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1.已知为实数,且
. 则“
”是“
”的( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
2.已知,则
等于( )
正确答案
解析
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知识点
8.如图,半径为的扇形
的圆心角为
,点
在
上,且
,若
,则
( )
正确答案
解析
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知识点
6.动圆过定点
且与定圆
相切,那么动圆
的圆心的轨迹是( )
正确答案
解析
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知识点
10.设是定义在
上的偶函数,且当
时,
.若对任意的
,不等式
恒成立,则实数
的最大值是( )
正确答案
解析
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知识点
3.一支田径队有男运动员 56人,女运动员 42 人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,则样本中男运动员的人数为( )
正确答案
解析
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知识点
5.已知,则函数
与函数
的图象可能是( )
正确答案
解析
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知识点
7.已知直线上存在点
满足约束条件
, 则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
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知识点
4.已知是等差数列,若
,则数列
的公差等于( )
正确答案
解析
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知识点
9.已知直线与圆
相切,其中
,且
,则满足条件的有序实数对
共有的个数为( )
正确答案
解析
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知识点
11.已知一元二次不等式的解集为
,则不等式
的解集为______________。
正确答案
解析
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知识点
13.在中,
,则
的取值范围是______________。
正确答案
解析
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知识点
15.对于平面直角坐标系内任意两点,
,定义它们之间的一种“折线距离”:
.则下列命题正确的是______________。 (写出所有正确命题的序号)
①若,
,则
;
②若点在线段
上,则
;
③在中,一定有
;
④若为定点,
为动点,且满足
,则
点的轨迹是一个圆;
⑤若为坐标原点,
在直线
上,则
最小值为
。
正确答案
①②⑤
解析
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知识点
12.如图,直角中,
,以
为圆心、
为半径作圆弧交
于
点.若圆弧
等分
的面积,且
弧度,则
=______________。
正确答案
2
解析
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知识点
14.设分别表示不大于
的最大整数,如
.则集合
表示的平面区域的面积为______________。
正确答案
5
解析
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知识点
18.已知是不相等的正常数,实数
.
(Ⅰ)求证:,并指出等号成立的条件;
(Ⅱ)求函数的最小值,并指出此时
的值。
正确答案
解:(Ⅰ)因为是不相等的正常数,实数
,应用均值不等式
得:
,即有
,
当且仅当,即
时上式取等号;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
当且仅当,即
时上式取最小值,即
.
解析
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知识点
21.设,圆
:
与
轴正半轴的交点为
,与曲线
的交点为
,直线
与
轴的交点为
.
(Ⅰ)用表示
和
;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)设,
,求证:
。
正确答案
解:(Ⅰ)由点在曲线
上可得
,
又点在圆上,则
,
从而的方程为
, 由点
在
上得:
,
将代入化简得:
.
(Ⅱ) ,
,
又,
,
所以 ;
(Ⅲ)先证:当时,
.
不等式
后一个不等式显然成立,而前一个不等式.
故当时, 不等式
成立.
,
(等号仅在
时成立)
求和得:
.
解析
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知识点
16.已知函数,
.
(Ⅰ)设是函数
图象的一条对称轴,求
的值;
(Ⅱ)求函数的值域。
正确答案
(Ⅰ)由题知,因为
是函数
图象的一条对称轴,
所以,即
,
故,当
为偶数时,
,
当为奇数时,
;
(Ⅱ)由题知
,
所以的值域为
.
解析
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知识点
17.前不久,省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”,芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”.随后,师大附中学生会组织部分同学,用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):
(Ⅰ)指出这组数据的众数和中位数;
(Ⅱ)若幸福度不低于9.5分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极幸福”的概率;
(Ⅲ)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“极幸福”的人数,求
的分布列及数学期望。
正确答案
解:(Ⅰ)众数:8.6;中位数:8.75 ;
(Ⅱ)设表示所取3人中有
个人是“极幸福”,至多有1人是“极幸福”记为事件
则 ;
(Ⅲ)的可能取值为0,1,2,3.
;
;
;
.
的分布列为:
所以.
另解:的可能取值为0,1,2,3.
则,
. 所以
=
.
解析
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知识点
19.已知椭圆:
(
),直线
经过椭圆
的上顶点
和左焦点
,设椭圆右焦点为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设是椭圆
上动点,求
的取值范围,并求取最小值时点
的坐标。
正确答案
(Ⅰ)依题意,,
, 所以
,
,
,
所以椭圆的标准方程为
(Ⅱ)由椭圆定义知,则
,
而,当且仅当
时,
,
当且仅当是直线
与椭圆
的交点时,
=2,
所以的取值范围是
.
设,由
得
, 由
,
解得或
,所求
和
.
解析
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知识点
20.已知函数.
(Ⅰ)若,求函数
的极小值;
(Ⅱ)试问:对某个实数,方程
在
上是否存在三个不相等的实根?若存在,请求出实数
的范围;若不存在,请说明理由。
正确答案
解:(Ⅰ)定义域为,由已知得
,
则当时
,
在
上是减函数,
当时
,
在
上是增函数,
故函数的极小值为
.
(Ⅱ)假设方程在
上存在三个不相等的实根,
设,由于
在
上图象连续不断,
则有两个不同的零点.
即有两个不同的解,设
,
则,
设,则
,故
在
上单调递增,
则当时
,即
,又
,
则故
在
上是增函数,
则至多只有一个解,
故不存在.
解析
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