理科数学 热门试卷

试题分析：本题属于立体几何线面平行证明及二面角的余弦值的求解问题，属于中档题。

（Ⅰ）证明：取中点，连接、，

∴,

∵

∴

∵、平面，、平面

∴平面平面,

∵平面

∴平面.

试题分析：本题属于立体几何线面平行证明及二面角的余弦值的求解问题，属于中档题。

（Ⅱ）解：

平面平面 ，交线为

平面，且连接,分别取所在直线为轴建立空间直角坐标系，

如图所示.

则点，，,,,

设平面的法向量为

则

即

设平面的法向量为

因此所求二面角的余弦值为.

试题分析：本题属于概率问题，属于基础题，意在考查考生对基本概念的理解。

（Ⅰ）用表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数，则服从二项分布：，，于是.

试题分析：本题属于概率问题，属于基础题，意在考查考生对基本概念的理解。

（Ⅱ）设表示台机器在同一时刻需用人操控的台数.

①当时，服从两点分布：

此时，一人操控1台机器，工作人员能够及时操控机器，不会出现机器等待操控的情形，但工作人员待工而闲的概率为.

②当时，，.即的分布列为：

此时，一人操控2台机器，在同一时刻需要操控2台机器的概率为，故一人操控的2台机器正常运行的概率为.工作人员待工而闲的概率为.

③当时，，.即的分布列为：

此时，一人操控3台机器，出现机器等待工作人员操控而不能正常运行的概率为，故一人操控的3台机器正常运行的概率为.工作人员待工而闲的概率为.

综上所述，一个工作人员操控2台机器符合要求.

试题分析： 本题属于抛物线、直线、圆的方程及位置关系考查题型，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力及运算能力。

（Ⅰ）设，则，

又∵以为直径的圆与直线相切，

∴，故，

∴抛物线的方程为；

试题分析： 本题属于抛物线、直线、圆的方程及位置关系考查题型，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力及运算能力。

（Ⅱ）设直线的方程为，代入中，

化简整理得，

∴，

∴，

∴圆心的坐标为，

∵圆与直线相切于点，

∴，

∴，解得，

此时直线的方程为，即，

圆心，半径，

圆的方程为.

试题分析：本题属于解三角形问题，属于基础题，主要考查两个定理的应用以及三角形的面积公式。具体解答步骤如下：

（Ⅰ）由正弦定理，，

可得，

所以，

所以，

因为， 所以，故；

试题分析：本题属于解三角形问题，属于基础题，主要考查两个定理的应用以及三角形的面积公式。具体解答步骤如下：

（Ⅱ）解法一：由已知，

所以，又，解得，或

当时，由余弦定理可知，

所以.

所以,为直角三角形，.

因为平分，所以

在中，.

当时，同理可得

所以的角平分线为长为

（Ⅱ）解法二：在中，因为平分，所以

因为 ，所以，

由已知，所以，

又，

解得.

试题分析： 本题属于导数的综合应用，考查考生转化与化归数学思想与方法。

（Ⅰ）因为 ，所以 ，所以

又点在切线上，所以，所以

所以的解析式为.

试题分析： 本题属于导数的综合应用，考查考生转化与化归数学思想与方法。

（Ⅱ）令

因为所以当时，

所以在区间内单调递减，所以所以等价于.

我们如果能够证明，即即可证明目标成立.

下面证明：对任意，.

由（1）知，令

则，所以在内单调递增，

又，，所以存在使得.

当时，即，此时单调递减；

当时，即，此时单调递增；

所以.由得[

所以.

令，则

所以在区间内单调递减，所以

所以.

综上，对任意，.