理科数学 嘉峪关市2015年高三试卷
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.下列函数中,在区间为增函数的是(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.已知,则(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

函数的单调性及单调区间
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.已知命题命题,则下列命题中为真命题的是:(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

四种命题及真假判断
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.函数的零点个数为(    )

A0

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.已知集合(     )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.函数在R上为减函数,则(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.函数的图象大致为(   )

A

B

C 

D

正确答案

A

解析

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知识点

函数的图象与图象变化
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.直线与曲线相切,则b的值为(    )

A-2

B-1

C

D1

正确答案

B

解析

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知识点

直线与圆的位置关系
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.设是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数上有两个不同的零点,则称上是“关联函数”,区间称为“关联区间”。若在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围是(    )

A

B[-1,0]

C(-∞,-2]

D

正确答案

A

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(  )

A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)

C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)

D函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)

正确答案

D

解析

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知识点

函数的图象与图象变化
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.已知函数,若至少存在一个,使成立,则实数a的范围为(      )

A[,+∞)

B(0,+∞)

C[0,+∞)

D,+∞)

正确答案

B

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.“”是“”的(  )条件。

A充分不必要

B必要不充分

C充分必要

D既不充分也不必要

正确答案

B

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知识点

二次函数的应用
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.设是定义在R上的偶函数,且对于恒有,已知当时,

的周期是2;         

在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;

的最大值是1,最小值是0;  

④当时,

其中正确的命题的序号是________。

正确答案

①②④

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知识点

四种命题及真假判断
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.已知随机变量,且P,P,则P()=_______。

正确答案

0.1

解析

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知识点

二项分布与n次独立重复试验的模型
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴青奥会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有 _______种(用数字作答)

正确答案

90

解析

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知识点

分层抽样方法
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.的展开式中的常数项为______________(用数字作答)

正确答案

24

解析

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知识点

不等式
简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

21.已知函数,其中a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数。

(1)设是函数的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;

(2)若f(1)=0,函数在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围。

正确答案

(1)由f(x)=ex-ax2-bx-1,得g(x)=f′(x)=ex-2ax-b.

所以g′(x)=ex-2a.

当x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].

当a≤时,g′(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上单调递增,

因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;

当a≥时,g′(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减,

因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b;

<a<时,令g′(x)=0,得x=ln(2a)∈(0,1)

所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增,

于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.

综上所述,当a≤时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;

<a<时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b;

当a≥时,g(x)在[0,1]上的最小值是

g(1)=e-2a-b

(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,

则由f(0)=f(x0)=0可知

f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.

则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.

故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1.

同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.

故g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.

由(1)知,当a≤时,g(x)在[0,1]上单调递增

故g(x)在(0,1)内至多有一个零点;

当a≥时,g(x)在[0,1]上单调递减

故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.

所以<a<.

此时g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.

因此x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有

g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0.

由f(1)=0得a+b=e-1<2,

则g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0,

解得e-2<a<1.

当e-2<a<1时,g(x)在区间[0,1]内有最小值g(ln(2a)).

若g(ln(2a))≥0,则g(x)≥0(x∈[0,1]),

从而f(x)在区间[0,1]内单调递增,这与f(0)=f(1)=0矛盾,所以g(ln(2a))<0.

又g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0.

故此时g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)内各只有一个零点x1和x2.

由此可知f(x)在[0,x1]上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在[x2,1]上单调递增.

所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)<f(1)=0,

故f(x)在(x1,x2)内有零点.

综上可知,a的取值范围是(e-2,1).

故g(x)≤0,即f(x)≤2x-2.

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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分值: 10分

22.请考生在下列三题中任选择一题作答,如果多做,则按所作的第一题计分。

1.如图,的角平分线的延长线交它的外接圆于点

(Ⅰ)证明:∽△;

(Ⅱ)若的面积,求的大小.

2.以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为(4,),若直线过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆心,4为半径。

(I)求直线的参数方程和圆C的极坐标方程。

(II)试判定直线与圆C的位置关系。

3.已知函数 

(I) 解关于的不等式

(II)若函数的图象恒在函数的上方,求实数的取值范围。

正确答案

1.

证明:(Ⅰ)由已知条件,可得∠BAE=∠CAD.

因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD.

故△ABE∽△ADC. 

(Ⅱ)因为△ABE∽△ADC,所以,即AB·AC=AD·AE.

又S=AB·ACsin∠BAC,且S=AD·AE,故AB·ACsin∠BAC=AD·AE.

则sin∠BAC=1,又∠BAC为三角形内角,

所以∠BAC=90°. 

2.

(1)直线的参数方程(t为参数)

M点的直角坐标为(0,4)  圆C半径

图C方程        得 

代入得圆C极坐标方程   

(2)直线的普通方程为

圆心M到的距离为

∴直线与圆C相离。  

3.

(1)   

时无解

            

∴不等式解集为()   (

(2)  图象恒在图象上方,故

  

做出图象得出当时   取得最小值4,故

图象在图象上方。

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知识点

不等式的性质
1
题型:简答题
|
分值: 12分

17.设命题p:实数x满足,其中,命题实数满足.

(1)若为真,求实数的取值范围;

(2)若的充分不必要条件,求实数a的取值范围。

正确答案

(1)当时,

为真,所以真且真,

,得

所以实数的取值范围为

(2) 因为的充分不必要条件,

所以的充分不必要条件,

所以,解得

所以实数的取值范围为

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知识点

四种命题及真假判断
1
题型:简答题
|
分值: 12分

18.某市公租房的房源位于三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任意4位申请人中:

(1)恰有2人申请片区房源的概率;

(2)申请的房源所在片区的个数的分布列和期望。

正确答案

(1)解:所有可能的申请方式有种,恰有2人申请A片区房源的申请方式有种,

从而恰有2人申请A片区房源的概率为

(2)的所有取值为1、2、3

所以的分布列为

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知识点

随机事件的关系
1
题型:简答题
|
分值: 12分

20.为加快新能源汽车产业发展,推进节能减排,国家对消费者购买新能源汽车给予补贴,其中对纯电动乘用车补贴标准如下表:

某校研究性学习小组,从汽车市场上随机选取了辆纯电动乘用车,根据其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程)作出了频率与频数的统计表:

(1)求的值;

(2)若从这辆纯电动乘用车中任选辆,求选到的辆车续驶里程都不低于公里的概率;

(3)若以频率作为概率,设为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴,求的分布列和数学期望

正确答案

(1)M=10,x=0.5,y=3,z=0.3

(2)设该事件为事件A,则

(3)X的可能取值为3.5、5、6

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知识点

随机事件的关系
1
题型:简答题
|
分值: 12分

19.设函数,曲线在点P(1,0)处的切线斜率为2。

(1)求a,b的值;

(2)证明:

正确答案

由题设,y=f(x)在点P(1,0)处切线的斜率为2.

,解之得

因此实数a,b的值分别为-1和3.

(2)证明 f(x)=x-x2+3ln x(x>0).

设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x,

则g′(x)=-1-2x+=-.

当0<x<1时,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0.

∴g(x)在 (0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减.

∴g(x)在x=1处有最大值g(1)=0,

∴f(x)-(2x-2)≤0,即f(x)≤2x-2,得证

解析

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知识点

导数的几何意义不等式的证明

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