14.以下四个命题中:
①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测,这样的抽样是分层抽样,
②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1,
③某项测量结果服从正态分布N (1,a2),P(
≤5)=0.81,则P
≤ 3) =0.19
④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说,k越小,判断“X与Y有关系” 的把握程度越大。以上命题中其中真命题的个数为 .
20.已知椭圆C:
+
= 1(a >b >0) 的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y + 12 = 0相切.(1)求椭圆C的方程,(2)设A( -4,0),过点R(3,0)作与x轴不重合的直线L交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ分别
交直线x =
于M,N两点,若直线MR、NR的斜率分别为
k1,k2 ,试问: k1 k2是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
15.已知圆C:(x -3) 2 + (y —4) 2 = 1和两点A( -m,0),B(m,0) (m>0),若圆上存在点P,使得 ∠APB =90°,则m的取值范围是 .
16.f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x),若f(x)—f'(x) <1,f(0) = 2016,则不等式e x f(x) >e x + 2015(其中e为自然对数的底数)的解集为 .
17.已知数列{an}的前n项和为Sn ,向量a= (S n ,1),b= (2n — 1, ),满足条件a∥b,(1)求数列{an}的通项公式,(2)设函数f(x)= (
)x,数列{bn}满足条件b1=1,f(bn+1) =
.
①求数列{bn}的通项公式,
②设Cn =, 求数列{ Cn }的前n项和Tn.
18. 如图,在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA丄底面ABCD,AB垂直于AD 和 BC,SA=AB = BC=2,AD = 1.M 是棱 SB 的中点.
(1)求证:AM//平面SCD,
(2)求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值,
(3)设点N是直线CD上的动点,MN与平面SAB所成的角为0,求sin的最大值.
21.已知函数 f(x)=ln(x+1)-x .
(1)求f(x)的单调区间,
(2)若k∈Z,且f(x-1)+x>k (1-3 )对任意x>1恒成立,求k的最大值,
(3)对于在区间(0,1)上的任意一个常数a,是否存在正数x。,使得ef(x0 ) < 1 -x
成立? 请说明理由.
22. 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB 垂直BE交圆于点
D.
(1)证明:DB = DC;(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆 的半径.
19.(1)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣 小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道
题进行解答.选题情况如下表(单位•人)
(1)能否据此判断有97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5 — 7分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在6 - 8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率,
(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、 乙两女生被抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).
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