- 真题试卷
- 模拟试卷
- 预测试卷
1.已知集合,则( )
正确答案
解析
由知:<或>,选:D.
考查方向
解题思路
先解出<或>,再据集合交集的定义求解。
易错点
解不等式,集合基本运算。
5.已知平面向量的夹角为则( )
正确答案
解析
据题意知:,,,
,选:D.
考查方向
解题思路
先求出:、、,继而运用:。
易错点
向量四则运算。
6.若满足约束条件则的最大值为( )
正确答案
解析
据约束条件:作出可行域如图所示阴影部分,目标函数可化为:,分析知:直线过点A时,最大;由,解得,
,选:A.
考查方向
解题思路
先画出可行域,在平移目标直线,运用数形结合即可求解。
易错点
画出可行域、目标函数等价转化。
7.在如图所示的程序图中,若函数,则输出的结果是( )
正确答案
解析
先执行程序图,可得:,>0>0
,,满足:<0,选:C.
考查方向
解题思路
严格按照程序所给规则运算,对循环变量与进行判断,直至<0即可。
易错点
判断变量符号不仔细。
8.双曲线的左右焦点分别为和,为右支上一点,且,则双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
据题意知:,,;,;故:;选:B.
考查方向
解题思路
先有解析式得到:,在据双曲线第二定义:得到:,再据:
,得到,从而求解。
易错点
双曲线第二定义,向量垂直充要条件。
10.已知函数,满足,且当时,成立,若,则的大小关系是( )
正确答案
解析
,即:为奇函数。当时,成立;在单调递减在上单调递减。
又 >1,,<0;<<选:C.
考查方向
解题思路
函数奇偶性,函数单调性与导函数的关系。
易错点
奇偶性和单调性。
2.复数( )
正确答案
解析
,选:B.
考查方向
解题思路
复数基本运算。
易错点
复数运算规则。
3.在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组,绘制出如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在80-100分的学生人数是( )
正确答案
解析
依据第二组频数为40,及直方图中的第二组频率/组距=0.04,组距为10,得样本总体为:,
则80-100分的学生人数为:(人),选A:.
考查方向
解题思路
运用直方图信息知组距为10;频率:第二组,0.4;80-100分,0.15;进而求解。
易错点
直方图中组距和频率、频数的关系。
4.如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形,则该几何体的体积为( )
正确答案
解析
依据三视图关系“长对正、宽平齐、高相等,知这是一个四棱锥,底面面积:,
高为:,则体积为:,选:C.
考查方向
解题思路
由三视图可知:几何体是底面为菱形,对角线分别为2和,顶点在底面的射影为底面菱形对角线的交点,高为3。
易错点
三视图转换成边的长度容易出错。
9.在正方体中,点在线段上运动,则异面直线与所成角的取值范围是( )
正确答案
解析
∥,与所成的角可转化为:与所成的角,
为等边三角形,可知:当与重合时,最大,为;当
与重合时,最小,为,但是此时与不是异面直线,故:;选:D.
考查方向
解题思路
先平移至,在等边进行求解。
易错点
异面直线定义,容易忽略“与重合”不合题意。
11.已知各项均为正数的等比数列满足,若存在两项,使得,则的最小值为( )
正确答案
解析
设等比数列的公比为(>0),,
,
又 ,,
,当且仅当,即,时,取“=”。选:A.
考查方向
解题思路
依据等比数列性质得出:,再据基本不等式求解。
易错点
等比数性质,基本不等式。
12.在平面直角坐标系中,直线:,圆的半径为1,圆心在直线上,若圆上存在点,且在圆:上,则圆心的横坐标的取值范围是( )
正确答案
解析
由题意可设圆心C的坐标为:,则,
又既在上,又在:上;故圆心距处于半径和差之间,
即:,解之得:选:B.
考查方向
解题思路
直接设出圆心C的坐标,依据两圆有公共点与圆心距的关系求解。
易错点
圆心距的运用易出错。
14.在的展开式中,的系数为 (用数字作答).
正确答案
解析
据:,知的系数为:.
考查方向
解题思路
的二项展开式通项公式:。
易错点
二项展开式系数确定易出错,特别是符号。
13.已知,则 .
正确答案
解析
.
考查方向
解题思路
三角恒等变换。
易错点
三角恒等变换公式,口诀“奇变偶不变,符号看象限”。
15.设函数的最大值为,最小值为,则 .
正确答案
2
解析
对于函数:,在上单调递增,在上单调递减;,,,,,,
.
考查方向
解题思路
求出导函数,得到极值点,与端点比较即可。
易错点
求导函数。
16.设是数列的前项和,且,则 .
正确答案
解析
,,又,.
考查方向
解题思路
先注意到:,从而得到:,再依据等差数列定义求解。
易错点
前n项和特点不明。
在中,角所对的边分别为.且.
17.求的值;
18.若,求的面积.
正确答案
解析
由正弦定理可得:……3分,所以……6分.
考查方向
解题思路
先依据正弦定理得: ,进而求解。
易错点
正弦定理的应用。
正确答案
解析
由余弦定理得:,即……9分
又,所以,解得或(舍去).
所以.……12分.
考查方向
解题思路
运用余弦定理得到:,结合:,解出:,运用面积的三角函数公式即可求解。
易错点
余弦定理和面积公式。
如图,四边形为正方形,平面,
19.证明:平面平面;
20.求二面角的正弦值.
正确答案
证明过程如下。
解析
如图,以为原点建立空间直角坐标系,设,则,
所以,
所以,,即,且,故平面,又平面内,所以平面平面……5分.
考查方向
解题思路
构造空间直角坐标系,由向量垂直的充要条件求解。
易错点
建立空间直角坐标系,向量坐标写法。
正确答案
解析
依题意,,设是平面的一个法向量,则,即,
因此可取……7分
设是平面的一个法向量,则,即,
因此可取……9分
所以,……11分
故二面角的正弦值为……12分.
考查方向
解题思路
运用法向量所成角与二面角互补的知识求解。
易错点
法向量的确定,二面角转换。
2016年1月1日起全国统一实施全面的两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取70后80后作为调查对象,随机调查了100人并对调查结果进行统计,70后不打算生二胎的占全部调查人数的,80后打算生二胎的占全部被调查人数的,100人中共有75人打算生二胎.
根据调查数据,判断是否有以上把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由;
以这100人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市70后公民中(人数很多)随机抽取3位,记其中打算生二胎的人数为,求随机变量的分布列,数学期望和方差.
参考公式:
(,其中)
21.根据调查数据,判断是否有以上把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由;
22.以这100人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市70后公民中(人数很多)随机抽取3位,记其中打算生二胎的人数为,求随机变量的分布列,数学期望和方差.
正确答案
有。
解析
由题意得年龄与生二胎的列联表为:
所以
所以有以上把握认为“生二胎与年龄有关”.……4分.
考查方向
解题思路
根据列联表中的数据,计算出的值,即可得出结论。
易错点
基本运算。
正确答案
,
解析
由已知得该市70后“生二胎”的概率为,且……6分
所以
故的分布列为:
……10分
所以,
方差……12分.
考查方向
解题思路
的可能取值为:0,1,2,3,,求出相应概率,可得出的分布列及数学期望和方差。
易错点
数学期望及方差的运算。
已知,分别是椭圆的左、右焦点.
23.若点是第一象限内椭圆上的一点,,求点的坐标;
24.设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.
正确答案
解析
易知.……2分
,设,则
,又.
联立,解得,故.……4分.
考查方向
解题思路
先求出椭圆参数,写出向量坐标,在运用向量数量级坐标运算得出答案。
易错点
向量坐标运算和解二次方程。
正确答案
解析
显然不满足题设条件,可设的方程为,
设,
联立
……6分
由
,得.①
又为锐角,
……8分
又
.②……11分
综①②可知的取值范围是……12分.
考查方向
解题思路
联立直线方程和椭圆方程得到与A、B两点坐标有关的含参一元二次方程,得出:、及判别式的表达式,再据:和得到与有关的不等式,进而求解。
易错点
解二次不等式,易忘记:。
已知函数(其中,).
25.当时,若在其定义域内为单调函数,求的取值范围;
26.当时,是否存在实数,使得当时,不等式恒成立,如果存在,求的取值范围,如果不存在,说明理由(其中是自然对数的底数,).
正确答案
解析
由题可知:……2分
①当时,知,则是单调递减函数;
②当时,只有对于任意的,不等式恒成立,才能使为单调函数,只需,解之得或,此时.
综上所述,的取值范围是……4分.
考查方向
解题思路
分析出函数定义域,求出导函数,分类讨论即可求解。
易错点
参数分类讨论,分析不透彻。
正确答案
解析
,其中.
()当时,,于是在上为减函数,则在上也为减函数.
知恒成立,不合题意,舍去.……6分
()当时,由得,列表得
……8分
①若,即,则在上单调递减.
知,而,
于是恒成立,不合题意,舍去.
②若,即.
则在上为增函数,在上为减函数,
要使在恒有恒成立,则必有
则,所以……11分
由于,则,所以.
综上所述,存在实数,使得恒成立.……12分.
考查方向
解题思路
先求出此时的导函数:,对进行分类讨论,运用导函数与原函数的关系,求出相关中间量,在对其进行分类讨论即可求出正确答案。
易错点
分类讨论数学思想。
选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线:(为参数),曲线:(为参数).
27.设与相交于两点,求;
28.若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
正确答案
解析
直线的普通方程为的普通方程为.
联立方程组,解得与的交点为,则……5分.
考查方向
解题思路
将参数方程转换成直角坐标系方程,联立方程求解即可。
易错点
参数方程与直角坐标系方程的互相转换。
正确答案
。
解析
的参数方程为(为参数)
设点的坐标是,从而点到直线的距离为
由此当时,取最小值,且最小值为.……10分.
考查方向
解题思路
先求出放缩后的参数方程:的参数方程为,进而运用点到直线间距离公式得到:,对其进行分析即可求出正确答案。
易错点
解析式放缩易出错,距离公式化简。
选修4-5:不等式选讲
已知函数.
29.若,解不等式;
30.若,求实数的取值范围.
正确答案
或
解析
当时,,而,
解得或.……5分.
考查方向
解题思路
求出函数:,代入不等式:,解之即可。
易错点
绝对值函数不等式求解。
正确答案
解析
令,则,
所以当时,有最小值,只需,解得,所以实数的取值范围是.……10分.
考查方向
解题思路
引入新函数:,去绝对值符号,求出其解析式,分析出最小值,进而求解参数:的取值范围。
易错点
绝对值函数的解法技巧。