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1.已知集合,则
( )
正确答案
解析
由知:
<
或
>
,
选:D.
考查方向
解题思路
先解出<
或
>
,再据集合交集的定义求解。
易错点
解不等式,集合基本运算。
5.已知平面向量的夹角为
则
( )
正确答案
解析
据题意知:,
,
,
,选:D.
考查方向
解题思路
先求出:、
、
,继而运用:
。
易错点
向量四则运算。
6.若满足约束条件
则
的最大值为( )
正确答案
解析
据约束条件:作出可行域如图所示阴影部分,目标函数
可化为:
,分析知:直线
过点A时,
最大;由
,解得
,
,选:A.
考查方向
解题思路
先画出可行域,在平移目标直线,运用数形结合即可求解。
易错点
画出可行域、目标函数等价转化。
7.在如图所示的程序图中,若函数,则输出的结果是( )
正确答案
解析
先执行程序图,可得:,
>0
>0
,
,满足:
<0,选:C.
考查方向
解题思路
严格按照程序所给规则运算,对循环变量与
进行判断,直至
<0即可。
易错点
判断变量符号不仔细。
8.双曲线的左右焦点分别为
和
,
为右支上一点,且
,则双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
据题意知:,
,
;
,
;故:
;选:B.
考查方向
解题思路
先有解析式得到:,在据双曲线第二定义:
得到:
,再据:
,得到
,从而求解。
易错点
双曲线第二定义,向量垂直充要条件。
10.已知函数,
满足
,且当
时,
成立,若
,则
的大小关系是( )
正确答案
解析
,即:
为奇函数。
当
时,
成立;
在
单调递减
在
上单调递减。
又 >1,
,
<0;
<
<
选:C.
考查方向
解题思路
函数奇偶性,函数单调性与导函数的关系。
易错点
奇偶性和单调性。
2.复数( )
正确答案
解析
,选:B.
考查方向
解题思路
复数基本运算。
易错点
复数运算规则。
3.在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组,绘制出如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在80-100分的学生人数是( )
正确答案
解析
依据第二组频数为40,及直方图中的第二组频率/组距=0.04,组距为10,得样本总体为:,
则80-100分的学生人数为:(人),选A:.
考查方向
解题思路
运用直方图信息知组距为10;频率:第二组,0.4;80-100分,0.15;进而求解。
易错点
直方图中组距和频率、频数的关系。
4.如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形,则该几何体的体积为( )
正确答案
解析
依据三视图关系“长对正、宽平齐、高相等,知这是一个四棱锥,底面面积:,
高为:,则体积为:
,选:C.
考查方向
解题思路
由三视图可知:几何体是底面为菱形,对角线分别为2和,顶点在底面的射影为底面菱形对角线的交点,高为3。
易错点
三视图转换成边的长度容易出错。
9.在正方体中,点
在线段
上运动,则异面直线
与
所成角
的取值范围是( )
正确答案
解析
∥
,
与
所成的角可转化为:
与
所成的角,
为等边三角形,可知:当
与
重合时,
最大,为
;当
与重合时,
最小,为
,但是此时
与
不是异面直线,故:
;选:D.
考查方向
解题思路
先平移至
,在等边
进行求解。
易错点
异面直线定义,容易忽略“与
重合”不合题意。
11.已知各项均为正数的等比数列满足
,若存在两项
,使得
,则
的最小值为( )
正确答案
解析
设等比数列的公比为
(
>0),
,
,
又 ,
,
,当且仅当
,即
,
时,取“=”。选:A.
考查方向
解题思路
依据等比数列性质得出:,再据基本不等式求解。
易错点
等比数性质,基本不等式。
12.在平面直角坐标系中,直线
:
,圆
的半径为1,圆心在直线
上,若圆
上存在点
,且
在圆
:
上,则圆心
的横坐标
的取值范围是( )
正确答案
解析
由题意可设圆心C的坐标为:,则
,
又既在
上,又在
:
上;故圆心距处于半径和差之间,
即:,解之得:
选:B.
考查方向
解题思路
直接设出圆心C的坐标,依据两圆有公共点与圆心距的关系求解。
易错点
圆心距的运用易出错。
14.在的展开式中,
的系数为 (用数字作答).
正确答案
解析
据:,知
的系数为:
.
考查方向
解题思路
的二项展开式通项公式:
。
易错点
二项展开式系数确定易出错,特别是符号。
13.已知,则
.
正确答案
解析
.
考查方向
解题思路
三角恒等变换。
易错点
三角恒等变换公式,口诀“奇变偶不变,符号看象限”。
15.设函数的最大值为
,最小值为
,则
.
正确答案
2
解析
对于函数:,
在
上单调递增,在
上单调递减;
,
,
,
,
,
,
.
考查方向
解题思路
求出导函数,得到极值点,与端点比较即可。
易错点
求导函数。
16.设是数列
的前
项和,且
,则
.
正确答案
解析
,
,又
,
.
考查方向
解题思路
先注意到:,从而得到:
,再依据等差数列定义求解。
易错点
前n项和特点不明。
在中,角
所对的边分别为
.且
.
17.求的值;
18.若,求
的面积.
正确答案
解析
由正弦定理可得:……3分
,所以
……6分.
考查方向
解题思路
先依据正弦定理得: ,进而求解。
易错点
正弦定理的应用。
正确答案
解析
由余弦定理得:,即
……9分
又,所以
,解得
或
(舍去).
所以.……12分.
考查方向
解题思路
运用余弦定理得到:,结合:
,解出:
,运用面积的三角函数公式即可求解。
易错点
余弦定理和面积公式。
如图,四边形为正方形,
平面
,
19.证明:平面平面
;
20.求二面角的正弦值.
正确答案
证明过程如下。
解析
如图,以为原点建立空间直角坐标系
,设
,则
,
所以,
所以,,即
,且
,故
平面
,又
平面
内,所以平面
平面
……5分.
考查方向
解题思路
构造空间直角坐标系,由向量垂直的充要条件求解。
易错点
建立空间直角坐标系,向量坐标写法。
正确答案
解析
依题意,,设
是平面
的一个法向量,则
,即
,
因此可取……7分
设是平面
的一个法向量,则
,即
,
因此可取……9分
所以,……11分
故二面角的正弦值为
……12分.
考查方向
解题思路
运用法向量所成角与二面角互补的知识求解。
易错点
法向量的确定,二面角转换。
2016年1月1日起全国统一实施全面的两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取70后80后作为调查对象,随机调查了100人并对调查结果进行统计,70后不打算生二胎的占全部调查人数的,80后打算生二胎的占全部被调查人数的
,100人中共有75人打算生二胎.
根据调查数据,判断是否有以上把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由;
以这100人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市70后公民中(人数很多)随机抽取3位,记其中打算生二胎的人数为,求随机变量
的分布列,数学期望
和方差
.
参考公式:
(,其中
)
21.根据调查数据,判断是否有以上把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由;
22.以这100人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市70后公民中(人数很多)随机抽取3位,记其中打算生二胎的人数为,求随机变量
的分布列,数学期望
和方差
.
正确答案
有。
解析
由题意得年龄与生二胎的列联表为:
所以
所以有以上把握认为“生二胎与年龄有关”.……4分.
考查方向
解题思路
根据列联表中的数据,计算出的值,即可得出结论。
易错点
基本运算。
正确答案
,
解析
由已知得该市70后“生二胎”的概率为,且
……6分
所以
故的分布列为:
……10分
所以,
方差……12分.
考查方向
解题思路
的可能取值为:0,1,2,3,
,求出相应概率,可得出
的分布列及数学期望和方差。
易错点
数学期望及方差的运算。
已知,分别是椭圆
的左、右焦点.
23.若点是第一象限内椭圆上的一点,
,求点
的坐标;
24.设过定点的直线
与椭圆交于不同的两点
,且
为锐角(其中
为坐标原点),求直线
的斜率
的取值范围.
正确答案
解析
易知.……2分
,设
,则
,又
.
联立,解得
,故
.……4分.
考查方向
解题思路
先求出椭圆参数,写出向量坐标,在运用向量数量级坐标运算得出答案。
易错点
向量坐标运算和解二次方程。
正确答案
解析
显然不满足题设条件,可设
的方程为
,
设,
联立
……6分
由
,得
.①
又为锐角
,
……8分
又
.②……11分
综①②可知的取值范围是
……12分.
考查方向
解题思路
联立直线方程和椭圆方程得到与A、B两点坐标有关的含参一元二次方程,得出:、
及判别式
的表达式,再据:
和
得到与
有关的不等式,进而求解。
易错点
解二次不等式,易忘记:。
已知函数(其中,
).
25.当时,若
在其定义域内为单调函数,求
的取值范围;
26.当时,是否存在实数
,使得当
时,不等式
恒成立,如果存在,求
的取值范围,如果不存在,说明理由(其中
是自然对数的底数,
).
正确答案
解析
由题可知:……2分
①当时,知
,则
是单调递减函数;
②当时,只有对于任意的
,不等式
恒成立,才能使
为单调函数,只需
,解之得
或
,此时
.
综上所述,的取值范围是
……4分.
考查方向
解题思路
分析出函数定义域,求出导函数,分类讨论即可求解。
易错点
参数分类讨论,分析不透彻。
正确答案
解析
,其中
.
()当
时,
,于是
在
上为减函数,则在
上也为减函数.
知恒成立,不合题意,舍去.……6分
()当
时,由
得
,列表得
……8分
①若,即
,则
在
上单调递减.
知,而
,
于是恒成立,不合题意,舍去.
②若,即
.
则在
上为增函数,在
上为减函数,
要使在恒有
恒成立,则必有
则,所以
……11分
由于,则
,所以
.
综上所述,存在实数,使得
恒成立.……12分.
考查方向
解题思路
先求出此时的导函数:,对
进行分类讨论,运用导函数与原函数的关系,求出相关中间量
,在对其进行分类讨论即可求出正确答案。
易错点
分类讨论数学思想。
选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线:
(
为参数),曲线
:
(
为参数).
27.设与
相交于两点
,求
;
28.若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的
倍,纵坐标压缩为原来的
倍,得到曲线
,设点
是曲线
上的一个动点,求它到直线
的距离的最小值.
正确答案
解析
直线的普通方程为
的普通方程为
.
联立方程组,解得
与
的交点为
,则
……5分.
考查方向
解题思路
将参数方程转换成直角坐标系方程,联立方程求解即可。
易错点
参数方程与直角坐标系方程的互相转换。
正确答案
。
解析
的参数方程为
(
为参数)
设点的坐标是
,从而点
到直线
的距离为
由此当时,
取最小值,且最小值为
.……10分.
考查方向
解题思路
先求出放缩后的参数方程:的参数方程为
,进而运用点到直线间距离公式得到:
,对其进行分析即可求出正确答案。
易错点
解析式放缩易出错,距离公式化简。
选修4-5:不等式选讲
已知函数.
29.若,解不等式
;
30.若,求实数
的取值范围.
正确答案
或
解析
当时,
,而
,
解得或
.……5分.
考查方向
解题思路
求出函数:,代入不等式:
,解之即可。
易错点
绝对值函数不等式求解。
正确答案
解析
令,则
,
所以当时,
有最小值
,只需
,解得
,所以实数
的取值范围是
.……10分.
考查方向
解题思路
引入新函数:,去绝对值符号,求出其解析式,分析出最小值,进而求解参数:
的取值范围。
易错点
绝对值函数的解法技巧。