理科数学 2014年高三试卷

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填空题
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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1.已知为实数，且. 则“”是“”的（）

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：单选题

分值: 5分

2.已知，则等于（）

B－2

正确答案

解析

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：单选题

分值: 5分

8.如图，半径为的扇形的圆心角为，点在上，且，若，则（）

正确答案

解析

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知识点

一元二次不等式的解法

题型：单选题

分值: 5分

6.动圆过定点且与定圆相切，那么动圆的圆心的轨迹是（）

A圆，或椭圆

B圆，或双曲线，

C椭圆，或双曲线，或直线

D圆，或椭圆，或双曲线，或直线

正确答案

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知识点

函数单调性的性质

题型：单选题

分值: 5分

10.设是定义在上的偶函数,且当时,.若对任意的,不等式恒成立,则实数的最大值是（）

正确答案

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：单选题

分值: 5分

3.一支田径队有男运动员 56人，女运动员 42 人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,则样本中男运动员的人数为（）

A16

B14

C12

D10

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

5.已知，则函数与函数的图象可能是（）

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

分值: 5分

7.已知直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围是（）

正确答案

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知识点

函数单调性的性质

题型：单选题

分值: 5分

4.已知是等差数列,若,则数列的公差等于（）

A-1

正确答案

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知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

分值: 5分

9.已知直线与圆相切，其中，且，则满足条件的有序实数对共有的个数为（）

正确答案

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知识点

圆与圆的位置关系及其判定

填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

11.已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为______________。

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 5分

13.在中,，则的取值范围是______________。

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 5分

15.对于平面直角坐标系内任意两点，，定义它们之间的一种“折线距离”：．则下列命题正确的是______________。（写出所有正确命题的序号）

①若，，则；

②若点在线段上，则；

③在中，一定有；

④若为定点，为动点，且满足，则点的轨迹是一个圆；

⑤若为坐标原点，在直线上，则最小值为。

正确答案

①②⑤

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知识点

指数函数的图像变换

题型：填空题

分值: 5分

12.如图，直角中，，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则=______________。

正确答案

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：填空题

分值: 5分

14.设分别表示不大于的最大整数，如.则集合表示的平面区域的面积为______________。

正确答案

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知识点

幂函数的图像

简答题（综合题）本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

18.已知是不相等的正常数，实数.

（Ⅰ）求证：，并指出等号成立的条件；

（Ⅱ）求函数的最小值，并指出此时的值。

正确答案

解：（Ⅰ）因为是不相等的正常数，实数，应用均值不等式

得：

，即有，

当且仅当，即时上式取等号；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当且仅当，即时上式取最小值，即．

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：简答题

分值: 14分

21.设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为.

（Ⅰ）用表示和；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）设,，求证：。

正确答案

解：（Ⅰ）由点在曲线上可得,

又点在圆上，则,

从而的方程为, 由点在上得: ,

将代入化简得: .

（Ⅱ） ,，

又, ，

所以；

（Ⅲ）先证:当时,.

不等式

后一个不等式显然成立,而前一个不等式.

故当时, 不等式成立.

，

(等号仅在时成立)

求和得:

．

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导数的乘法与除法法则

题型：简答题

分值: 12分

16.已知函数，.

（Ⅰ）设是函数图象的一条对称轴，求的值；

（Ⅱ）求函数的值域。

正确答案

（Ⅰ）由题知，因为是函数图象的一条对称轴，

所以，即，

故，当为偶数时，，

当为奇数时，；

（Ⅱ）由题知

，

所以的值域为.

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导数的加法与减法法则

题型：简答题

分值: 12分

17.前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”.随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；

（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望。

正确答案

解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75 ；

（Ⅱ）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件

则；

（Ⅲ）的可能取值为0，1，2，3.

；；

；.

的分布列为：

所以.

另解：的可能取值为0，1，2，3.

则，. 所以=．

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知识点

指数函数的图像变换

题型：简答题

分值: 12分

19.已知椭圆:()，直线经过椭圆的上顶点和左焦点，设椭圆右焦点为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设是椭圆上动点,求的取值范围,并求取最小值时点的坐标。

正确答案

（Ⅰ）依题意,,, 所以, ,，

所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）由椭圆定义知，则，

而,当且仅当时, ,

当且仅当是直线与椭圆的交点时, =2，

所以的取值范围是．

设,由得 , 由 ,

解得或 ,所求和 .

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知识点

幂函数的图像

题型：简答题

分值: 13分

20.已知函数．

（Ⅰ）若，求函数的极小值；

（Ⅱ）试问：对某个实数，方程在上是否存在三个不相等的实根？若存在，请求出实数的范围；若不存在，请说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ）定义域为，由已知得，

则当时，在上是减函数，

当时，在上是增函数，

故函数的极小值为．

（Ⅱ）假设方程在上存在三个不相等的实根，

设，由于在上图象连续不断，

则有两个不同的零点．

即有两个不同的解，设，

则，

设，则，故在上单调递增，

则当时，即，又，

则故在上是增函数，

则至多只有一个解，

故不存在．

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知识点

对数函数的定义

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正确答案

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