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2.对于事件A,P(A)表示事件A发生的概率。则下列命题正确的是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
1.已知集合,集合
,则
( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
5.对于平面和共面的两直线
、
,下列命题中是真命题的为( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
8.设集合,在
上定义运算
:
,其中
为
被3除的余数,
,则使关系式
成立的有序数对
总共有( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
9.已知A,B,C,D,E为抛物线上不同的五点,抛物线焦点为F,满足
,则
( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
10.一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍,若按每横排4人编队,最后差3人;若按每横排3人编队,最后差2人;若按每横排2人编队,最后差1人。则这只游行队伍的最少人数是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
3.把函数的图象向左平移m个单位, 所得图象关于y轴对称, 则m的最小值为( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
4.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
正确答案
解析
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知识点
6.等比数列中
,公比
,记
(即
表示数列
的前
项之积),
,
,
,
中值为正数的个数是( )
正确答案
解析
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知识点
7.设x、y均是实数,i是虚数单位,复数的实部大于0,虚部不小于0,则复数
在复平面上的点集用阴影表示为下图中的( )
正确答案
解析
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知识点
11. 输入正整数(
)和数据
,
,…,
,如果执行如图2的程序框图,输出的
是数据
,
,…,
的平均数,则框图的处理框★中应填写的是______________。
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
13.设,则二项式
的展开式中常数项_________。
正确答案
解析
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知识点
12. 已知函数为偶函数,其图象与直线y=1的交点的横坐标为
.若
的最小值为
,则
的值为______________。
正确答案
解析
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知识点
14.函数,若
互不相同,且
,则
的取值范围是______________。
正确答案
(32,35)
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
15.有以下四个命题
①的最小值是
②已知, 则
③在R上是增函数
④函数的图象的一个对称中心是
其中真命题的序号是_________(把你认为正确命题的序号都填上)
正确答案
③ ④
解析
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知识点
16.(1)证明:
(2)三角形ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,若a,b,C成等差数列,求证。
正确答案
解:(1)
(2)由正弦定理得,又由(1)可知
由余弦定理得:
所以。
解析
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知识点
17.某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训,以促进教师的专业发展,每位教师可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.现知全市教师中,选择心理学培训的教师有60%,选择计算机培训的教师有75%,每位教师对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.
(1)任选1名教师,求该教师选择只参加一项培训的概率;
(2)任选3名教师,记为3人中选择不参加培训的人数,求
的分布列和期望.
正确答案
解:任选1名教师,记“该教师选择心理学培训”为事件,“该教师选择计算机培训”为事件
,由题设知,事件
与
相互独立,且
,
.
(1)任选1名,该教师只选择参加一项培训的概率是
.
(2)任选1名教师,该人选择不参加培训的概率是
.
因为每个人的选择是相互独立的,
所以3人中选择不参加培训的人数服从二项分布
,
且,
,
即的分布列是
所以,的期望是
.
(或的期望是
.)
解析
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知识点
18.如图所示,已知为圆
的直径,点
为线段
上一点,且
,点
为圆
上一点,且
.点
在圆
所在平面上的正投影为点
,
.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
正确答案
解:(Ⅰ)法1:连接,由
知,点
为
的中点
又∵为圆
的直径,∴
,
由知,
,
∴为等边三角形,从而
.
∵点在圆
所在平面上的正投影为点
,
∴平面
,又
平面
,∴
,
由得,
平面
,
又平面
,∴
.
法2:∵为圆
的直径,∴
,
在中设
,由
,
得,
,
,
,
∴,则
,
∴,即
.
∵点在圆
所在平面上的正投影为点
,
∴平面
,又
平面
,∴
,
由得,
平面
,
又平面
,∴
.
法3:∵为圆
的直径,∴
,
在中由
得,
,
设,由
得,
,
,
由余弦定理得,,
∴,即
.
∵点在圆
所在平面上的正投影为点
,
∴平面
,又
平面
,∴
,
由得,
平面
,
又平面
,∴
.
(Ⅱ)法1:(综合法)过点作
,垂足为
,连接
.
由(1)知平面
,又
平面
,
∴,又
,
∴平面
,又
平面
,∴
,
∴为二面角
的平面角.
由(Ⅰ)可知,
,
∴,则
,
∴在中,
,
∴,即二面角
的余弦值为
.
法2:(坐标法)以为原点,
、
和
的方向分别为
轴、
轴和
轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,由
,
得,
,
,
∴,
,
,
,
∴,
,
,
由平面
,知平面
的一个法向量为
.
设平面的一个法向量为
,则
,即
,令
,则
,
,
∴,
设二面角的平面角的大小为
,
则,
∴二面角的余弦值为
.
解析
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知识点
19.已知函数,
(1)当时,求
的最小值;
(2)当时,
恒成立,求
的取值范围。
正确答案
解:(1)时,
时,
单调减,
时,
单调增,
所以当时,
有最小值
(2)由已知,即时,
当即
时,
恒成立,所以
单调增
,即
时满足
恒成立;
当即
时,由
得
,
所以时,
单调减,即
时
与题设矛盾,
即时,不能满足
恒成立。
综上,所求的取值范围是
。
解析
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知识点
20.数列的各项均为正值,
,对任意n∈N*,
都成立.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)当k>7且k∈N*时,证明:对任意n∈N*都有成立.
正确答案
解:(1)由an+12−1=4an(an+1),
得(an+1+2an+1)(an+1-2an-1)=0,
数列{an}的各项为正值,an+1+2an+1>0,
∴an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),
∵a1+1=2≠0,
∴数列{an+1}为等比数列.
∴an+1=(a1+1)•2n−1=2n,an=2n−1,
即为数列{an}的通项公式.
∵bn=log2(an+1),
∴bn=log2(2n−1+1)=n.
(2)求证的的问题即:当k>7且k∈N*时,对任意
方法一:令,则
方法二:
方法三(利用定积分放缩同样给分。
要作出大致图象并指出小矩形面积之和大于曲边梯形面积)
解析
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知识点
21.过椭圆C:外一点A(m,0)作一直线l交椭圆于P、Q两点,又Q关于x轴对称点为
,连结
交x轴于点B。
(1) 若,求证:
;
(2) 求证:点B为一定点。
正确答案
证明:(1)连结,因为Q与
关于x轴对称,而A在x轴上,
则在中,AB平分
,
由内角平分线定理可知:,
而,∵
同向,故
且
,
则,又P、B、
在同一直线上且
与
同向,
于是有:=
。
(2)设过A(m,0)的直线l与椭圆C:
与Q关于x轴对称,则
, 由
及
相减得
,∴
,
PQ直线方程:,而PQ过A(m,0),则有:
,
而,同理可求得:
。
下面利用分析法证明:。
即证: ……①
只需证:
只需证:,
即证: ……②
而(,
)在椭圆上,则
……③
同理 ……④
由③×④可知②成立,从而①式得证。因此成立。∴
。
∴点B为一定点(,0)。
另法:证(1)设直线l过A(m,0)与椭圆交于,
而与Q关于x轴对称,则
,由
,则
,
∴∴
=
。
(2)由,则
……①
由=
,则
……②
由①×②得 ……③
又 ……④
……⑤
∵,由④-⑤·
得
,
,
……⑥
由③⑥可知 。 ∴
。
∴点B为一定点(,0)。
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!