理科数学 2015年高三试卷

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单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

1．若，则=（）

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5．已知满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）

A或

B2或

C2或1

D2或

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4．=（）

B-1

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6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）

A向右平移个单位

B向右平移个单位

C向左平移个单位

D向左平移个单位

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3．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为（）

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9．已知球O是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球O的截面面积为（）

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7．数列是正项等比数列，是等差数列，且，则有（）

D大小不确定

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8．已知，若的必要条件是，则之间的关系是（）

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10．现有16张不同卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为（）

A232种

B252种

C472种

D484种

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2．复数满足，则等于（）

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填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。

12．已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是_____________。

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13．设为正整数，，计算得，，，观察上述结果，可推测一般的结论为_____________。

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11.命题“存在，使”的否定是_____________。

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14．双曲线C的左右焦点分别为．，且恰为抛物线的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为_____________。

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15．若函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是_____________。

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简答题（综合题）本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．在锐角中，

（1）求角；

（2）若，求的取值范围。

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18．如图，棱锥的底面ABCD是矩形，平面ABCD，。

求证：

（1）平面

（2）求二面角的余弦值

（3）在线段上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由。

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20．已知函数

（1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；

（2）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值。

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19．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点。

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若点A．B分别是椭圆E的左．右顶点，直线经过点B且垂直于轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交于点M。

①设直线的斜率为，直线的斜率为，证明的定值；

②设过点M垂直于PB的直线为，证明：直线过定点，并求出定点的坐标。

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21．已知数列的前项和为，且

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足：且，求证：；

（3）求证：

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17．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数（万人）与时间（天）的函数关系近似满足，日人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足。

（1）求该城市的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式；

（2）求该城市旅游日收益的最小值（万元）。

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