理科数学石家庄市2013年高三试卷

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单选题
填空题
简答题

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

2．下列命题中，真命题是（）

C的充要条件是

D是的充分条件

正确答案

解析

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知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

分值: 5分

3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）

A球

B三棱锥

C正方体

D圆柱

正确答案

解析

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知识点

空间几何体的结构特征

题型：单选题

分值: 5分

7．在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量

, 则点的坐标是（）

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

10．设a＞0，b＞0,下列选项正确的是（）

A若，则a＞b

B若，则a＜b

C若，则a＞b

D若，则a＜b

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

1．若复数（为虚数单位) 是z的共轭复数，则+²的虚部为（）

B-1

D-2

正确答案

解析

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知识点

虚数单位i及其性质

题型：单选题

分值: 5分

5．如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（）

正确答案

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知识点

空间几何体的结构特征

题型：单选题

分值: 5分

6．将圆x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直线是（）

Ax+y-1=0

B．x+y+3=0

Cx-y+1=0

Dx-y+3=0

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

8．已知F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=( )

正确答案

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知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

分值: 5分

9．样本（）的平均数为，样本（）的平均数为，若样本（，）的平均数，其中，则n,m的大小关系为( )

D不能确定

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

11．右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（）

正确答案

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知识点

流程图的概念

题型：单选题

分值: 5分

12．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列选项正确是（）

A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

正确答案

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知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

分值: 5分

4．把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）

正确答案

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知识点

简单复合函数的导数

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13．设数列{an},{bn}都是等差数列，若，，则__________．

正确答案

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

分值: 5分

16．对于实数，定义运算“”：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_____．

正确答案

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知识点

不等式的性质

题型：填空题

分值: 5分

14．右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽(单位:米)__________.

正确答案

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知识点

抛物线的定义及应用

题型：填空题

分值: 5分

15．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元;公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是_________

正确答案

2800元

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

17．设函数．

（I）求函数的最小正周期；

（II）设函数对任意，有，且当时，；求函数在上的解析式。

正确答案

（I）,

函数的最小正周期．

（II）当时，,

当时， ,

得：函数在上的解析式为．

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

分值: 12分

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点。

（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积。

正确答案

（Ⅰ）连接AC，由AB=4，，

Ｅ是ＣＤ的中点，所以

所以

而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．

（Ⅱ）过点Ｂ作

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE．

于是为直线ＰＢ与平面PAE所成的角，且．

由知，为直线与平面所成的角．

由题意，知

因为所以

由

所以四边形是平行四边形，故于是

在中，所以

于是

又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系．设则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知

因为

所以而是平面内的两条相交直线，所以

(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与

所成的角和PB与所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得．

又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为

．

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知识点

空间几何体的结构特征

题型：简答题

分值: 12分

20．分别是椭圆的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点；

（I）若点的坐标为；求椭圆的方程；

（II）证明：直线与椭圆只有一个交点。

正确答案

（I）点代入得：

①,

又 ② ,

③

由①②③得：既椭圆的方程为．

（II）设；则

得：

过点与椭圆相切的直线斜率．

得：直线与椭圆只有一个交点。

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知识点

空间几何体的结构特征

题型：简答题

分值: 10分

从22、23、24题中任选一道作答。

22．选修4-1：几何证明选讲

如图，圆O和圆相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于两点，连结并延长交圆O于点．

证明：（I）；

（II）

23．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆，圆．

（I）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标（用极坐标表示）;

（II）求圆与圆的公共弦的参数方程。

24．选修4-5：不等式选讲

已知，不等式的解集为

（I）求的值;

（II）若恒成立，求的取值范围．

正确答案

22.（I）由与圆O相切于，得，同理，

所以相似于,从而，即

（II）由与圆O相切于，得，又，得相似于

从而，即，综合（I）的结论，

23.（I）圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为，

解得，故圆与圆交点的坐标为

（II）由，得圆与圆交点的直角坐标为

故圆与圆的公共弦的参数方程为

24.（I）由得，又的解集为，所以

当时，不合题意

当时，，得．

（II）记，则，

所以，因此．

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知识点

不等式的性质

题型：简答题

分值: 12分

18．某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量。

（Ⅰ）求的概率；

（Ⅱ）设，求的分布列和均值（数学期望）。

正确答案

（I）表示两次调题均为类型试题，概率为

（Ⅱ）时，每次调用的是类型试题的概率为，

随机变量可取

，，

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

分值: 12分

21．已知函数=，其中a≠0．

（Ⅰ）若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合；

（II）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。

正确答案

（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，

故．

而令

当时，单调递减；

当时，单调递增，

故当时，取最小值

于是对一切恒成立，

当且仅当．　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减．

故当时，取最大值．因此，当且仅当即时，①式成立．

综上所述，的取值集合为．

（Ⅱ）由题意知，

令则

令，则．

当时，单调递减；当时，单调递增．

故当，即

从而，又

所以

因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，

所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且．

故当且仅当时，．

综上所述，存在使成立．且的取值范围为．

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

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