• 理科数学 2011年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.是虚数单位,复数的虚部是(    )

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2.已知集合,集合,若命题“”是命 题“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是(    )

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3.抛物线的焦点到准线的距离是(    )

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4.  已知等比数列中,各项都是正数,且成等差数列,则=(    )

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5.已知一组正数的方差为,则数据的平均数为(    )

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6.已知函数,则不等式的解集是(    )

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7.已知函数的图象的一条对称轴是,若 表示一个简谐运动,则其初相是(    )

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8.设平面区域是由双曲线的两条渐近线和直线所围成三角形的边界及内部。当时,的最大值为(    )

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9.在边长为2的正三角形ABC中,以A为圆心,为半径画一弧,分别交AB,AC于D,E。若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子,则豆子落在扇形ADE内的概率是(    )

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10.四面体A—BCD中,AB=CD=1,其余各棱长均为2,则VA—BCD=(      )


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11.若不等式≤a≤,在上恒成立,则a的取值范围是(    )

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12.如图,在长方形中,的中点,为线段(端点除外)上一动点。现将沿折起,使平面平面。在平面内过点为垂足。设,则的取值范围是(    )

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13.设是从-1,0,1这三个整数中取值的数列,若,则中数字0的个数为(    )

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14.已知向量,,满足,,.若对每一确定的,的最大值和最小值分别为,则对任意,的最小值是(    )

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15. 在△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为

(Ⅰ)求的最大值及的取值范围;

(Ⅱ)求函数的最值。

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16. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2AA1,D、E分别为AB,A1C中点。

(1)求证:DE//平面BB1C1C;

(2)求证:BB1平面A1BC。

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17. 如图,矩形是机器人踢足球的场地,,机器人先从的中点进入场地到点处,。场地内有一小球从点沿直线运动,机器人从点出发去截小球,现机器人和小球同时出发,它们均作匀速直线运动,并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍。若忽略机器人原地旋转所需的时间,则机器人最快可在何处截住小球?

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18. 椭圆的一个焦点,右准线方程

(1)求椭圆的方程;

(2)若右准线上一点,为椭圆的左顶点,连结交椭圆于点,求的取值范围;

(3)设圆Q:与椭圆有且只有一个公共点,过椭圆上一点作圆Q的切线,切点为,求的最大值。

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19. 对于函数,如果存在实数使得,那么称的生成函数。

(1)下面给出两组函数,是否分别为的生成函数?并说明理由。

第一组:

第二组:

(2)设,生成函数。若不等式上有解,求实数的取值范围。

(3)设,取生成函数图象的最低点坐标为。若对于任意正实数,试问是否存在最大的常数,使恒成立?如果存在,求出这个的值;如果不存在,请说明理由。

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20. 已知数列是各项均不为的等差数列,公差为为其前项和,且满足。数列满足为数列的前n项和。

(1)求.

(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;

(3)是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由。

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21.(请在A.B.C.D中选择2题做答)

A.选修4-1:几何证明选讲

  如图,是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD交于点E,连接BE与AC交于点F。

    

    (1)判断BE是否平分∠ABC,并说明理由;

    (2)若AE=6,BE=8,求EF的长。

B.选修4-2:矩阵与变换

请用逆矩阵的方法求下面二元一次方程组的解

C.选修4-4:参考方程与极坐标

  分别在下列两种情况下,把参数方程化为普通方程:

     (1)为参数,t为常数;

     (2)t为参数,为参数。

D.选修4—5:不等式选讲

  设a,b,c均为实数。

      (I)若,求的最小值;

     (II)求证:

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22. 第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm)。若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”,身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。

(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?

(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出的分布列,并求的数学期望。

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23.已知四棱锥平面,且,底面为直角梯形, 分别是的中点。

(1)求证:// 平面

(2)求截面与底面所成二面角的大小;

(3)求点到平面的距离。

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