理科数学 大庆市2017年高三第二次质量检测
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.圆上存在两点关于直线对称,则的最小值为(    )

A3+2

B9

C16

D18

正确答案

D

解析

由圆的对称性可得, 直线ax﹣2by+1=0必过圆心(﹣2,1),所以a+b=.

所以+=2(+)(a+b)=2(5++)≥2(5+4)=18,

当且仅当=,即2a=b时取等号,

选D.

考查方向

本题主要考查关于圆的性质,基本不等式

解题思路

由圆的对称性得直线经过圆心,则a+b=,代入+,利用基本不等式,求出最小值

易错点

圆的性质,基本不等式

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.己知是函数的一个极小值点,则的一个单调递减区间是(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

x0=﹣是函数fx)=sin(2x+φ)的一个极小值点,

sin[2×(﹣)+φ]=﹣1,∴﹣+φ=2kπ﹣, 解得φ=2kπ﹣k∈Z,

取φ=﹣时,fx)=sin(2x),

令2kπ+<2x<2kπ+, 可得kπ+xkπ+

∴函数fx)的单调递减区间为(kπ+kπ+k∈Z,

k=0时,函数的一个单调递减区间为().

选:A.

考查方向

本题主分考查了正弦函数的图象和单调性

解题思路

由极值点可求得φ的值,再求fx)的单调递减区间

易错点

三角函数的减区间

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.下列说法中正确的个数是(    )

(1)从一批产品取出三件产品,设事件“三件产品全是次品”,事件“三件产品全是正品”,事件“三件产品不全是次品”,中任何两个均互斥;

(2)已知都是实数,那么“”是“”的充要条件;

(3)若命题,则

A0

B1

C2

D3

正确答案

B

解析

(1)事件C=“三件产品不全是次品”,它包括一件次品,两件次品,三件全是正品三个事件,B⊂C,故B,C不互斥,(1)错误;

(2)当a=1,b=0时,有此时lnb无意义,(2)错误;

(3)若命题p:∃x∈(0,),xsinx<0,则¬p:∀x∈(0,),xsinx≥0,故(3)正确.

选:B.

考查方向

本题不要考查了命题的真假判断,考查互斥事件的概念,考查充分必要条件的判定方法,命题的否定判定

解题思路

由互斥事件的概念判断(1);举反例说明(2)错误;由命题的否定判断(3)

易错点

互斥事件的概念,命题的否定判定

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10. 已知实数满足约束条件,则的最大值为(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由约束条件作出如图可行域,目标函数z==3﹣

z的几何意义是区域内的点到定点M(﹣1,﹣1)的斜率的最小值的相反数与3的和,

由图象可知区域边界点A(1.5,2)连接的直线斜率最小为,所以z的最大值为3﹣=

选A.

考查方向

本题主要考查了简单的线性规划及数形结合的解题思想

解题思路

将分式函数变形,转化为直线的斜率,利用线性规划求最值

易错点

目标函数的变形

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.集合,则(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

化简集合M为:M={x|lg(1﹣x)<1}=x|﹣9<x<1},

∴M∩N={x|﹣1≤x<1}.选:D.

考查方向

本题主要考查了交集的求法,对数不等式的解法

解题思路

先求出集合M,再利用交集定义能求出M∩N

易错点

对数不等式求解

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.复数满足,则(    )

A3

B1

C

D

正确答案

D

解析

z(1﹣i)=﹣1﹣i,∴z=﹣=﹣i

z+2=2﹣i,∴|z+2|=,     选:D,

考查方向

本题主要考查了复数除法运算及复数的模的求法

解题思路

先化简复数z再求模。

易错点

复数的除法运算

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.等差数列中,是函数的两个零点,则的前9项和等于(    )

A﹣18

B9

C18

D36

正确答案

C

解析

a3a7是函数fx)=x2﹣4x+3的两个零点,∴a3+a7=4,等差数列{an}中,{an}的前9项和S9===.

选:C

考查方向

本题考查等差数列的前9项和公式及等差数列的性质

解题思路

由韦达定理得a3+a7=4,再根据等差数列的性质求的前9项和

易错点

等差数列的性质的运用。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学,每人至少1本,不同的分配方法数有 (    )

A24

B28

C32

D36

正确答案

B

解析

分三类:第一类,先选1人得到两本语文书,剩下的3人各得一本,有C41C31=12种,

第二类,先选1人得到一本语文书和一本数学书,其余3人各一本书,有C41C31=12种,

第三类,先选1人得到两本数学书,剩下的3人各得一本,有C41=4种,

根据分类计数原理可得,12+12+4种,

选B.

考查方向

本题主要考查了分类计数原理

解题思路

本题分3类,第一类,先选1人得到两本语文书,剩下的3人各得一本,第二类,先选1人得到一本语文书和一本数学书,其余3人各一本书,第三类,先选1人得到两本数学书,剩下的3人各得一本,根据分类计数原理解得

易错点

分类情况

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8. 设为正整数,展开式中存在常数项,则的一个可能取值为(    )

A8

B6

C5

D2

正确答案

C

解析

xn展开式的通项公式为 Tr+1=C2nr(﹣1)r,令nr=0,即n=r

n应该是5的倍数,

选C.

考查方向

本题主要考查了二项式展开式的通项公式,二项式系数的性质

解题思路

根据二项式展开式的通项公式,令x的幂指数等于0,求得nr的关系,从而确定n的取值

易错点

二项式展开式的通项公式

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体体积是(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由三视图可知,几何体为一个三棱柱剪去一个三棱锥,

三棱柱的体积V1=2

剪去的三棱锥体积V2为:=

所以几何体的体积为:2=

选D.

考查方向

本题主要考查了三视图,体积公式

解题思路

由三视图确定几何体为一个三棱柱剪去一个三棱锥,再根据体积公式求解

易错点

三视图的识图

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.过双曲线的右焦点做圆的切线,切点为,切线交y轴于点,且,则双曲线的离心率为(    )

A

B

C2

D

正确答案

B

解析

设P(0,3y),则M(c,2y),则∵OM⊥PF,∴=﹣1,取y=

M的坐标代入圆x2+y2=a2,即圆c2+=a2,∴

选B.

考查方向

本题主要考查了双曲线的标准方程,以及圆的性质,

解题思路

由向量关系求出M的坐标,代入圆的方程求得离心率

易错点

由向量关系求出M的坐标

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.设函数上存在导函数,对任意的实数都有,当时,.若,则实数的取值范围是(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

fx)=2x2f(﹣x),∴fx)﹣x2+f(﹣x)﹣x2=0,

gx)=fx)﹣x2,则gx)+g(﹣x)=0, ∴函数gx)为奇函数.

x∈(﹣∞,0)时,f′(x)+1<2xg′(x)=f′(x)﹣2x<﹣1,

故函数gx)在(﹣∞,0)上是减函数,函数gx)在(0,+∞)上也是减函数,

fm+2)≤f(﹣m)+4m+4,则fm+2)﹣(m+2)2f(﹣m)﹣m2

gm+2)<g(﹣m),  ∴m+2≥﹣m,解得:m≥﹣1,

故C.

考查方向

本题主要考查了函数奇偶性、单调性、导数的综合应用

解题思路

构造函数gx)=fx)﹣x2,证明gx)为奇函数,判断gx)的单调性,得不等式求解

易错点

构造函数利用性质

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.在中,分别为的中点,则      .

正确答案

-7

解析

以A为原点,AB为x轴建立直角坐标系,A(0,0),B(2,0),C(0,4),E(1,0),F(1,2)

考查方向

本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算(也可用基底法表示向量后运算)

解题思路

建立直角坐标系,用坐标法求向量的数量积

易错点

向量数量积的坐标运算

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知是第四象限角,且,则      .

正确答案

解析

,①

sin2θ+cos2θ=1,②

因为θ是第四象限角,sinθ<0、cosθ>0,③

由①②③解得,cosθ=

考查方向

本题考查两角和的正弦公式,三角函数值的符号,以及同角关系式

解题思路

由两角和的正弦函数化简已知的等式,结合同角三角函数关系式解方程,结合三角函数值的符号判断出:sinθ<0、cosθ>0,求出cosθ的值

易错点

三角函数值的符号的判定

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为,与抛物线的准线的的交点为,点在抛物线的准线上的射影为,若,,则抛物线的方程为             .

正确答案

解析

,则F()是AB的中点,设B(,﹣nn>0,则A(),

C(﹣n),=(2p,2n=(0,2n),

,可得:4n2=12,解得n=,|BC|=2

|AF|=|AC|=2p==2. 所求抛物线方程为:y2=2x.

考查方向

本题主要考查了抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系

解题思路

先判断F为A,B的中点,设出B,求出A,C坐标,利用向量的数量积求解

易错点

计算能力

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.已知函数,方程有四个不同的实数根,则实数的取值范围为               .

正确答案

解析

x<0时,f′(x)=﹣exxex=﹣exx+1),

x<﹣1时,f′(x)>0,﹣1≤x<0时,f′(x)≤0.

fx)在(﹣∞,﹣1)上单调递增,在(﹣1,0)单调递减.

∴函数fx)=﹣xex在(﹣∞,0)上有一个极大值为f(﹣1)=

作出函数fx)的示意图,

m=fx),当m时,方程m=fx)有1个解,

m=时,方程m=fx)有2个解,

当0<m时,方程m=fx)有3个解,

m=0时,方程m=fx),有1个解,

m<0时,方程m=fx)有0个解,

则方程f2x)+tfx)+1=0等价为m2+tm+1=0,

要使关于x的方程f2x)+tfx)+1=0恰好有4个不相等的实数根,

等价为方程m2+tm+1=0有两个不同的根且两根范围为m1且0<m2

gm)=m2+tm+1,由一元二次方程根的分布得:

,即t<﹣e

∴实数t的取值范围为:.

考查方向

本题这分考查了利用函数的导函数分析函数的单调性,作出图象,转化为根的存在性及根的个数的判断。

解题思路

求函数的导数,分析函数的单调性,作出图象,设m=fx),分析根的情况,利用换元法,将方程转化为一元二次方程根的分布,利用根的分布建立条件关系

易错点

利用函数的导函作出图象,转化为根的存在性及根的个数的判断。

简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

已知函数.

19.求函数的最小正周期和对称轴;

20.将函数的图象各点纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,然后向左平移个单位,得函数的图象.若分别是三个内角的对边,,且,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

对称轴为k∈Z;周期为

解析

函数fx)=sinxcosxcos2x=sin2x(1+cos2x)﹣=sin(2x)﹣1,则对称轴为 k∈Z,周期为

所以函数fx)的对称轴为k∈Z;周期为

考查方向

本题考查了三角恒等变换以及三角函数性质

解题思路

化函数fx)为正弦型函数,根据正弦函数的图象与性质即可得出fx)的对称轴与最小正周期

易错点

三角恒等变换

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

[3,6)

解析

函数fx)的图象各点纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得函数y=sinx)﹣1的图象,

再向左平移个单位,得函数y=sinx+)﹣1的图象,

所以函数F(x)=sinx+)﹣1;又△ABC中,a+c=6,所以

所以;由余弦定理可知,

b2=a2+c2﹣2accos=a2+c2ac=(a+c2﹣3ac≥36﹣3•=9,

当且仅当a=c=3时取“=”,所以b≥3;又ba+c=6,所以b的取值范围是[3,6).

考查方向

本题主要考查了三角函数图象、余弦定理和基本不等式的应用

解题思路

根据三角函数图象平移法则,得出函数gx)的解析式,再利用余弦定理和基本不等式求出b的取值范围

易错点

余弦定理和基本不等式

1
题型:简答题
|
分值: 12分

某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都分为正品与次品.其中生产甲产品为正品的概率是,生产乙产品为正品的概率是;生产甲乙两种产品相互独立,互不影响。

生产一件甲产品,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件乙产品,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元.计算以下问题:

21.记X为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;

22.求生产4件产品甲所获得的利润不少于110元的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

66

解析

随机变量X的所有取值为90,45,30,﹣15.

;     

;      .

所以,随机变量X的分布列为:

考查方向

本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望

解题思路

根据随机变量X的所有取值,计算对应的概率,写出X的分布列,计算数学期望EX

易错点

离散型随机变量的分布列与数学期望

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设“生产4件芯片甲所获得的利润不少于110元”为事件A,

考查方向

本题主要考查了概率的计算

解题思路

计算所求的概率值

易错点

概率的计算

1
题型:简答题
|
分值: 12分

如图所示,在三棱柱中,四边形为边长为2的正方形,四边形为菱形,,平面平面

分别是的中点.

23.求证: ∥平面

24.求二面角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

取BB1的中点H,连结EH,FH,

∵点E、F分别是B1C,AA1的中点,

∴EH∥BC,FH∥AB,

∵AB∩BC=B,EH∩FH=H,

AB,BC⊂平面ABC,EH,FH⊂平面EHF,

∴平面ABC∥平面EHF,

∵EF⊂平面EHF,∴EF∥平面ABC.

考查方向

本题主要考查了线面平行的证明

解题思路

取BB1的中点H,连结EH,FH,证出出平面ABC∥平面EHF,得EF∥平面ABC.

易错点

线面平行的证明

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

以B为坐标原点,分别为x轴,y轴正方向,建立空间直角坐标系,

由题意知A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,﹣1,),C1(0,1,),

=(2,0,0),=(0,1,),=(﹣2,1,),=(﹣2,﹣1,),

设平面BAC1的法向量=(xyz),

,取z=1,得=

设平面AC1C的法向量=(xyz),

,取z=2,得=

设二面角B﹣AC1﹣C的平面角为θ,

cosθ==.

∴二面角B﹣AC1﹣C的余弦值为

考查方向

本题主要考查了用法向量求二面角的余弦值

解题思路

以B为坐标原点,分别为x轴,y轴正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B﹣AC1﹣C的余弦值

易错点

二面角的余弦值的求法

1
题型:简答题
|
分值: 10分

已知数列中,,数列中,,其中

17.求证:数列是等差数列;

18.若是数列的前n项和,求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解:数列{an}中,a1=2,an+1=2﹣,数列{bn}中,bn=,其中n∈N*.

b1=1,∵bn+1===bn+1bn=1=常数,

∴数列{bn}是等差数列,首项为1,等差为1,

考查方向

本题主要考查了等差数列的定义

解题思路

作差bn+1bn=1=常数,即可证明

易错点

等差数列的定义

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

bn=1+n﹣1=n

Sn=(1+2+3+4+…n)=,∴==2(),

++…+=2(1)=2(1﹣)=

考查方向

本题主要考查了等差数列的求和公式,“裂项求和方法”

解题思路

分别求出bn,Sn,利用裂项求和

易错点

裂项求和

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知椭圆的左右焦点分别为,抛物线

与椭圆有相同的焦点,且椭圆过点.

25.求椭圆的标准方程;

26.若椭圆的右顶点为,直线交椭圆两点

点不重合),且满足,若点中点,求直线斜率的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

+=1

解析

由题意可得a=2,2c=2,即c=1,b==

则椭圆的标准方程为+=1

考查方向

本题主要考查了椭圆与抛物线的标准方程及简单几何性质

解题思路

由抛物线的焦点得c=1,将点代入椭圆方程,解方程组求得ab的值,得椭圆方程

易错点

椭圆与抛物线的标准方程

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设直线AE的方程为y=kx﹣2),代入椭圆方程,可得(3+4k2x2﹣16k2x+16k2﹣12=0,

由2+xE=,可得xE=yE=kxE﹣2)=

由于AE⊥AF,只要将上式的k换为﹣,可得xF=yF=

由2=+,可得P为EF的中点,

即有P(),

则直线AP的斜率为t==

k=0时,t=0;当k≠0时,t=

再令s=k,可得t=,当s=0时,t=0;当s>0时,t==

当且仅当4s=时,取得最大值;

综上可得直线AP的斜率的最大值为.

考查方向

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,韦达定理,基本不等式

解题思路

设直线AE的方程代入椭圆方程由韦达定理,求得E点坐标,由AE⊥AF,及中点坐标公式求得P坐标及直线AP的方程,利用换元法及基本不等式的性质,即可求得直线AP斜率的最大值

易错点

计算能力,基本不等式

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知函数,曲线在点处切线平行于轴.

27.求的单调区间;

28.当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

增区间为,减区间为(0,1)

解析

,且直线的斜率为0,又过点

 即解得.

,则x>1

f(x)的增区间为,减区间为(0,1)

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义,用导数求函数的单调性

解题思路

利用函数的导数几何意义,得到关于ab的方程组,再导数求函数的单调性

易错点

导数求函数的单调性,定义域

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

时,不等式

.

①当,即时,单调递增且,所以当单调递增,∴.即恒成立.

②当,即时,上单调递减,且,故当时,

所以函数单调递减,

时,,与题设矛盾,

综上可得的取值范围为.

考查方向

本题主要考查了利用导数解决函数的单调性问题,以及分类讨论思想

解题思路

求出函数的导数,令mx)=x2+(k﹣1)x+1,讨论函数的单调区间,从而求出k的范围

易错点

分类讨论思想

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