理科数学 热门试卷

解：（1）

（2）由正弦定理得，又由（1）可知

由余弦定理得：

所以。

解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件，“该教师选择计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．

（1）任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是

．

（2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是

．

因为每个人的选择是相互独立的，

所以3人中选择不参加培训的人数服从二项分布，

且，，

即的分布列是

所以，的期望是．

（或的期望是．）

解：（Ⅰ）法1：连接，由知，点为的中点

又∵为圆的直径，∴，

由知，，

∴为等边三角形，从而．

∵点在圆所在平面上的正投影为点，

∴平面，又平面，∴，

由得，平面，

又平面，∴．

法2：∵为圆的直径，∴，

在中设，由，得，，，，

∴，则，

∴，即．

∵点在圆所在平面上的正投影为点，

∴平面，又平面，∴，

由得，平面，

又平面，∴．

法3：∵为圆的直径，∴，

在中由得，，

设，由得，，，

由余弦定理得，，

∴，即．

∵点在圆所在平面上的正投影为点，

∴平面，又平面，∴，

由得，平面，

又平面，∴．

（Ⅱ）法1：（综合法）过点作，垂足为，连接．

由（1）知平面，又平面，

∴，又，

∴平面，又平面，∴，

∴为二面角的平面角．

由（Ⅰ）可知，，

∴，则，

∴在中，，

∴，即二面角的余弦值为．

法2：（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系．  

设，由，得，，，

∴，，，，

∴，，，

由平面，知平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，则

，即，令，则，，

∴，

设二面角的平面角的大小为，

则，

∴二面角的余弦值为．

解：（1）时，

时，单调减，时，单调增，

所以当时，有最小值

（2）由已知，即时，

当即时，恒成立，所以单调增

，即时满足恒成立；

当即时，由得，

所以时，单调减，即时与题设矛盾，

即时，不能满足恒成立。

综上，所求的取值范围是。

解：（1）由an+12−1＝4an(an+1)，
得（an+1+2an+1）（an+1-2an-1）=0，
数列{an}的各项为正值，an+1+2an+1＞0，
∴an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），
∵a1+1=2≠0，
∴数列{an+1}为等比数列．
∴an+1＝(a1+1)•2n−1＝2n，an＝2n−1，
即为数列{an}的通项公式． 
∵bn=log2（an+1），
∴bn＝log2(2n−1+1)＝n．
（2）求证的的问题即：当k＞7且k∈N*时，对任意

方法一：令，则

方法二：

方法三（利用定积分放缩同样给分。

要作出大致图象并指出小矩形面积之和大于曲边梯形面积）