理科数学 热门试卷

解：（Ⅰ）证明：由平面平面，，

平面平面，平面，

得平面，又平面，

∴，

由为正方形得，

又，，平面，

∴平面，

又∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）由平面得，，

又故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立图示空间直角坐标系，则，，，，

设，则，

设平面的一个法向量为，

由，，

得取得，

∵平面，，

∴，，

，，

设与平面所成的角为，则

，

∴与平面所成角的正弦值为.

解：（Ⅰ）设样本的中位数为，则，

解得，所得样本中位数为.

（Ⅱ），，，

旅游费用支出在元以上的概率为

，

，

估计有位同学旅游费用支出在元以上.

（Ⅲ）的可能取值为，，，，

，，

，，

∴的分布列为

.

解：（Ⅰ）∵为线段中垂线上一点，

∴，

∵，，∵，

∴的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，

它的方程为.

（Ⅱ）∵的焦点为，

的方程为，

当直线斜率不存在时，与只有一个交点，不合题意.

当直线斜率为时，可求得，，

∴.

当直线斜率存在且不为时，

方程可设为，代入得

，，

设，，则，，

.

直线的方程为与可联立得，

设，，则，

∴四边形的面积

.

令，则，

，

∴在是增函数，，

综上，四边形面积的取值范围是.

解：（Ⅰ）由得，

两式相减得，

∴，

∵，∴，

又由得得，

是首项为，公差为的等差数列，

从而.

（Ⅱ）设公比为，则由可得，

∴，

∴，

∴数列满足，

它的前项之和①，

②，

①-②得

，

∴.

解：（Ⅰ），

化为，

即的普通方程为，

消去，得的普通方程为.

（Ⅱ）在中令得，

∵，∴倾斜角，

∴的参数方程可设为即，

代入得，，∴方程有两解，

，，∴，同号，

.

解：（Ⅰ），

，

∵的定义域为.

①即时，在上递减，在上递增，

，无极大值.

②即时，在和上递增，在上递减，

，.

③即时，在上递增，没有极值.

④即时，在和上递增，在上递减，

∴，.

综上可知：时，，无极大值；

时，，；

时，没有极值；

时，，.

（Ⅱ）设，

，

设，则，，，

∴在上递增，∴的值域为，

①当时，，为上的增函数，

∴，适合条件.

②当时，∵，∴不适合条件.

③当时，对于，，

令，，

存在，使得时，，

∴在上单调递减，

∴，

即在时，，∴不适合条件.

综上，的取值范围为.