点P得到点Q,称为直角坐标平面的一个“点变换”。此变换下,若,其中O为坐标原点,则的图象在y轴右边第一个最高点的坐标为(    )

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12.定义在R上的函数f(x)的图象过点M(-6,2)和N(2,-6),对任意正实数k,有f(x+k)<f(x)成立,则当不等式| f(x-t)+2|<4的解集为(-4,4)时,实数t的值为(    )

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4.用半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥桶,那么这个圆锥的高是(     )

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.已知函数

(1)若,求f(x)的最大值;

(2)在△ABC中,若A<B,f(A)=f(B)=,求的值。

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16.已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为直角梯形,且满足AD⊥AB,BC//AD,AD=16,AB=8,BB1=8。E,F分别是线段A1A,BC上的点。

(1)若A1E=5,BF=10,求证:BE//平面A1FD。

(2)若BD⊥A1F,求三棱锥A1-AB1F的体积。

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17.省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为,x[0,24],其中a是与气象有关的参数,且,若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作M(a)。

(1)令,x[0,24],求t的取值范围;

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标?

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18.已知椭圆C:(a>b>0),⊙O:x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点。点P是⊙O上的动点。

(1)若P(-1,),PA是⊙O的切线,求椭圆C的方程;

(2)是否存在这样的椭圆C,使得是常数?如果存在,求C的离心率;如果不存在,说明理由。

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19.已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a为正数)。

(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;

(2)求f(x)的单调区间;

(3)设g(x)=x2-2x,若对任意x1(0,2],均存在x2(0,2],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围。

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20.设数列{an}满足:a1=1,a2=2,an+2(n≥1,nN*)。

(1)求证:数列是常数列;

(2)求证:当时,

(3)求a2011的整数部分。

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22.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=45°,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点。

(1)求异面直线AB与MD所成角的大小;

(2)求平面OAB与平面OCD所成二面角的余弦值。

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23.已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p(0<p<1),且各个元件能否正常工作是相互独立的。今有2n(n大于1)个元件可按下图所示的两种联结方式分别构成两个系统甲、乙。

(1)试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率p1,p2

(2)比较p1与p2的大小,并从概率意义上评价两系统的优劣。

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21.【选做题】

本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题作答。若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.选修4-1:几何证明选讲

如图,设AB为的任一条不与直线垂直的直径,P是的公共点,AC⊥,BD⊥,垂足分别为C,D,且PC=PD。

求证:(1)的切线;

          (2)PB平分∠ABD。

B.选修4-2:矩阵与变换

已知点A在变换:T:作用后,再绕原点逆时针旋转90°,得到点B。若点B坐标为(-3,4),求点A的坐标。

C.选修4-4:坐标系与参数方程

求曲线,被直线所截得的线段长。

D.选修4-5:不等式选讲

已知a、b、c是正实数,求证:

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