19.已知椭圆、抛物线
的焦点均在
轴上,
的中心和
的顶点均为原点
,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
(1)求的标准方程;
(2)过曲线的焦点
的直线
与曲线
交于
两点,与
轴交于
点,
若,
,求证:
为定值。
18.给定函数(
为实常数),
是
展开式的中间项,
(1)若函数在
上的最大值为
,求实数
的取值集合
;
(2)在(1)的条件下,若在区间
上恒成立时实数
的取值集合为
,全集为
,求
20.某校高一年级共有学生1000名,其中走读生750名,住宿生250名,现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查。根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组:[0,30),[30,60),[60,90),[90,120),[120,l50),[150,180),[180,210),[210,240),得到频率分布直方图如下图。已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人。
(1)求n的值并求有效学习时间在[90,120)内的频率;
(2)如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是
否充分利用时间的标准,对抽取的n名学生,请
补完整下列2×2列联表并判断是否有95%的把握
认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关?
(3)若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3
人调查影响有效利用时间的原因,记抽到“有效学
习时间少于60分钟”的学生人数为,求
的分布列及数学期望.
参考公式:K2=
参考列表:
17.某长方体截去一个三棱锥后,形成的几何体的平面展开图如图(1—1)所示。
(1)请在图(1—2)上补画出该几何体的直观图,并求出被截去的三棱锥的体积;
(2)在该几何体的直观图中连结,求证:
⊥
;
(3)在该几何体中求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值。
21.已知函数,
,其中
为常数,
,且函数
和
的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行。
(1)求常数的值;
(2)若存在使不等式
成立,求实数
的取值范围;
(3)对于函数和
公共定义域内的任意实数
,我们把
的值称为两函数在
处的偏差。求证:函数
和
在其公共定义域内的所有偏差都大于
.
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