理科数学 热门试卷

（1）由f（x）＝ex－ax2－bx－1，得g（x）＝f′（x）＝ex－2ax－b.

所以g′（x）＝ex－2a.

当x∈[0，1]时，g′（x）∈[1－2a，e－2a]．

当a≤时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上单调递增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1－b；

当a≥时，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上单调递减，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b；

当<a<时，令g′（x）＝0，得x＝ln（2a）∈（0，1）

所以函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间（ln（2a），1]上单调递增，

于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））＝2a－2aln（2a）－b.

综上所述，当a≤时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1－b；

当<a<时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））＝2a－2aln（2a）－b；

当a≥时，g（x）在[0，1]上的最小值是

g（1）＝e－2a－b

（2）设x0为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，

则由f（0）＝f（x0）＝0可知

f（x）在区间（0，x0）上不可能单调递增，也不可能单调递减．

则g（x）不可能恒为正，也不可能恒为负．

故g（x）在区间（0，x0）内存在零点x1.

同理g（x）在区间（x0，1）内存在零点x2.

故g（x）在区间（0，1）内至少有两个零点．

由（1）知，当a≤时，g（x）在[0，1]上单调递增

故g（x）在（0，1）内至多有一个零点；

当a≥时，g（x）在[0，1]上单调递减

故g（x）在（0，1）内至多有一个零点，都不合题意．

所以<a<.

此时g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间（ln（2a），1]上单调递增．

因此x1∈（0，ln（2a）]，x2∈（ln（2a），1），必有

g（0）＝1－b>0，g（1）＝e－2a－b>0.

由f（1）＝0得a＋b＝e－1<2，

则g（0）＝a－e＋2>0，g（1）＝1－a>0，

解得e－2<a<1.

当e－2<a<1时，g（x）在区间[0，1]内有最小值g（ln（2a））．

若g（ln（2a））≥0，则g（x）≥0（x∈[0，1]），

从而f（x）在区间[0，1]内单调递增，这与f（0）＝f（1）＝0矛盾，所以g（ln（2a））<0.

又g（0）＝a－e＋2>0，g（1）＝1－a>0.

故此时g（x）在（0，ln（2a））和（ln（2a），1）内各只有一个零点x1和x2.

由此可知f（x）在[0，x1]上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在[x2，1]上单调递增．

所以f（x1）>f（0）＝0，f（x2）<f（1）＝0，

故f（x）在（x1，x2）内有零点．

综上可知，a的取值范围是（e－2，1）．

故g（x）≤0，即f（x）≤2x－2.

1.

证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.

因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.

故△ABE∽△ADC. 

（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE.

又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.

则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，

所以∠BAC＝90°. 

2.

（1）直线的参数方程（t为参数）

M点的直角坐标为（0，4）  圆C半径

图C方程        得 

代入得圆C极坐标方程   

（2）直线的普通方程为

圆心M到的距离为

∴直线与圆C相离。  

3.

（1）   

当时无解

当            

∴不等式解集为（）   （）

（2）  图象恒在图象上方，故

设  

做出图象得出当时   取得最小值4，故时

图象在图象上方。

（1）当时，，，

又为真，所以真且真，

由，得

所以实数的取值范围为

（2） 因为是的充分不必要条件，

所以是的充分不必要条件，

又，，

所以，解得

所以实数的取值范围为。

（1）解：所有可能的申请方式有种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有种，

从而恰有2人申请A片区房源的概率为

（2）的所有取值为1、2、3

所以的分布列为

（1）M=10,x=0.5,y=3,z=0.3

（2）设该事件为事件A，则

（3）X的可能取值为3.5、5、6